которое также можно аппроксимировать полиномом

Р, = D + + + . (И-28)

Если dyli -диффузно-серая поверхность, уравнение (11.256) преобразуется к виду

Л., дифф.-серая -

п I lib, 1 (к*) dk*

(11.29)

где Fq-x-доля энергии интегрального излучения черного тела в интервале длин волн от О до А,. В этом случае (11.27) преобразуется к виду

Р1.дифф.-оерая = 2 J sin р? COS р? df = sin р, (11.30а)

или

(11.306)

Sin Pi = /3j д^фф р^.

Здесь следует отметить, что трудности вычисления А, но уравнениям (11.26) или (11.29) примерно одинаковы; при вычислении Pi по уравнениям (11.28) или (11.306) различие также невелико. Различие между несерым недиффузным излучателем и серым диффузным излучателем обнаруживается главным образом при дополнительном численном интегрировании уравнений (11.256) и (11.27). Эти интегрирования проводятся однажды для получения аппрок-симационных кривых, после чего расчет по основной программе для более сложного случая можно производить точно так же, как и для более простого. Таким образом, усложнение задачи приводит только к пропорциональному усложнению программы Монте-Карло и к соответствующему увеличению времени счета.

Для отдельного пучка энергии, испускаемого поверхностью dA-i, длину волны А можно получить с помощью (11.26), а угол Pi - с помощью (11.28), выбирая два случайных числа и jRpj. Остается только задать азимутальный угол 6i. Поскольку раньше было принято допущение, что испускание излучения не зависит от угла 01, легко показать с помощью формальных преобразований (это также вполне очевидно интуитивно), что 0i можно определить следующим образом:

е, = 2лЛеп (11-31)

где i?ei - также случайное число, выбираемое в пределах от О до 1.

Так как положение плоскости А^, относительно dA известно, то достаточно просто определить, падает ли данный пучок энергии, испускаемый dA в направлении (Pi, 9i), на плоскость А^,-(Он попадет на поверхность А 2, если cos Oi >- О, как показано

на фиг. 11.4.) Если рассматриваемый пучок не попадет на поверхность Л2, элементарная площадка dA должна испустить следующий пучок. Если этот пучок достигает Л 2, то нужно определить, поглотится он или отразится. Для нахождения угла падения Ра пучка на Л 2 используем геометрическое соотношение

COS Ра = sin Pi cos 9i. (11.32)

Зная поглощательную способность поверхности А^, из закона Кирхгофа

< 2(А, P2) = G.2(A, р2) (11.33)

и определив длину волны А, падающего пучка с помощью (11.26), а угол падения Рг - с помощью (11.32), можно определить вероятность поглощения пучка поверхностью Л а- Вероятность поглощения просто равна поглощательной способности поверхности А 2, вычисленной при Рз А, поскольку, по определению, направленная спектральная поглощательная способность а^, а (А, Р2) есть часть энергии излучения, падающая на поверхность А^ъ данном интервале длин волн в пределах данного телесного угла, которая поглощается поверхностью. Она также представляет собой точное определение вероятности поглощения отдельного пучка. Поглощательная способность является, таким образом, функцией плотности вероятности поглощения падающего излучения. Теперь легко определить, поглотится ли пучок энергии падающего излучения, сравнив поглощательную способность поверхности ах, (А, Ра) со случайным числом Лаг- Если

Йаг<а1, 2(А, Рг), (11.34)

то пучок энергии поглотится и показание счетчика S, в памяти машины возрастет на единицу. В противном случае предполагают, что пучок отражается, и его дальше не рассматривают. Если же следить за ним далее, то необходимо было бы рассмотреть повторное отражение пучка от dA. Этим можно пренебречь, если поглощательная способность новерхности Л 2 велика или если направленная отражательная способность такова, что в направлении падения отражается мало пучков. Если такими отражениями пренебрегать нельзя, то следует выбрать углы отражения по известным зависимостям для направленных отражательных способностей и проследить затем путь пучка до тех пор, пока он не поглотится поверхностью Л г или не покинет систему. В рассматриваемом примере нет смысла прослеживать путь пучка после его отражения от поверхности Л 2, так как вывод необходимых соотношений подобен уже представленному.

Выберем теперь новый пучок, испускаемый поверхностью dA, и проследим его историю. Эта процедура будет продолжаться до тех пор, пока все N пучков не покинут, dA-. Энергия излучения, поглощенного Л2, будет затем вычислена по уравнению (11.21).

На этом закончим вывод уравнений, необходимых для решения данного примера. При составлении блок-схемы программы (фиг. 11.5) можно использовать некоторые методы сокращения машинного времени. Например, сначала вычисляют угол 9i. Если при этом выясняется, что иучок не достигает новерхности Л 2, то

Печатание результатов dQi.2 = wSj

Нет

погпошл етскли пдчок поверхностью Аг?

Фиг. 11.5. Блок-схема программы расчета.

нет смысла вычислять А, и Pi для этого нучка. Кроме того, так как величины 9i распределены изотропно, то только половина пучков может достичь поверхности А 2- Поэтому рассчитываемые величины 9i можно ограничить интервалом - п/2 <:9i <:Jt/2.

Постановка данной задачи для ее решения методом Монте-Карло закончена. Проницательный читатель заметит, что этот пример можно было бы решить без больших хлопот стандартными методами. Более проницательный читатель заметит, что при решении задачи посложнее стандартными методами пришлось бы стол-

кнуться с большими трудностями. Введите, например, в эту задачу третью поверхность с нанравленными свойствами и учтите все взаимодействия.

.11.4.4. Рекомендуемые соотношения

Ряд полезных соотношений для выбора углов испускания излучения и задания длин волн пучков даны в предыдущем разделе. Эти и другие соотношения, заимствованные из работ, посвященных радиационному переносу, сведены в табл. 11.1.

Таблица 11.1

Соотношения между случайными числами и переменными, характеризующими испускание излучения (в предположении независимости от угла 9)

Переменная

Полярный угол Р

Азимутальный угол 6

Длина волны А,

Излучение

Диффузное

Направленное серое

Направленное несерое

Диффузное

Черное илп серое

Диффузное несерое

Направленное несерое

Соотношение

sinp = i?pl/2

2 j €(P*)sinp*cosP*dp* О

2п I I (к, р*) j£j (к) sin р* cos Р*йЫр*

о о

gar*

0 = 2яЛ9

R-L =

о

gar*

x л/2

2я I gj;(X,p*)i[(X,*)sinpcospdpdX,*

gar*

ПРИМЕР 11.1. Рассмотрим две очень длинные новерхности равной ширины, расположенные под углом 90° друг к другу (фиг. 11.6). Их температуры: = 1000 К, = 2000 К. Краевыми эффектами можно пренебречь. Поверхность 1 диффузно-серая

И имеет степень черноты 0,5. Поверхность 2 серая, но ее радиационные свойства зависят от направления; наиравленные интегральные степень черноты и поглощательная способность описываются соотношением

eap2)=aap2)=o,5cosp2.

(11.35)

Предположим для простоты, что новерхность 2 отражает диффузно. С помощью метода Монте-Карло составим блок-схему расчета количества энергии, которое необходимо подвести к каждой поверхности для поддержания ее температуры постоянной. Предположим, что окружающее пространство находится при температуре Г = О К.

Плотность потока излучения, испускаемого поверхностью 1, равна

Если с единицы площади поверхности 1 в единицу времени испускается пучков энергии, то энергия пучка будет равна

Фиг. 11.6. Геометрическая конфигурация для примера 11.1.

= .(11.36)

Плотность потока излучения, исп^ускаемого равна

де,2 = 2аЩ б; (Р) cos р sin MP = о

cos2p sinpdp = -2l-.

о

поверхностью 2,

Если испускаемый поверхностью 2 пучок несет то же самое количество энергии W, что и пучок, испускаемый поверхностью 1, то

wNi -

Подставляя в это соотношение (11.36) и значения 6i. и Т^, получим

оП Ni

#2=-

(11.37)

3 ioTi

Поскольку каждый пучок имеет одинаковую энергию и поверхность 2 испускает в раз больше пучков, чем поверхность 1, ясно, что поверхность 2 будет играть определяющую роль в переносе энергии.

Теперь найдем распределение по направлениям пучков, испускаемых двумя иоверхностями. Поверхность 1 излучает диффузно, и к ней применимо уравнение (11.306). Для поверхности 2 следует использовать уравнение (11.27). Подставляя (11.35) в (11.27), получим для случая серой новерхности с направленными свойствами

-Э2 = -

2ягь 2 I (0.5 cos Р|) sin Р| cos Р| dp

€2074

Подставляя сюда выражение (11.19) для интегральной полусферической степени черноты, получим

\ cosa р* sin pf dp*

ill £1

i cos2 Р2 sin Pa dPa n

Поскольку и 1 - R представляют собой однородные распределения случайных величин в интервале О 1, можно запи-. сать

cospa = 4

С помощью аналогичных рассуждений уравнение (11.306) можно записать в виде

cosp, = i?f.

Поскольку радиационные свойства обеих поверхностей не зависят от угла 9, к ним применимо соотношение (11.31).

Таким образом, мы определили распределение пучков по наи-равлеетям испускания. Теперь необходимо определить точку, из которой исходит каждый пучок. Поскольку обе новерхности изотермические, испускание излучения каждой из них будет одпо-родныА*. Тогда случайные координаты х (фиг. 11.6) на данной поверхности могут быть приняты за точки испускания. Такая методика требует генерации случайных чисел. Машинное время, требуемое для генерации случайных чисел, можно сэкономить, если