если заданы все температуры, тепловые потоки обычно можно определять независимо. Однако, если заданы потоки энергии, необходимо рассматривать задачу в целом, поскольку относительно неизвестной температуры уравнение получается нелинейным. Решение может стать еще более трудным, если необходимо учесть изменение физических свойств с температурой.

В аппаратах, работающих в открытом космосе, используются радиационные ребра, с помощью которых осуществляется рассеяние энергии. Тепло подводится к ребру путем теплопроводности и отводится с его поверхности излучением. Для нахождения распределения температуры в ребре необходимо совместно рассмотреть перенос энергии излучением и теплопроводностью. В следующем примере будут представлены характеристики одиночного кругового ребра.

ПРИМЕР 12.3. Тонкое кольцевое ребро, находящееся в вакууме, теплоизолировано с одной лицевой стороны и со стороны

Изомция

Фиг. 12.2. Тонкое кольцевое ребро, теплоизолированное с одной лицевой стороны и со стороны наружной кромки. а - геометрия ребра; б - сектор ребра.

наружной кромки (фиг. 12.2, а). Диск имеет толщину Ъ, внутренний радиус Ги наружный радиус Го, коэффициент теплопроводности к. К внутренней кромке подводится энергия, скажем, от стержня радиусом Гг, вставленного в центральное отверстие, благодаря чему температура внутренней кромки поддерживается равной Ti. Неизолированная кольцевая поверхность является диффузно-

А- -к2пгЬ

dT dr

В = еоТ*2лг dr,

dT , d t ,, dT

C=-k2nrb- + (-k2nrb)dr.

Если g и A; примет вид

постоянные, то уравнение сохранения энергии

(12.1)

Необходимо решить это уравнение относительно распределения температуры Т (г) при следующих граничных условиях: на внутренней кромке Т = Ti при г = Г; и на внешней кромке, где отсутствует тепловой поток, dTldr = О при г = Го. Введем безразмерные переменные 6 = Г/Г; и i? = (г - Гг)/(Го - г^). При этом уравнение энергии примет вид

(Го~Г1)ПаТ\

dTP

R + rtliro-ri)

Затем, используя два параметра б = Го/г; и 7 X £оТУкЬ, представим уравнение энергии в виде

1 de

de dm

-7в* = 0

= (го - П) X (12.2)

/г + 1/(б-1)

при.следующих граничных условиях: 6 = 1 при i? = О и dQ/dR = = О при i? = 1. Уравнение (12.2) является не.тинейным дифференциальным уравнением второго порядка. Распределение температуры зависит только от двух параметров б и 7. Решение можно получить численным методом.

При использовании охлаждающих ребер представляет интерес эффективность Т], которая определяется как отношение энергии,

серой и имеет степень черноты g. Она излучает энергию в окружающее пространство с температурой Те = 0. Найти распределение температуры по радиусу кольцевого диска.

Предположим, что диск достаточно топок, так что локальную температуру можно принять постоянной по толщине Ъ; тогда баланс энергии для любого кольцевого элемента шириной dr (фиг. 12.2, б) можно представить в виде

А В + С.

В этом уравнепии А я С - подводимый к рассматриваемому элементу и отводимый от пего тепловые потоки вследствие теплопроводности, В - тепловой поток вследствие излучения с поверхности элемента. Таким образом.

действительно рассеиваемой ребром путем излучения, к энергии, которая была бы рассеяна, если бы все ребро имело температуру Ti. Для рассматриваемого нами кольцевого ребра

11 =

2л6ст \ rTidr

2 I lB{8-i) + i]e*dR

S + 1

Этот интеграл можно вычислить после определения в из дифференциального уравнения. Чемберс и Сомерс [1] рассчитали эффективность такого кольцевого ребра. Результаты их расчета приведены на фиг. 12.3. Келлер и Холдридж 12] распространили эти результаты на ребра, толщина которых меняется по радиусу.

Фиг. 12.3. Эффективность ребра т]. рассмотренного в примере 12.3 [1].

Вследствие того что радиаторы представляют интерес с точки зрения использования их в космических энергетических установках, исследованы многие системы, в которых происходит радиа-ционно-кондуктивный теплообмен [1-20].

В случае неустановившегося состояния, когда температура излучающего ребра меняется во времени, в уравнении энергии должен появиться член, учитывающий накопление тепла. Для кольцевого элемента в примере 12.3 этот член равен

РтСрЬ2пг dr

При наличии этого члена уравнение энергии (12.1) становится дифференциальным уравнением в частных производных, в котором температура является функцией радиуса и времени:

ir(r~)-raTPmC,br.. (12.3)

(12.4а)

где п - внешняя нормаль к поверхности. В более общем случае поверхность не только поглощает, но и теряет энергию излучения

, дТ

-Qi-

(12.46)

Зависящие от времени профили температуры в твердом теле, поверхность которого участвует в теплообмене излучением, бы.пи исследованы в работе [9]. Уравнен1!е неустановившейся теплопроводности было решено при граничных условиях (12.4).

В примере 12.3 рассмотрено одиночное излучающее ребро. Для поверхностей со многими ребрами необходимо учитывать взаимный теплообмен излучением менчду ребрами. Это приводит к появлению интегральных членов в уравнении энергии, что становится очевидным из следующего примера.

ПРИМЕР 12.4. Бесконечный ряд тонких ребер толщиной Ь, шириной W и бесконечной длины укреплен на черной поверхности, которая поддерживается при постоянной температуре Tj, (фиг. 12.4). Излучающая поверхность ребра является диффузно-серой, окружающая среда - вакуум. Записать уравнение, решение которого дает нам местну!0 температуру ребра, в предположении, что окружающее пространство имеет температуру Т, = 0.

Поскольку ребра тонк!!е, можно предположить, что местная температура ребра постоянна по его толщине Ъ. Теперь можно вывести уравнение баланса энергии для отмеченного кружком элемента поверхности одного из ребер, приведенного на нижней части фиг. 12.4. Поскольку мы рассматриваем бесконечный ряд ребер, внешние условия идентичны для каждого ребра и одинаковы для обеих его сторон. Вследствие симметрии следует рассматривать лишь половину толщины ребра. Задача упрощается также в связи с тем, что распределение температуры Tf () в соседнем

В работе [5] представлены результаты для неустановившегося режима теплообмена излучающего ребра.

Для тонкого излучающего ребра температура по его толщине предполагалась постоянной, и, следовательно, она изменялась только лишь в направлении, параллельном излучающе!! поверхности. Если же ребро толстое, то температура будет также меняться в направлении нормали к излучающей поверхности. В этом случае излучение определяет граничные условия для задачи теплопроводности в твердом теле. Таким образол!, в данной точке поверхности твердого тела, которое испускает, но не поглощает излучение, граничные условия иа!еют вид

ребре такое же, как и Tj{x). Следовательно, необходимо рассматривать баланс энергии только для одного ребра. Члены, учитывающие подвод и отвод энергии от элемента dx вследствие теплоиро-

Фиг. 12.4. Геометрия параллельных ребер, рассмотренных в примере 12.4.

водности в единицу времени, на единицу длины ребра в наиравлении Z, равны соответственно

Ъ dTf

Qc.o{x)Qc,i + dQ.,i-k + (

-к

Ъ dTf 2 dx

j dx.

Члены, учитывающие излучение, записываются с помощью метода сальдо (разд. 8.4.1). На рассматриваемый элемент падает излучение с соседнего ребра и с черной поверхности основания

qn, i {х) dx = J дк, о () dFi-dx dl + aoTt dFa-dx =

= dx J qn,o{l)dFdx-d% + dxonFdx-a. (12.5)

Эффективное излучение складывается из собственного и отраженного излучений

qn, о {х) dx = баГ^ {х) dx -f (1 - 6) Чя. i () dx. (12.6)

= Fdx-B+ J [-M-e + &4Z)\dFd;,-dz, (12.8) z=o

где e (X) = Tf{x)lTb, В = alW, l = кЪ/2аТь^\¥, X = x/W и Z = l/W.

Уравнение (12.8) является нелинейным интегродифференци-альным уравнением и может быть решено численно. Поскольку оно является уравнением второго порядка, необходимы два граничных условия. В основании ребра Tf (х = 0) = Ть, поэтому

6 = 1 при X = 0. (12.9а)

Второе условие относится к внешней кромке ребра х = W. Поток тепла, подводимый к этой границе вследствие теплопроводности, должен быть равен потоку тепла, отводимому излучением,

или в функции 6

(:aTlW

6* =

,k---ij-w = 1- (12-96)

Ясно, что отношение толщины ребра к его ширине biW теперь используется в качестве нового параметра. Если величина {blW)l2\x очень мала, то dQIdX можно принять равной нулю.

Угловые коэффициенты в уравнении (12.8) находятся методами, онисанными в примерах 7.5 и 7.7 (ири этом а = 90°). В результате получаем

- = Т (1-у=Г) = Т (1 - у=)

dFdx-d7. =

2 [а2 + (5 .)]3/2

2 [52 (Z x)i]3/2

Уравнение баланса энергии для элемента содержит члены, учитывающие теплопроводность и излучение

Чн. о dx -\- о {х) = qidx + i (х).

Подставляя члены, учитывающие тенлонроводность, и предполагая коэффициент теплопроводности постоянным, получим уравнение баланса энергии в виде

4r, i (х) dx = qn, о (х) dx-к--- dx. (12.7)

Уравнения (12.5) - (12.7) образуют систему уравнений с неизвестными дд, г (х), qn,o{x) и Г/(х). (Заметим, что дн, о (I) = = Qr, о {х).) Исключая qn, i и дд, о, получим