которые должны решаться совместно, равно, таким образом, числу диффузно отражающих поверхностей; эти уравнения выражают потоки эффективного излучения каждой диффузной поверхностп через величины диффузных составляющих потоков эффективного пзлучеьпш всех поверхностей.

а,. 1

Ъ 2.

диффузный излучатель, диффузный отражатель

2(3)

диффузный излучатель, диффузный отражатель

4(3-4) 4(4-3)

I I

2(4)

2(3-4) 2(4-31

Флг. 9.9. Прямоугольная замкнутая система поверхностей и отраженные изображения для случая, когда две смежные поверхности - зеркальные отражатели, а две другие - диффузные отражатели.

Рассмотрим теперь теплообмен излучением в прямоугольной замкнутой системе поверхностей, имеющей несколько зеркально отражающих поверхностей (фнг. 9.9). Все поверхностп - диффузные излучатели; две из них отражают диффузно, а две зеркально. Поверхности, показанные пунктиром,- отраженные изображения. Процесс отражения продолжается до тех пор, пока весь внешний периметр, охватывающий первоначально замкнутую систему, а также отраженные изображения, не будет состоять либо из диффузных (или неотражающих, таких, как открь1тые области) поверхностей, либо изображений диффузных поверхностей.

?o,.i = eiart + (i-ei) чг,1,

(9.24) (9.25)

Плотности потоков падающего излучения qi, и qi, определяются из диффузных составляющих потоков э()фектцвного излучения всех поверхностей залганутой системы следующим образом. Рассмотрим, например, величины, образующие j. Часть потока излучения q j возвращается к тремя путями: непосредственное отражение от А^; отражение от А^ к А^ и затем к Л^; отражение от А^к А^и затем к Л^. Таким образом, часть излуче-1ШЯ, испускаемого Л^, которая возвращается к Л^, равна

д.), 11 (Ps, 3-1(3)-! + Ps, 3ps, 41(,Э-4)-1 + Ps, 4 ps, 3-1(4-3)-1)- l(3-4)-l -

угловой коэффициент, определяющий видимость Л^ (з , с Л^ через поверхности А^ и затем Л g, с помощью которых было построено изображение Ац ,. Аналогично f\ i - утловой коэффициент, определяющий видимость той же поверхности Лцд., с Al через А- п затем А^ g,.

Поток эффективного излучения (/о j поверхности А^ вносит вклад в поток падающего излучения д;,, достигая А^ по четырем траекториям: непосредственным путем; после отражения от А^; отражения от А^ и отражения от А^иа А^. С поверхности А^ излучение не попадает на А^ после отражений от А^ и затем от А^. Это связано с тем, что А^ не может видеть изобра;кение A.2 g через поверхность А д.

Диффузная составляющая энергии излучеьшя, исходящая от зеркальной поверхности А^ {и аналогично от А^), состоит только из энергии собствбешого излучения А^рТ. Часть этого излучения попадает на А^ по двум траекториям: непосредственным путем и путем зеркального отражения от А^.

Комбинируя все эти величины, получаем (7, j, поток излучения, падающий на А^:

Aiqt, i --= Л(?о, 1 [р, зЛ(3,-1 f Рб-, 3ps, 4 (.Р 1(3-4)-1 + fl(4-3)-l)] +

+ АЧо, 2 (2-1 + Ps, з^2(3)-1 4- Ps, 42(4)-1 + Ps, 3ps, 42(3-4)-l) +

+ АЬоП {Fs-i + Ps, 4i3(4,-i) + A.iOTl (f4-1 + Ps, 34(3,-1) (9.26)

Можно применить соотношение взаимности д.тя угловых коэффициентов (9.8), чтобы заменить все другие поверхности в (9.26) на которую затем можно исключить. Полученное выражение

Для замкнутой системы, цоказанной на фиг. 9.9, сначала оцениваются q, i и q,для двух диффузных поверхностей. В соответствии с уравнением (9.18) эти величины можно записать в виде

+ Яо, 2 [Ps, 4-2-2(4, + ps, sPs, 4 (-f 2-2(4-3, + -2-2(3-4,)] + бзОГЗ (F2 3 + ps, 4-2-3(4,) + е^<Т1 (F2-4 + Ps, 3-f 2-4(3,)

(9.28)

Уравнения (9.27) и (9.28) решаются совместно относительно

40, 1 и до, 2-

Для двух зеркальных поверхностей плотности потоков падающего излучения qt, 3 и 4 можно определить, как только станут известными плотности потоков qo для диффузных поверхностей. Для зеркальной поверхности Ад поток падающего излучения равен

АзЧг, 3 == Aiqo, 1 (f 1-3 + Ps, 4-1(4,-3) +

+ А^Чо, 2 (i2-3 + Ps, 42,4,-з) + A£,oTlF,-3. (9.29)

Используя соотношение взаимности, А^ можно исключить и получить, таким образом, следующее выражение:

Чг, 3 = (/о, 1 (-f 3-1 + Ps, 4-3-1(4)) +

+ qo, 2 (i3-2 + Ps, 4-3-2(4,) + б4ст№-4- (9-30)

Аналогично для qt, 4 получаем

41, 4 = go, 1 (4-1 + Ps, 3-f 4-1(3,) +

+ 0, 2 (i4-2-bPs, 34-2(3,) +еЗ<Г^34-3- (9-31)

Для диффузных поверхностей результирующий тепловой поток, подводимый для поддержания теплового равновесия, определяется по уравнению (8.6)

¥-ukri-n~4o,.).

(9.32) (9.33)

0з А.

= G {on~qi,3),

- = €4 (оГ1-д 4).

(9.34) (9.35)

Все коэффициенты, необходимые для решения задачи, теперь известны. Когда поверхность 1 (или 2) черная, уравнение (9.32) [пли (9.33)] не может быть использовано, так как qo, i = CJt и 1-6i = О, что приводит к неопределенности в выражении для Qi-В этом случае, как и в примере 9.5, qi, j определяется из выражения (9.26) и тогда QJA = go. i - 4i.i = <Т\ - qt,.

Можно сделать обобщение для замкнутой системы, состоящей из N поверхностей. Для поверхностей замкнутой системы с задан-нылт постоянными температурами рассмотрим плотности потоков эффективного излучения до от диффузно отражающих поверхностей, заданные уравнениями (9.27) и (9.28) для замкнутой системы, показанной на фиг. 9.9. Они могут быть нереписаны в виде

Чо. 1 = еюТ', + 60 {go,l [Ps,3.f 1-1(3, + Ps,3ps,4 (-f 1-1(3-4, ~ Л-1(4-з ))Г+

+ Чо, 2 {P1-2 + Ps, зЛ-2(3, + Ps, 4-f 1-2(4) + Ps, sPs, 4 1-2(3-4,) + + £з(УЦ (Fi 3 + Ps, 4Fi 3(4)) + £iOTl (Fi 4 + Ps, 31-4(3,)} =

= 6iart -b (1 - 6i) {Чо, iPU + Чо, iPU + boTlPl, + e.oTlFU

(9.36)

и

Чо, 2 = £20Tl + (1 - G) {go, 1 (-f 2-1 + ps, 3-f 2-1(3) + Ps, 42-1(4) + + ps, 3Ps, 4-? 2-1(4-3)) Чо, 2 [Ps, 4-2-2(4) + Ps, 3Ps, 4 (-f 2-2(4-3) + 2-2(3-4))] Ь + [Р2-З + Ps, 4/2-3(4,] + £iOTl [F2-4 + Ps, 32-4(3,]} =

= е^оП 4-(i-62) (go, iPU + Ч0,2PU + ЬоЦР1, + ,oT\FU), (9.37)

где коэффициенты Р%~в определяют долю энергии диффузного эффективного излучения, исходящего от поверхности А и падающего на поверхность В непосредственно и по всем возможным траекториям при зеркальном отражении.

Для замкнутой системы, образованной N новсрхностями, из которых d диф()узно отражающие п N - d зеркально отражающие поверхности при заданных температурах, общая система уравнений переноса энергии может быть получена путем обобщения уравнений (9.36) и (9.37). Пронумеруем диффузные поверхности От 1 до d, а зеркальные - от d -)- 1 до А'. Тогда обобщенное уравнение для каждой диффузной поверхности записывается

приравнивается j из (9.24), что дает

= Qo, 1 [Ps. 31-..3> + Ps, 3Ps, 4 (А-1,3-4, + il-1,4-3,)] +

1-ti

+ qo, 2 (-f 1-2 + Ps, 3-f 1-2(3) + Ps, 4-f 1-2(4) + Ps, sPs, 4-1-2(3-4)) + + ег<УТ1 (Fl-3 -f Ps. 4-f 1-3(4,) + eoT, (Fi 4 + Ps. 3-1-4,3,)

(9.27)

Аналогично рассмотрение 2 ДЛя поверхности 2 дает

9о, 2-б2РГ р^ 4-2-1(4-3,) +-

Для зеркальных поверхностей, исключая qo из уравнений (9.17) и (9.18), в результате получаем

= еиоП + {1-еи)о У jTjFl.i, (9.38)

i=d+ i

Эта система уравнений рептается относительно </ для диффузных поверхностей. Плотности потоков падающего излучения ДЛЯ каждой зеркальной поверхности получают, используя потоки эффективного излучения q для диффузных поверхностей. При этом выражение для д представляет собой обобщение уравнений (9.30) н (9.31)

9/ . = 2 9о yfLi + o 2: бда%-, d+lkN. (9.39)

j=i j=d+i

Подводимый извне поток результирующего излучения равен для каждой диффу.зной поверхности

6л

Qk = Ah

и для каждой зеркальной поверхности Qk = Ahbm-qi,k): d~

1<Л<Л\

(9.40)

(9.41)

Уравнения (9.38) - (9.41) являются общими соотношениями теплообмена излучением для замкнутых систем, состоящих из диффузных и зеркальных поверхностей.

Ес.ти /с-я диффузная поверхность черная, то qo,h = п 1 - 6ь = О, так что уравнение (9.40) неопределенно. В этом случае можно использовать следующее уравнение:

Qu = Au {oTi-qilk),

где qi,h определяется пз (9.39) при 1 /с d.

Если для диффузной поверхности 1 /с d задан подводимый тепловой поток Q, а пе температура Т^, то в уравнеипи (9.38) неизвестной величиной будет Тр.. Для исключения этой неизвестной величины п представления ее через до, ft и Qh можно воспользоваться уравнением (9.40).

Если для зеркальной поверхности d -f 1 /с Л' задан тепловой поток Qh, то в последнем члене уравнения (9.38) неизвестным будет одно из слагаемых Tj. Уравнение (9.41) в сочетании с (9.39) позволяет исключить д;,что дает

Ah(:h

= 2 o./ft-i + o 2 ejTjFLi, dn-l<fc<A. (9.42)

1 Qk

Qj -O

Aj ,0

FLj =

= аГ-2 arFLi- 2 l<A-<iV. (9.43)

.;=1

Уравнение (9.43) можно использовать для получения некоторых соотношений между коэффициентами F, аналогичных соот-

ношепию 2 для диффузных поверхностей. Рассмотрим случай,

когда вся замкнутая система находится при постоянной температуре. Тогда не будет результирующего обмена энергией излучения и все Q будут равны пулю, а уравнение (9.43) сведется к следующему:

2 FL.+ 2 0- = 1-

3=1 j=d+l

(9.44)

Если все поверхности в замкнутой системе зеркальные {d = 0), то

(9.45)

2 ejFLr-I. (1-р.,у)К-; = 1.

3=d+ 1

9.4.2. Криволинейные зеркально отражающие поверхности

В предыдуще.м разделе все рассматриваемые зеркальные поверхности были плоскими. Здесь будут рассматриваться криволинейные зеркально отражающие поверхности. В этом случае геометрия отраженных изображений может стать достаточно сложной. Чтобы продемонстрировать некоторые из основных положений, рассмотрим относительно простой случай - теп.тообмен излучением внутри зеркальной трубы (фпг. 9.10) [6.

Предполагается, что заданные температура или условия нагрева зависят только от осевой координаты пне зависят от поло-ВДення па окружности трубы. Чтобы определить теплообмен излучением внутри трубы для осесимметричиых условий нагрева, необходимо знать угловой коэффициент между двумя кольцевыми

Так как Qh известно, уравненпя (9.42) и (9.38) можно объединить д.тя получения системы уравнений, определяющей д^ для диффузно отражающих поверхностей п Т для зеркально отражающих повермгостей с заданным Q.

Другой впд окончательных уравнений можно найти, исключая qi и до из (9.38) и (9.39) нрп помощи (9.40) н (9.41). Это позволяет получить систему уравнений, в которой непосредственно связаны Q \\ Т: