ехь (Х) dl =

2nC,rfi d\\ /47

,C2,/T i =-erib (Л) Л.

(2.Ив)

Величина вф (г|) является спектральной новерхностной плотностью потока излучения, отнесенной к единице интервала волновых чисел, включаюш,его ц.

Для лучшего ионимания смысла уравнения (2.11а) на фиг. 2.6 построены зависимости полусферической спектральной поверхностной плотности потока излучения от длины волны для нескольких значений абсолютной температуры. Характерной особенностью, которая совершенно очевидна, является увеличение энергии излучения, соответствующего всем длинам волн, с увеличением температуры. Как было показано в разд. 2.3.5, а также известно из опыта, энергия интегрального излучения (включающего все д,пины волн) должна увеличиваться с температурой. Из фиг. 2.6 также следует, что это справедливо и д,ля энергии излучения, соответствующего каждой длине волны. Другой характерной особенностью является смещение максимумов спектральной поверхностной плотности потока излучения с увеличением температуры в сторону более коротких длин волн. Сечения графика на фиг. 2.6 при фиксированных значениях длин волн, определяющие энергию из.тучения в функции температуры, позво.тяют установить, что энергия излучения, испускаемого на коротковолновом конце спектра, увеличивается с температурой быстрее, чем энергия излучения, соответствующего большим длинам волн.

На фиг. 2.6 указано положение диапазона длин волн видимой области спектра. Для тела при температуре 555 К на видимую область спектра приходится очень малая доля энергии, которая не воспринимается человеческим глазом. Так как кривые при бо.тее низких температурах отлого спускаются от красного участка к фиолетовому концу спектра, то вначале с увеличением температуры становится видимым красный свет ). При более высоких температурах становится видимым из,лучение, соответствующее следующим длинам волн видимой области спектра, а при достаточно высокой температуре излучаемый свет становится белым и состоит из набора всех длин волн видимого спектра.

Чтобы нить ламны накаливания работала эффективно, она должна иметь высокую температуру. В противном случае большая часть электрической энергии будет рассеиваться в виде излучения в инфракрасной, а не в видимой области спектра. Большинство вольфрамовых нитей лами накаливания работает при температуре ~3 ООО К, и поэтому большая часть энергии расходуется на излу-

) Это происходит в так называемой точке Драппора, соответствующей 525° С [5]. При этой температуре становится заметным в затемненном помещении красный свет от нагретого предмета.

Фио/1ето8ый

область спектра (0,4-0,7мкм)

X, мкм

Фиг. 2.6. Полусферическая спектральная поверхностная плотность потока излучения абсолютно черного тела для нескольких значений температур. X - длина волны; е^ (?., Г) - полусферическая спектральная поверхностная плотность

потока излучения.

чение в инфракрасной области. Скорость испарения нити ограничивает ее температуру этой величиной. Спектр излучения Солнца подобен спектру излучения абсолютно черного тела при температуре ~5 800 К, и значительная часть выделяемой энергии приходится на видимую область спектра. По всей вероятности, вследствие эволюции наши глаза стали наиболее чувствительными в области спектра с максимальной энергией. Если бы глаза были

чувствительны в других областях (например, в инфракрасной, так что можно было бы видеть в темноте тепловые изображения предметов), то наше определение видимая область спектра изменилось бы. Если будет обнаружена жизнь в других солнечных системах с другой эффективной температурой Солнца, то будет интересно узнать, какой диапазон длин волн составляет там видимый спектр при условии наличия зрения у обитателей.

14000-10 5

0,6 0,8 1

XT, мкм-к

Фиг. 2.7. Спектральное распределение пол5тферической поверхностной плотности потока излучения абсолютно черного тела в обобщенных координатах.

- закон Планка; - --закон Вина; - - - закон Рэлея - Джинса.

Уравнение (2.11а) можно представить в более удобном виде, позволяющем избежать построения кривых для каждого значения Г, разделив его на температуру в пятой степени:

{XT)He-i)

(2.12)

Это уравнение определяет величину е^ь (Я, Т)1Т^ как функцию единственной переменной КТ. График такой зависимости приведен на фиг. 2.7 и заменяет совокупность кривых на фиг. 2.6. В табл. А.5 даны численные значения этих величин.

ПР11МБР 2.2. Чему равна полусферическая спектральная поверхностная плотность потока излучения абсолютно черного тела при температуре 833 К, соответствующего длине волны 2 мкм? Воспользуйтесь данными табл. А.5.

Величина КТ равна 1666 мкм-К. По табл. А.5 находим, что ппи этом значении КТ величина е^ь/Г = 0,51841 X 10 Вт/(м* -К ), откуда ехь (2 мкм) = 0,51841 -Ю X 833 = 2,08-10 Вт/м'.

2.4.7. Приближенные выражения

для распределения энергии по спектру

Закон Планка для распределения энергии в спектре абсолютно черного тела дает максимальное значение интенсивности излучения, которое при данных температуре и длине волны может излучать любое тело. Эта интенсивность выполняет роль оптимального эталона, с которым можно сравнивать характеристики реальных поверхностей. В гл. 3 будут определены методы такого сравнения. Закон Планка позволяет также оценить максимальные характеристики излучения любого излучающего устройства.

Иногда применяются более простые приближенныеформы закона Планка. Однако следует иметь в виду, что использовать их можно только в том диапазоне, где они дают приемлемую точность.

Закон излучения Вина. Если член е^1, уравнение (2.12) приводится к выражению

(2.13)

которое известно как закон излучения Вина. При значениях КТ <С. < 3 ООО мкм-К эта формула дает погрешность в пределах 1%

Закон излучения Рэлея - Джинса. Другое приближенное выражение можно получить, если разложить в ряд знаменатель в уравнении (2.12):

. е^2/--1 = 1 + + 4-(#)Ч-()Ч..--1. (2.14)

Если КТ существенно больше С^, ряд можно ограничить вторым членом С^/КТ, и уравнение (2.12) принимает вид

i,j,{X, Т) 2С, 1

(2.15)

Оно известно как закон излучения Рэлея - Джинса. Эта формула дает погрешность в пределах 1 % при значениях КТ:>7,8-10мкм -К, Находящихся за пределами диапазона, обычно рассматриваемого

Ь задачах теплового излучения, так как абсолютно черное тело излучает более 99,9% своей энергии при ЯГ < 7,8-10 мкм-К. Формула применима для длинноволнового излучения другого вида, например радиоволн.

На фиг. 2.7 эти нриб,лиженные формулы сравниваются с законом Планка.

2.4.8. Закон смещения Вина

Другой представляющей интерес величиной, относящейся к пектру излучения абсолютно черного те.ла, является длина волны Ямакс! которой соответствует максимум новерхностной плотности потока излучаемой энергии е^ь Щ- Как показано пунктирной кри-Ьой на фиг. 2.6, этот максимум с увеличением температуры смещается в сторону более коротких длин волн. Величину Х^аксТ можно найти но но.ложению ника кривой на фиг. 2.7. Кроме того, ее можно найти путем дифференцирования функции Планка из уравнения (2.12) и приравнивания полученного выражения нулю. В результате по.лучается трансцендентное уравнение

решение которого имеет вид

(2.16)

(2.17)

и является одним из выражений закона смещения Вина. Значения постоянной Сд приведены в табл. А.4. Сог,дасно уравнению (2.17), максимумы поверхностной п.дотности потока излучения и его интенсивности смещаются в сторону более коротких длин волн с увеличением температуры обратно пропорционально Т.

ПРИМЕР 2.3. Какой должна быть температура абсолютно черного тела, чтобы максима.льное значение поверхностной плотности потока излучения е^ъ ирих,одилось на середину видимой об.ласти спектра?

Из фиг. 1.2 видно, что видимая область спектра занимает диапазон от 0,4 до 0,7 мкм и середина этого диапазона приходится на 0,55 мкм. Из уравнения (2.17) имеем

2,8978-10-3 м-К 0,55-10-6 м

= 5270 К.

Полученное значение приближается к эффективной температуре излучения поверхности Солнца, равной 5800 К.

2,4.9. Интегральная интенсивность и полусферическая

интегральная поверхностная плотность потока излучения

До сих нор рассматривалась энергия излучения, приходящегося на единицу интервала длин волн, которое испускает абсолютно черное тело при каждой длине волны. Покажем теперь, как найти интегральную интенсивность излучения, соответствующую всем длинам волн. Результат получается в виде очень простого соотношения.

Энергия излучения внутри бесконечно малого интервала длин волн dX равна ц.ъ (Х) dX. Интегрируя спектральную интенсивность излучения по всем длинам волн от Я = О до Я = оо, получим интегральную интенсивность излучения

ib = j ixb (Х) dX.

(2.18)

Этот интеграл можно вычислить, используя закон Планка и вводя новую переменную Z, = CJXT. У^авнение (2.18) принимает тогда следующий вид:

о

., f 2Ci J, \ I С2\Ч Т Y 2Ci / IT у

Полученный интеграл можно вычислить, пользуясь таблицей интегралов, приведенной в работе [6]:

2С1Г* я

С1 15

Вводя новую постоянную, получим

Где постоянная

а = - = 5,6693.10- Вт/(м2.К*).

(2.20)

(2.21)

(2.22)

Полусферическая интегральная поверхностная плотность потока излучения равна

e = J eb{X)dl= J mxbmdX = aT\ (2.23)