ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО К ЗАДАЧАМ ТЕПЛООБМЕНА ИЗЛУЧЕНИЕМ

11.1. ВВЕДЕНИЕ

В гл. 10 было показано, что задача теплообмена излучением в замкнутой системе поверхностей становится очень сложной, когда необходимо учитывать зависимость радиационных свойств поверхностей от длины волны и нанрав.ления. В настоящей главе предложен другой подход, называемый методом Монте-Карло, который позволяет справиться с этими сложностями.

Поскольку метод Монте-Карло представляет собой численный статистический метод, сначала необходимо рассмотреть некоторые понятия статистической теории. Затем в общих чертах будут описаны основные операции, относящиеся к теплообмену излучением. Для иллюстрации метода будут рассмотрены две задачи. В связи с тем, что для использования метода Монте-Карло требуются вычислительные машины, полное решение рассматриваемых примеров не приводится. Будет описан лишь простейший подход в рамках метода. Многие усовершенствования метода, сокращающие машинное время и повышающие точность расчетов, будут упомянуты по ходу изложения.

Будет дан общий обзор задач теплообмена излучением, решенных различными авторами методом Монте-Карло. С помощью этого обзора можно уяснить, как пользоваться методом, и познакомиться с имеющимися методами расчета. Большая часть представленного материалз заимствована из работы [1].

11.1.1. Определение метода Монте-Карло

Герман Кап [2] дал следующее определение метода Монте-Карло, которое, по-видимому, содержит замечательную идею: Ожидаемый успех игрока в любой разумной, сколь угодно сложной игре на выигрыш может быть в принципе оценбн путем усреднения результатов большого числа игр. Такая оценка может быть более эффективно осуществлена различными способами посредством замены данной игры другой игрой с той же вероятностью выигрыша. Новая игра может привести к более эффективной оценке, если она менее подвержена влиянию случайностей, т. е. имеет меньший разброс результатов, или если ее розыгрыш обходится дешевле с имеющимися в наличии средствами. Очевидно, много вероятностных задач можно рассматривать как задачи расчета

11.1.2. История метода

История экспериментальной математики берет свое начало в далеком прошлом. Хэммерсли и Хэндскомб [3] опубликовали библиографию, содержащую свыше 300 работ, относящихся к методу Монте-Карло и близким к нему материалам, опубликованным в последние шесть дес-ятилетий. Они упомянули о математическом эксперименте, предпринятом несколько тысяч лет назад [4] для определения величины я. Однако колоссальный поток литературы по этому вопросу появился лишь после 1950 г.

Многие прежние исследователи проводили численные эксперименты, подобные игре в кости или карты, играя много раз с целью определить вероятность данного результата. Однако полезные результаты применения таких методов стали вероятными благодаря уникальным возможностям высокоскоростных вычислительных машин. Эти машины могут проигрывать подобные игры с высокой скоростью и, таким образом, находить точное значение средних величин за приемлемое время.

Метод Монте-Карло, используемый в настоящее время в промышленности и науке, был развит группой очень квалифицированных физиков и математиков, работавших в Лос-Аламосе на раннем этапе разработки ядерного оружия, включая Джона Неймана и Стэнли Улама.

11.1.3. Основные источники

Рассуждение о едином методе- Монте-Карло является, по-видимому, бессмысленным, хотя мы и будем применять эту терминологию. Каждая частная задача, вероятно, требует применения.

ожидаемого в игре выигрыша. Больше того, имеются задачи, которые не относятся к вероятностным, но тем не менее являются для некоторых целей эквивалентными расчету ожидаемого выигрыша. В методе Монте-Карло просто используются эти замечания .

В таком определении содержится также программа действий при использовании метода Монте-Карло. В самом деле, что нужно сделать при использовании его в конкретной задаче? Необходимо выявить игру или модель с теми же закономерностями и потому имеющую тот же самый ожидаемый результат, как и в физической задаче, которую моделирует игра; затем сделать игру, насколько это возможно, простой и быстрой; далее проиграть игру много раз и найти средний результат. После нескольких замечаний, касающихся истории метода и используемого подхода, имеюпщх целью обобщить и в общих чертах описать его, мы применим аппарат метода к задачам теплообмена излучением.

своего метода, название которого метод Монте-Карло служит ярлыком, относящимся к широкому классу слабо связанных между собой методов. Ряд книг по общим вопросам и монографий позволяют подробно ознакомиться с методом и (или) обзором литературы. Ценные первоначальные сведения содержатся в работе [5], которая является первой работой, где использован термин Монте-Карло для обозначения рассматриваемого подхода. Для понимания и использования метода полезны работы [2, 3], а также работы общего характера [6, 7] (в последней приводятся ссылки на 282 источника) [81 и многие превосходные работы, содержащиеся в сборнике под редакцией Мейера [9].

Цитированные выше работы дают строгое математическое обоснование методов Монте-Карло. Поэтому тем, кто не может следить за ходом рассуждений без математического подтверждения, следует внимательно ознакомиться с этихми работами. Здесь делается попытка дать физическое обоснование с пояснением причин выбора соответствующих математических форм. Доказательства статистических законов не приводятся, так как они содержатся в стандартных учебниках по статистике.

Несколько слов следует сказать о машинном времени в программах Монте-Карло. Для большинства задач не существует определенного метода расчета машинного времени. Врехмя работы машины зависит, конечно, от ее возможностей и, вероятно, в еще большей степени от квалификации программиста при выборе методов и приемов, уменьшающих нагрузку машины. Примером такого приема является использование специальных подпрограмм для расчета таких функций, как синус и косинус; при этом ради выигрыша в скорости жертвуют некоторой точностью. Если желаемая точность решения задачи составляет несколько процентов, то использование восьмизначных функций, вычисляемых с помощью относительно медленных подпрограмм, является бесполезной роскошью, особенно если подпрограмма используется десятки тысяч раз.

В заключение посвятим абзац бесплодному вопросу, является ли метод Монте-Карло или какой-то другой метод лучшим способом решения данной задачи теплообмена излучением. Допустим, что для получения аналитического решения данной физической задачи необходимо решить систему интегральных уравнений, а решение физического аналога .задачи методом Монте-Карло может привести к большим затратам машинного времени. Перед программистом встает вопрос: что лучше - составлять программу решения интегральных уравнений с помощью метода конечных разностей, имея в виду, что, возможно, сходимость и не будет достигнута, или прибегнуть к методу Монте-Карло, который хотя и медленно, но рано или поздно приведет к решению? Как правило,этот вопрос остается без ответа. Только квалификация иинтуи-

11.2. ОБОЗНАЧЕНИЯ

А - площадь поверхности; А, В, С,D, ... - постоянные;

Е - разрешающий угловой коэффициент; Fo-x - доля энергии интегрального излучения, испускаемая черным телом в интервале длин волн О - %; f iV) - распределение частоты событий, соответствующих I;

i - общее число подсистем, используемых при вычислении средних величин;

i - интенсивность излучения; I, т - индексы узлов прямоугольной сетки, соответствующие координатам х, у; N - полное число пучков в единицу времени; п - индекс отдельного процесса распространения

пучка лучей; Р - функция плотности вероятности; Р - средняя из рассчитанных величин Р: Q - поток энергии;

R - число, случайным образом выбранное из равномерно распределенного множества чисел в интервале 0-1; случайное число;

5 - число событий, происходящих в некотором поло-

жении; Т - температура;

W - энергия, переносимая пучком фотонов; X, у - координаты в декартовой системе координат; а - поглощательная способность излучающей поверхности; Р - полярный угол;

7 - стандартное отклонение, определяемое уравнением (11.15); б, б', б - индексы в программе, фиг. 11.7;

6 - степень черноты излучающей поверхности;

Г) - функция, определяемая уравнением (11.14); 9 - азимутальный угол;

ция каждого исследователя могут подсказать наиболее удачный путь решения. Можно надеяться, что изложенный материал поможет выбрать такой путь.

X - длина волны;

\1 - вероятная ошибка;

I - неременная;

а - постоянная Стефана - Больцмана.

Подстрочные индексы

Ъ - черное тело; е - испускание;

Я - величина, зависяш;ая от длины волны; 1, 2 - поверхности 1 или 2.

Надстрочные индексы

- однонаправленная величина; - двунаправленная величина; * - переменная интегрирования.

11.3. ПОДРОБНОЕ ОПИСАНИЕ МЕТОДА

11.3.1. Случайное блуждание

Читатель вскоре столкнется с понятием цепи Маркова. Это просто цепь последовательных событий, причем вероятность каждого последующ,его события в цепи не зависит от вероятности предыдущ,их событий. Обычным примером цепи Маркова являются блуждания пьяного джентльмена по незнакомому городу. На углу каждой улицы он путается и совершенно наугад выбирает одну из улиц, выходяп1;их на перекресток. Он может даже ходить взад и вперед вдоль одного и того же квартала, прежде чем попадет на другую улицу. История его ходьбы и является цепью Маркова, так как решение, которое он принимает в каждой точке своего пути, не зависит от его местонахождения.

Из-за случайности выбора пути на каждом перекрестке его ходьбу можно воспроизвести с помощ,ью четырехпозиционного разыгрываюгцего устройства четырехлуночника , т. е. колеса рулетки с четырьмя позициями, каждая из которых соответствует возможному направлению. Для джентльмена, начинаюш;его путь от бара своего отеля, вероятность достижения какой-либо точки в пределах города может быть определена путем воспроизведения большого числа таких прогулок с помощью четырехпозиционного устройства для определения направления движения на каждом перекрестке в каждой прогулке.

Вероятность достижения человеком перекрестка {I, т) на квадратной сетке, представляющей собой карту улиц города, можно

представить следующим равенством: Р(1, т.) = -1 [Р(г-Ь1, m.) + P(Z -1, т).

Р{1, т+1) + + Р{1, т-1)],

(11.1)

где члены в квадратных скобках являются вероятностями его нахождения на каждом из четырех соседних перекрестков, а вероятность Р {I, т) попадания в (Z, т) с одного такого перекрестка равна /4. Такого рода случайное блуждание является удобной моделью некоторых процессов, описываемых уравнением Лапласа. Уравнение (11.1) представляет собой записанное в конечных разностях уравнение Лапласа.

Вероятность некоторого события в других процессах обычно не столь очевидна, как в случае уравнения (11.1). Чаще вероятность события должна быть определена из физических соображений, и только на основе этой вероятности делается заключение о том, кАкое событие произойдет. Далее будут исследованы некоторые основные методы выбора события по известному распределению вероятности событий. Кроме того, будут рассмотрены способы построения таких распределений.

11.3.2. Выборка из распределений вероятности

Рассмотрим очень плохого стрелка из лука, поражающего стрелами мишень радиусом 10 футов. После отстрела множества стрел число стрел, попавших в мишень в пределах малого приращения радиуса А^ на некотором радиусе \, можно представить в виде гистограммы частоты событий f {\) = F ()/А^. Сглаживающая кривая для этой гистограммы .даст нам непрерывное распределение частоты событий, аналогичное приведенному на фиг. 11.1. Теперь нужно найти метод моделирования последующих выстрелов путем указания ожидаемой величины \ для каждой стрелы из следующей группы стрел. Кроме того, распределение значений Е должно соответствовать уже полученному по предыдущим результатам лучника (фиг. 11.1). (Предполагается, что все стрелы поражают мишень.)

Эта ситуация аналогична встречающейся во многих марковских процессах. Нам известно существующее в данном физическок процессе распределение величин, и необходимо получить такой метод задания отдельных значений, чтобы распределение заданных величин согласовывалось с требуемым распределением. В теплообмене излучением известно, например, что энергия монохроматического излучения, испускаемого черным телом, должна соответствовать закону Планка. Как задать энергию отдельных пучков лучей определенной длины волны, чтобы в целом получить действительно планковское распределение энергии?