oTh (Tfe) ДЛЯ серых поверхностей находятся просто добавлением величины [(1 - efe)6fe] qh (rfe)-

Выше представлен ряд формулировок уравнений, определяю-ш,их теплообмен излучением в замкнутых системах. Соотношения между величинами Q, Т я до на различных поверхностях сведены для удобства в табл. 8.1.

ПРИМЕР 8.9. В качестве простого примера нагреваемой замкнутой системы рассмотрим круглую трубу, открытую с обоих концов и изолированную с внешней боковой новерхности (фиг. 8.8)

Поверхность 1

Поверхность 2 (внутренняя поверхность стенки трубы)

Поверхность 3

Тз = 0 или Tg

Фиг. 8.8. Равномерно обогреваемая труба, изолированная с внешней боковой

поверхности и открытая с обоих концов. а - геометрическая схема и система координат; б - распределение внутри трубы при

Llii = 4.

[7]. 1. Каково распределение температуры вдоль трубы при равномерном теплоподводе но длине трубы и температуре окружающей среды О К? 2. Если температура окружающей среды Те, то как это повлияет на распределение температуры по длине трубы? 1. Так как открытые концы трубы не отражают излучение, можно рассматривать их как черные диски при заданной температуре О К. Найдем qo для этих дисков с помощью выражения (8.446). При

dFai-a (ti-) = Sl

(8.466)

Абсолютная величина r\ - используется в связи с тем, что угловой коэффициент зависит только от расстояния между кольцами. При I т] - I = О dF = dr\ представляет собой угловой коэффициент излучения элементарного кольца самого на себя. Обе части уравнения (8.46а) можно разделить на постоянную величину 2 и найти решение относительно безразмерной величины Чо, 2 ()/д2 численным или приближенным методами решения линейных интегральных уравнений. Эти методы будут рассмотрены в разд. 8.4.2. Распределение qo, 2 (Ю/?2 показано на фиг. 8.8, б для трубы длиной 4 диаметра. Из уравнения (8.446) получаем распределение четвертой степени температуры по длине трубы в следующем виде:

oTl (Е) =

g2 + ?o, 2(E)-

Так как величина q постоянна, то распределение Т^ Ц) имеет ту же форму, что и распределение qo, 2 il)- Стенка имеет высокую температуру в центральной части трубы и низкую температуру на концах, где тепло может легко отводиться излучением в окружающую среду с низкой температурой.

2. Теперь рассмотрим случай, когда окружающая среда имеет температуру Те- Открытые концы цилиндрической замкнутой Системы можно рассматривать как абсолютно поглощающие диски с температурой Те- Интегральное уравнение (8.436) в этом

€i = €з = 1 из (8.446) получаем

qo.i = qo.3--oT\ = oTt = 0.

Следовательно, иод знаком суммы в уравнении (8.436) будет содержаться только излучение от поверхности 2 на саму себя. Так как труба осесимметрична, то элементарные площадки dAj и dAt могут быть представлены в виде колец с координатами хиу. Для удобства все длины сведены к безразмерному виду относительно диаметра трубы. Тогда из уравнения (8.436) следует

qo, Чо, 2 (Tl) dFaiar, ( г) - g ) = q (8.46а)

т,=о

где I = xlD, т) = yID, I = LID и di-dn (I Л - U) - угловой коэффициент для двух колец, разделенных расстоянием т) - £ 1 (конфигурация 26, приложение В)

случае принимает следующий вид:

-onFdi-i il)- оПРа {l-l) = q2,

где Fdi-i (l) - угловой коэффициент между кольцевым элементом с координатой 1 и диском 1 с координатой = 0, т. е.

(2 + l)l/2

Так как полученное интегральное уравнение является линейным относительно переменной до, 2(1 будем искать решение в виде суммы двух частей: до,г{1) при Ze = 0 и о, 2 © при 2 = 0

Qo, 2 (1) = до, 2 il) т^=0 + до, 2 il) 92=0-

Подставляя это решение в интегральное уравнение, получим

до,2{1)\т=о + до,2{1)\ч2=о- J go,2{ц)\т=odFdi-dn{\ц-l\) -

- J ?o,2(ri)92=0rfid-dtl(n-)-11=0

- aTtFdi-i il) ~onFdi-г {l-l) = g2-При Ге = 0 применимо уравнение (8.46а), из которого следует

?о, 2 () 192=0 - J go,2(ll)92=0id-dr,(h-l)-

- аПРаг-, il) - оПРаг-г {1-1)0.

Решением уравнения является

до, 219о=о

что МОЖНО проверить прямой подстановкой и последующим интегрированием. Этого результата можно было ожидать из физических соображений для необогреваемой поверхности, помещенной в среду с постоянной температурой. Распределение температуры по длине трубы находится из уравнения (8.446)

оТ1 (1) = д2 + до. 2 (1) \т=о + до, 2 il) Uo,

1-€2

g2 + go,2il)\T=o + oTt,

где до, 2 il) 1т^=о - плотность потока излучения, определенная в первой части этого примера. Согласно принципу суперпозиции, для учета влияния температуры окружающей среды к решению относительно аГ* Ц), первоначально полученному при = О, добавлен член аГ*.

ПРИМЕР 8.10. Рассмотрим излучение из длинной цилиндрической полости, высверленной в материале, находящемся при постоянной температуре Т (фиг. 8.9, а). Полость предполагается

Ну-т -о

/ / / / < у г /

/.

Фиг. 8.9. Излучение из цилиндрической полости при постоянной температуре.

а - геометрия и система координат; б - кажущаяся степень черноты цилиндрической

стенки.

достаточно глубокой, так что влиянием поверхности дна при Составлении уравнения теплового баланса можно пренебречь. Окружающая среда имеет температуру О К. В сечении с коорди-

натой X эффективное излучение цилиндрической новерхности стенки полости состоит из собственного и отраженного излучений, которые в сумме дают величину {х). Кажущаяся степень черноты полости определяется как (х) = qo {х)1аТ. Определим связь go {х) с действительной степенью черноты поверхности g при условии, что она ностоянна. Интегральное уравнение, описывающее теплообмен излучением внутри полости, было впервые выведено Бакли [8, 9], а позднее Эккертом [10], причем оба исследователя получили приближенные аналитические решения. Позднее Снэрроу и Алберс выполнили с большей точностью численные расчеты на ЭЦВМ [И].

Отверстие полости можно рассматривать как абсолютно поглощающий (т. е. черный) диск при нулевой температуре. Тогда из уравнения (8.446) следует (так как для отверстия g = 1, Г = 0), что поток эффективного излучения qo для отверстия равен нулю. Следовательно, основным уравнением для замкнутой системы является уравнение (8.43а), занисанное для цилиндрической поверхностп стенки и содержащее под знаком суммы только потоки излучения цилиндрической стенки на саму себя. Как и в примере 8.9, здесь рассматривается угловой коэффициент между кольцом элементарной длины на цилиндрической новерхности и вторым таким кольцом, соответствующим другой осевой координате. Из уравнения (8.43а) тогда следует

go(S)-(i-o J,go(ii) -d(h-EI)=eors (8.47)

11=0

где I = xlD, r\ = yID и dFi-dn { \ Ц - I I) определяется no уравнению (8.466). После деления на постоянную величину of* получим следующее интегральное уравнение, определяющее кажущуюся степень черноты полости:

6а(1)-(1-б) 5 €a(Tl)d5-dtl(h-5) = e-

(8.48)

11=0

Уравнение (8.-48) было решено для различных значений степеней черноты поверхности g. Результаты решения в виде зависимости кажущейся степени черноты go поверхности цилиндрической полости от координаты но длине полости представлены на фигуре 8.9, б. Эффективное излучение новерхности приближается к черному излучению с увеличением координаты х в глубину полости. У входного отверстия полости go = g [8, 9].

ПРИМЕР 8.11. Какие интегральные уравнения описываю! теплообмен излучением между двумя параллельными, расположенными друг против друга пластинами конечной ширины и беско-

нечной длины (фиг. 8.10)? Каждая пластина имеет заданное распределение температуры, которое зависит только от указанных координат X или у по ширине нластин. Температура окружающей среды равна нулю.

Ыерхноеть 2

Поверхность 1

Изоляция

Фиг. 8.10. Геометрическая схема для иллюстрации теплообмена излучением между двумя параллельными пластинами бесконечной длины и конечной

ширины.

в - параллельные пластины шириной L и бесконечной длины; б - координаты, в поперечном сечении зазора между параллельными пластинами.

Как было показано в примере 7.4, угловые коэффициенты между бесконечно длинными параллельными элементарными полосами dAi ж dA равны соответственно

idy.

dFai-di = -р- d (sin ф) =

dFdi-di = тг

2 l(y-=)+a

; dx.

-~Ку-х)-а^]

Распределение тепловых потоков, подводимых к каждой пластине, вычисляется с помощью уравнения (8.39) для каждой пластины. Как п в примерах 8.9 и 8.10, окружающая среда при температуре