En - интегроэкспоненциальная функция, уравнение (14.45); е - поверхностная плотность потока излучения; / - функция распределения фотонов; [/г - постоянная Планка; } - интенсивность излучения; i, 3, к - единичные векторы в направлениях х, у, z; п - единичный вектор в направлении нормали; Р - давление; Q - поток энергии;

q - поверхностная плотность потока энергии; г - радиус-вектор;

S - координата в направлении излучения; s - единичный вектор в направлении S; Т - абсолютная температура; и - объемная плотность энергии излучения;

V - объем;

X, у, Z - координаты в декартовой системе координат; Р - полярный угол; 0 - азимутальный угол; X - оптическая толщина; Кг, - оптическая толщина пути длиной D; X - длина волны;

v - частота;

а - постоянная Стефана - Больцмана; со - телесный угол.

Подстрочные индексы

Надстрочные индексы

истинное значение без учета индуцированного излучения;

* - переменная интегрирования; - осредненное значение по всем направлениям падающего излучения; - нанравленная величина.

14.3. УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА

Выведем уравнение переноса в нерассеивающей среде. Как было упомянуто в разд. 14.1, это уравнение описывает интенсивность излучения в любой точке вдоль направления его распространения в поглощающей и излучающей среде.

14.3.1. Вывод

! Ослабление

уравнения

интенсив-

ности излучения в нерассеивающей среде, обусловленное только поглощением, определяется законом Бугера [уравнение (13.12)]. Уравнение переноса является обобщением закона Бугера на случай, когда в интенсивности излучения учитывается вклад собственного излучения вдоль рассматриваемого направления.

Рассмотрим излучение с интенсивностью ix (S),

распространяющееся внутри некоторого объема поглощающей и излучающей среды (фиг. 14.1). Обратим внимание на изменение интенсивности излучения при прохождении излучением пути dS. Интенсивность излучения в точке S -\- dS нерассеивающего газа без учета собственного излучения газа равна интенсивности в точке 5 плюс ее изменение, вызванное поглощением на участке di, т. е.

а {S + dS) = iUS) + dil а.

Используя для этого случая уравнение (13.8) при = а^, получим

ii (S + dS) = ii iS) - ax (S) a (S) dS = ii{S)[i- ax [S) dS]. (14.1)

Фиг. 14.1. К выводу уравнения переноса.

Отметим, что в (14.1) используется а^, а не истинный коэффициент поглощения al. Таким образом, интенсивность ii {S + dS) учитывает не только истинное поглощение, но также индуцированное излучение (разд. 13.5.5).

Вклад спонтанного излучения газа вдоль пути dS в интенсивность излучения в направлении S определяется по уравнению (13.35) в предположении локального термодинамического равновесия излучения вдоль этого пути как

dile = ai{S)iibiS)dS. (14.2)

Добавляя к (14.1) (14.2), получим интенсивность излучения il {S + dS), равную

i>.iS + dS)=ii{S) + diia + dil =

= [1 (5) dS] + ах (S) it (S) dS, (14.3)

где ix{S -Ь dS) учитывает теперь все виды собственного излучения газа, а также ослабление падающего излучения. Тогда изменение] интенсивности dil падающего излучения при прохождении пути dS равно

dil =ii{S + dS) - ix (S) = ax (S) [ixb (S) - ix (S)] dS. (14.4)

В астрофизических задачах часто удобнее использовать уравнение, полученное после замены UxdS одной величиной

dKx = axiS)dS, (14.5)

учитывающей коэффициент поглощения и элементарный участок пути, проходимый излучением. Величина dKx называется дифференциальной оптической толщиной. Интегрируя уравнение (14.5), получим, как и в уравнении (13.17), оптическую толщину или оптическую глубину слоя толщиной S или пути длиной S

х (S) = j а, (S*) dS\

(14.6)

Используя выражение для дифференциальной оптической толщины, преобразуем (14.4) к виду

(14.7)

Уравнение (14.7) представляет собой уравнение переноса излучения в поглощающем и излучающем газе.

Учет индуцированного излучения коэффициентом поглощения имеет определенное преимущество. Как упоминалось в разд. 13.5.5, индуцированное излучение распространяется в том же направлении, что и падающее излучение, а спонтанное излу-

или

а ix) = ix (0) ехр (-хх) + j ixb (О ехр [-{Ях-dy.1, (14.10)

где Хя, - текущая переменная интегрирования.

Физический смысл уравнения (14.10) заключается в том, что интенсивность излучения на оптической толщине х^, состоит из двух слагаемых: интенсивности ослабленного падающего излучения, достигшего точки х^, (с учетом индуцированного излучения вдоль пути), и интенсивности спонтанного излучения в направлении S от элементов на всевозможных оптических толщинах х^ данного направления, экспоненциально ослабленной при его прохождении между точкой излучения xf и рассматриваемой точкой -Их. Уравнение (14.10) является интегральной формой уравнения переноса. В таком виде оно применимо к расчету спектральной интенсивности излучения в направлении положительных значений х^,.

Хотя уравнение (14.10) представляет собой общее решение уравнения переноса, из него невозможно неносредственно определить интенсивность излучения, пока неизвестно распределение температуры. От температуры зависит интенсивность излучения черного тела (хх), входящая в подынтегральное выражение

чение распространяется равномерно по всем направлениям. Таким образом, объединяя индуцированное излучение с истинным поглощением в ах (и Ях), мы объединяем величины, зависящие от направления падающего излучения. Окончательное выражение для члена, учитывающего собственное излучение в уравнении переноса, содержит только спонтанное излучение и, следовательно, не зависит от направления.

14.3.2. Решение с помощью интегрирующего множителя

Уравнение (14.7) является линейным дифференциальным уравнением первого порядка, и его общее решение можно получить с помощью интегрирующего множителя. Умножая это уравнение почленно на множитель ехр (и^,), получим

( 5 +

= tn x)exp(x;,)] = iJ,b(x;,)expJ(xO. (14.8)

Интегрирование по оптической толщине от = О до хх, (S) дает ix (хх) ехр (x,) - ix (0) = j iis {х*х) ехр (х^) dnt I (1-9)

правой части. Распределение температуры необходимо также для определения коэффициента поглощения {S) и последующего вычисления оптической глубины хх (5) по уравнению (14.6), т. е. для установления связи между физической координатой S и оптической координатой х^. Распределение температуры находится из баланса энергии в среде, который в свою очередь определяется интегральной энергией излучения, поглощенного каждым элементом объема вдоль пути распространения излучения. Величина этой энергии будет получена в следующем разделе путем интегрирования интенсивности излучения, проходящего через некоторую точку, по всем телесным углам падения излучения и всем длинам волн. Уравнение энергии и уравнение (14.10) представляют собой необходимые соотношения, из которых можно определить согласующиеся между собой распределения температуры и интенсивности излучения.

ПРИМЕР 14.1. Элементарная площадка dA черного тела расположена на расстоянии 0,10 м от элементарного объема газа dV

liyr) Ход/гут ф^Чг (

Фиг. 14.2. Геометрия системы в примере 14.1.

(фиг. 14.2). Элементарный объем газа является частью изотермического объема газа F, находящегося при той же температуре f, что и dA. Какова спектральная интенсивность излучения, падающего на элементарный объем dV с элементарной площадки dA вдоль направления S при А, = 1 мкм, если коэффициент поглощения газа равен 10 м ! при длине волны 1 мкм?

Поскольку dA - элементарная площадка черного тела с температурой Т, интенсивность излучения в точке 5 = 0 равна ix (0) = ixb (Т). Так как газ изотермический, то интенсивность излучения черного тела в газе равна 1хъЫу.) = г'\ь{Т). Подстановка этих величин в интегральное уравнение переноса (14.10) дает

ix ix) = iLb (Т) ехр (- х^) -Ь ixb (Т) ехр (- Хх) J ехр (х^) dx

Граница среды

Элемент поверхности на границе

Фиг. 14.3. К выводу уравнения сохранения энергии.

энергии излучения, падающего на элемент объема со всех направлений во всем диапазоне волн. Так как (14.10) содержит интенсивность iib, которая является функцией местной температуры, то для нахождения распределений интенсивности излучения и температуры уравнение переноса излучения решается совместно с уравнением сохранения энергии.

Для вывода уравнения сохранения энергии рассмотрим энергию излучения, поглощенного элементом объема среды dV (фиг. 14.3). По аналогии с (13.32) поглощенная доля падающего

После выполнения интегрирования это уравнение принимает вид

ix {x) = ixb (Т).

Для газа с показателем преломления п = I величина iib [Т) определяется уравнением (2.11а). Таким образом, интенсивность распространяющегося вдоль изотермического пути излучения элемента поверхности черного тела, находящегося при той же температуре, что и газ, равна в объеме dV интенсивности излучения черного тела на стенке и не зависит ни от а^, ни от S. Ослабление газом интенсивности излучения, испускаемого стенкой, компенсируется собственным излучением газа на пути от dA до dV.

14.4. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ В СРЕДЕ

Уравнение (14.10) описывает поток излучения определенной длины волны, распространяющийся в среде в заданном направлении. Распределение температуры в среде находится из баланса