Г = О не оказывает никакого влияния, так как со стороны открытого края между пластинами эффективная степень черноты равна единице, а температура - пулю. Определяющие уравнения в этом случае записываются в следующем виде:

L/2 -L/2

2 [(У~х)2 + а2]3/2 ,2

[(у-) + а2]3/2

dy, (8.49а)

-L/2

= ar;( -jor;wJ- -... (8.496)

Другой вывод можно сделать с помощью уравнения (8.42). Сначала получаем следующие два уравнения с неизвестными i (х) и до, 2 (г/):

1 (Х) - (1 - 60 go, 2 (I/) :;,j3/2 = еСТГ? (.),

(8.50а)

до.2(1/)-(1-б2) j g ,.(.)4-- fi dx=e2arni/).

- i*/2

(8.506)

После определения тепловых потоков до находим (х) и {у) по уравнению (8.44а):

9iix)=i[oTt(x)-qo,i{x)], (8.51а)

92 (у) т(У)-до,2{у)].- (8.516)

8.4.2. Методы решения интегральных уравнений

В предыдущих примерах показано, что распределения неизвестных тепловых потоков на стенке или температуры поверхностей замкнутой системы находятся из решений отдельного интегрального уравнения или системы интегральных уравнений. Эти интегральные уравнения являются линейными, т. е. неизвестные неременные д, q и Г* содержатся в них в первой степени. (Заметим, что Г*, а не Г рассматривается как независимая пере-

менпая.) Для решения линейных интегральных уравнений существует ряд аналитических и численных методов. Эти методы описаны в учебниках но математике, например в гл. 4 работы [6]. В настоящем разделе будет проанализировано применение этих методов к задачам по теплообмену излучением и будут приведены некоторые примеры.

Численное интегрирование системы уравнений. В большинстве случаев функции, стоящие под знаком интеграла в интегральных уравнениях, представляют собой сложные алгебраические величины. Это обусловлено тем, что такие функции содержат угловой коэффициент, который для большинства геометрических конфигураций не прост. Обычно очень трудно найти точное аналитическое решение, и поэтому в большинстве случаев пытаются получить численное решение. Интегралы записываются в конечно-разностном виде путем разбиения каждой поверхности на сетку из малых элементов конечного размера. В результате получается система уравнений, содержащих неизвестные величины для каждого узла сетки. Эту процедуру лучше всего проиллюстрировать На конкретном примере.

ПРИМЕР 8.12. С помощью интегрального уравнения (8.46) вывести систему алгебраических уравнений для определения распределения потоков эффективного излучения до 2 по длине трубы I = 4.

Для простоты разделим длину на четыре равных элемента (Дт = 1) и используем правило трапеции для интегрирования. Применяя уравнение (8.46а) к концу трубы, где = О, получим

до,2 (0)-[у до. 2(0)(1 0-0) + до,2(1)(1-0) + -bgo,2(2)(2-0) + go,2(3)(3-0) +

+ i-go,2(4)A:(4-0) (1) =

(8.52)

Величина, стоящая в квадратных скобках, является приближенным представлением интеграла но правилу трапеций. Величина К {\ц -I \) = dF {\ц ~1 )/dii - алгебраическое выражение внутри фигурных скобок уравнения (8.466). Величины тепловых потоков до, 2(0) в (8.52) сгруппированы вместе и образуют первое уравнение (8.53). Другие четыре уравнения системы являются конечно-разностными уравнениями для других узлов сетки но длине цилиндра:

до, 2 (0) [l - -1- (0)] - до, 2 (1) (1) - до. 2 (2) к (2) --до. 2 (3) к (3) -igo, 2 (4) л: (4) = g2.

-\qo.2 (0) К(1) + go,2 (1) [ 1 -(0)] - qo, 2 (2)л:(1) -q (3) К (2)-

~igo,2(4):(3) = g2,

- у go, а (0) K{2)-qo, 2 (1) (1) + go. 2 (2) [1-й: (0)i 2 (3) й: (i) -

-1до,2(4)й:(2) = д2,

- go, 2 (0) к (3) - go, 2 (1) й: (2) - go, 2 (2) й: (1) + g , (3) [1 - йг (0)] -

-4до,2(4)й:(1)=:д2,

- да, 2 (0) й: (4) - go, 2 (1) й: (3) - go, 2(2) й: (2) - go, a (3) й: (1)+

+ go.2(4) 1-й:(0)

(8.53)

Система этих уравнений решается относительно неизвестных величин до, г ДЛЯ пяти узлов. Используя симметрию системы и условие постоянства q, на поверхности трубы в этом примере, можно упростить решение при помош;и равенств до, 2 (0) == до, 2 (4) и Чо, 2 (1) = Чо, 2 (3).

Система уравнений, подобная (8.53), сначала решается для небольшого чпспа элементов по длине замкнутой системы. Затем размер элемента или шаг сетки уменьшается, и система уравнений решается снова. Процесс продолжается до получения достаточно точного значения до- Эта процедура обычно программируется на ЭЦВМ для произвольного размера шага сетки.

Уравнения (8.53) были выведены при помощи правила трапеции как простейшая численная аппроксимация для вычисления интегралов. Можно использовать и другие более точные схемы численного интегрирования с меньшим числом узлов, необходимых для достижения достаточной точности в данной задаче.

При этом необходимо соблюдать известную осторожность. В некоторых случаях величина до,; dF-d} может быстро изменяться из-за геометрических факторов, входящих в выражение для углового коэффициента. Например, dF-dj иногда очень быстро уменьшается с увеличением расстояния между dA и dAj. Это может означать, что метод приближенного интегрирования, например правило Симпсона, недостаточно точен, так как форма 4o,jdFa j недостаточно хорошо аппроксимирована отрезками парабол во всей области значений функции. Осторожность должна быть проявлена и при выборе схемы интегрирования, которая может хорошо аппроксимировать общее поведение функций.

Пример 8.12 содержал только одно интегральное уравнение. Случай, описанный уравнениями (8.49), представлен двумя инте-

тральными уравнениями. В этом случае поверхности 1 и 2 разделяются на элементы и уравнения для каждого узла сетки записываются в конечно-разностной форме. В результате будет получена система уравнений, соответствующих равно общему числу выбранных узлов на обеих пластинах, которая может быть решена относительно распределений q (х) и (у).

Другим способом численного решения двух интегральных уравнений является метод итераций. Если заданы (х) и Га (г/), то правые части уравнений известны как функции хиу. Начиная с уравнения (8.49а), принимается первое приближение для распределения да(у). Затем проводится численное интегрирование для различных значений х, чтобы получить д^ (х) в узлах х. Полученное распределение {х) подставляется в уравнение (8.496) и определяется распределение д^ (у), которое используется затем для вычисления нового значения д^ (х), и процесс продолжается до тех пор, пока д^ (х) и д^ (у) не перестанут изменяться в процессе итераций.

Приближение вырожденного ядра. Решение интегрального уравнения, аналогичного уравнению (8.46а), можно иногда упростить, если ядро уравнения имеет вырожденную, или разделяющуюся, форму, т. е. может быть представлено в виде произведения (или суммы произведений) функции только от и функции только от Tft. Напомним, что, согласно (8.36), ядро равно К (vj, г^) = = dFcik-dj (Г;, rh)/dAj. Для вырожденного ядра функция может быть выведена из-под знака интеграла, и интегрирование тем самым упростится. Общая теория интегральных уравнений с вырожденными ядрами представлена в работе [6]. В общем случае в задачах по теплообмену излучением К не будет представлено в вырожденной форме. Однако можно найти разделяющуюся функцию, которая является хорошим приближением К и может быть подставлена в интегральное уравнение для его упрощения.

Бакли [8, 9] показал, что особенно полезной формой для вырожденного ядра является экспоненциальиая функция или ряд экспоненциальных функций. При помощи ядра такого типа можно преобразовать интегральное уравнение в дифференциальное, а иногда получить аналитическое решение. Это будет показано в примере 8.13. Следует обратить внимание на одну математическую особенность. В процессе преобразования интегрального уравнения в дифференциальное требуется вычисление производных от приближенного выражения для вырожденного ядра. Даже если разделяющаяся функция является довольно хорошим приближением точного выражения для ядра, то для производных это приближение может быть плохим, особенно для производных высоких порядков. Использование метода вырожденного ядра 5удет показано на следующем примере.

ПРИМЕР 8.13. Определить д-о.г/дг из уравнения (8.46а) при помощи приближенного выражения вырожденного ядра в виде экспоненциальной функции [7].

Основное уравнение имеет вид

go, 2 (I) ?2

i -~Ki\-l\)d4=i. (8.54а)

где

11=0

(8.546)

Зависимость ( ) представлена на фиг. 8.11. Это ядро достаточно хорошо аппроксимируется функцией e-H-SI. Когда

Фиг. 8.11. Аппроксимация ядра интегрального уравнения для цидиндриче-ской замкнутой системы экспоненциальной функцией.

(I n-i 1)3 + -- (I I)

-К=1----точное значение,

[(i1-i)2+i]/2

---К=е~ - приближенное значение.

приближенное выражение для ядра подставляется в (8.54а), то часть функции, зависящая от \, может быть выведена из-под знака интеграла, что дает

go.2(l) g 2 g°.2() g2rfTi-e2£ f .l£iA<!!Le-2dTi = i. (8.55)

J 2 J 92

0 £

После двукратного дифференцирования выражения (8.55) можно избавиться от интегралов и получить следующее дифференциальное уравнение:

<1Чдо,2(1)142] /

Это уравнение имеет общее решение, получаемое двукратным интегрированием

9о, 2 (I)

(8.56а)

Для определения и необходимы два граничных условия. Одно граничное условие находится из соображений симметрии

АМ=0 при = 1,

готкуда Cl = 21. Для определения граничное условие можно получить из (8.55), вычисляя это выражение при I = О п I - I . с учетом, что о, 2 (0) = 50, а (О- Это дает следующее граничное условие:

о о

родставляя в него до, JQ2 = -2 -f- 2? -f- С2 и интегрируя, юлучаем = I ~\- i. С использованием найденных значений

С2 получаем окончательное выражение для Qo, 42 которое представляет собой уравнение параболы

=-/-Ы-Ь2(г-2),

(8.566)

Граничные условия, необходимые для определения и С3, можно получить даже для асимметричного случая, вычисляя интегральное уравнение на обеих границах а; = О, л; = Z. В этом случае из (8.55) следует

9о, 2 (0)

go, 2 (I) Ч2

go, 2 () ?2

е2л d = i.

Затем go, з/дг из (8.56a) подставляют в эти два граничных условия. После выполнения интегрирования получают систему из двух уравнений относительно и С3, имеющих то же решение, что и ранее. Преимущество ранее использованного условия симметрии заключалось только в простоте алгебраических преобразований.