Главная  Теории теплообмена излучением 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 [ 18 ] 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156

т

фиксированным. Поэтому dx/dt = l/Yliy и выражение

(4.166)

является уравнением волны с составляющей Еу по оси у', распространяющейся в положительном направлении х' со скоростью i/Yny. в свободном пространстве (вакууме) электромагнитная волна распространяется со скоростью с„. Скорость распространения электромагнитного излучения в вакууме определяется зависимостью с„ = i/y ро?о )- Составляющая волны электрического поля Еу распространяется вместе с составляющей волны магнитного поля. Если уравнение (4.96) продифференцировать по х', а уравнение (4.10в) - по t, то в результате преобразований получим

~dtr

(4.17)

Уравнение (4.17) является таким же волновым уравнением, как и (4.15а). Следовательно, составляющая напряженности магнитного поля переносится вместе с составляющей напряженности электрического поля Еу- (фиг. 4.2).

Любой распространяющийся волновой пакет, описываемый в уравнении (4.166) функцией /, можно представить с помощью ряда Фурье как суперпозицию волн с различными фиксированными длинами. Рассмотрим только одну такую монохроматическую волну и будем иметь в виду, что любой волновой пакет может быть составлен из ряда монохроматических компонент. В остальной части вывода будет удобнее представить составляющую напряженности электромагнитной волны в комплексном виде.

Допустим, что в начале координат {х' = 0) колебание волнового пакета во времени описывается уравнением

Е,у = Еумехр{Ш).

Волна, покидающая точку {х' = 0) в момент времени ti, достигнет точки х' через промежуток времени х'/с, где с - скорость волны в среде. Поэтому время прихода волны в точку х' равно t = ti -\--f X /с, а время ухода волны из точки х' = О равно ti = t - х'/с. Волна, распространяющаяся в положительном направлении х', будет описываться уравнением

Еу.=-- Ey.M&v[i

1) Независимые измерения ц„, уо и с„ подтверждают этот результат. Тот факт, что с помощью уравнения Максвелла получается одинаковая скорость распространения.в вакууме с„ всех видов электромагнитных волн, является убедительным доказательством электромагнитной природы света. Этот результат - одно из первых важнейших достижений теории электромагнитного поля.

или

Еу = Еум&хр [m{t -Уixyx)].

(4.18а)

Как показывает сопоставление с (4.166), это выражение является решением основното волнового уравнения (4.15а). При желании, используя равенства со = 2nv = 2лс/Х = 2ncJko, можно получить и другие формы решения. Здесь к жК - соответственно длины волн в среде и в вакууме.

Показатель преломления п определяется как отношение скорости распространения волны в вакууме Со к скорости ее распространения в среде с = ЦУ[1у, т. е.

Тогда уравнение (4.18а) принимает вид

Еу. = Е

ум ехр

;4.18б)

Как следует из уравнения (4.186), волна распространяется в среде с незатухающей амплитудой. Этот вывод является следствием предположения, что среда - идеальный диэлектрик, т. е. ее проводимость равна нулю. Проводимость многих реальных веществ существенна, и поэтому последним членом в правой части уравнения (4.1) пренебрегать нельзя. Как будет показано далее, присутствие этого члена приводит к затуханию волны.

4.4.2. Распространение электромагнитной волны

в изотропной среде с конечной проводимостью

Для простоты снова рассмотрим одиночную плоскую волну, описываемую уравнениями (4.18). Если ввести экспоненциальный закон ослабления с расстоянием [из уравнений (4.21) и (4.23) следует, что это удовлетворяет уравнениям Максвелла], то волновое уравнение примет вид

ЕуЕумехр [to (t-~xyj ехр (--хх) , (4.19а)

где к - показатель поглощения среды. Экспоненциальный коэффициент затухания учитывает поглощение энергии волны при ее прохождении через среду. Такая волна ослабляется в зависимости от пройденного расстояния и называется затухающей. Экспоненциальный характер затухания был выбран с тем, чтобы 5Южно было объединить экспоненциальные множители соотношением

= £у'м ехр I to t - {n - ix)~ .

(4.196)



Используя соотношения для комплексных чисел, уравнение (4.196) можно записать в следующем удобном для дальнейшего использования виде

£г/= fiyM (cos - (О t-{n-i%)- I+

-fisin {(О [< - ( -ix)-]} ). (4.19в)

Уравнение (4.196) отличается от уравнения (4.186) тем, что в нем показатель преломления п заменен комплексным числом, которое будем называть комплексным показателем преломления п. Таким образом,

п = п - Ы. (4.20)

Остается показать, что уравнение (4.196) является решением основных уравнений (4.1) с учетом последнего члена в правой части. Если не отбрасывать этот член, то уравнение (4.15а) принимает вид

(4.21)

д^Еу, д^Еу,

Подставляя уравнение (4.196) в (4.21), получим следующее равенство:

с1у^(п-1кГ + , (4.22а)

где Тъ - длина волны в вакууме. Уравнение (4.22а) устанавливает связь между длиной волны и свойствами среды, при которой волновое уравнение удовлетворяет уравнениям Максвелла. Приравнивая действительные и мнимые части в уравнении (4.22а), получим

п^-у?1хус1 (4.226)

и

(4.22в)

Эти уравнения можно решить относительно составляющих комплексного показателя преломления и и, получив для них выражения в виде зависимости от ц, у, ко, Cq и г^;

(4.23а)

и

2Ж1{ 1 + [1+(

(4.236)

В этих решениях перед квадратными скобками выбраны знаки плюс, так как и и - положительные действительные величины.

Решения волновых уравнений для диэлектрической среды (4.186) и проводящей среды (4.196) идентичны, за исключением того что показатель преломления п в уравнении (4.186) заменен комплексным показателем преломления [п - ix) в уравнении (4.196). Это наиболее важный вывод, который означает, что некоторые выражения, полученные для диэлектриков, будут справедливы и для проводников, если показатель преломления п заменить комплексным показателем преломления (п - ix). Эта аналогия будет широко использоваться в следующих разделах.

4.4.3. Энергия электромагнитной волны

Мгновенный поток энергии, переносимый через единицу поверхности электромагнитной волной, определяется векторным произведением напряженностей электрического и магнитного полей. Это произведение называется вектором Пойнтинга )

S = Е X Н,

который в соответствии со свойствами векторного произведения направлен под прямыми углами к векторам Е и Н в сторону, определяемую правилом правой руки. Рассматриваемая плоская волна (фиг. 4.2) распространяется в положительном направлении х'. Модуль вектора S для плоской волны определяется выражением

\8\=Еу.Нг: (4.24)

Если Еу определяется уравнением (4.196), то для определения Hz можно воспользоваться уравнением (4.10в), которое справедливо как для проводников, так и для диэлектриков:

дН дЕ ,

, ~1Г - IP J7

о

Интегрируя полученное уравнение с учетом зависимости Еу от i в уравнении (4.196), найдем следующее соотношение между напряженностями электрического и магнитного полей:

(4.25)


Постоянная интегрирования принята равной нулю. Наличие постоянной интегрирования означает, что помимо индуцированной Еу напряженности магнитного ноля существует постоянная напряженность магнитного по.ля, которая в рассматриваемом случае равна нулю.

1) В русской технической литературе этот вектор часто называют вектором Умова-Пойнтинга, в честь Н. А. Умова, впервые в 1873 г. получившего выражение для него.- Прим. перее.

8-0697



Подставляя выражение для Н^ш в уравнение (4.24), найдем модуль вектора Пойнтинга

SI = -

ЦСо

(4.26)

Таким образом, мгновенный поток энергии через единицу поверхности, переносимый электромагнитной волной, пропорционален квадрату амплитуды напряженности электрического поля.

Так как 1 S - монохроматическое свойство излучения, из определения этой величины следует, что она пропорциональна спектральной интенсивности излучения. В выранхении для спектральной интенсивности излучения, проходящего через среду, также должен присутствовать экспоненциальный коэффициент затухания, равный, согласно (4.26), квадрату экспоненциального коэффициента в выражении для Еу-. Следовательно, на основании (4.19а) коэффициент затухания для интенсивности излучения равен ехр (-2шиа;/со), или ехр (-4лха;/Я„).

4.5. ЗАКОНЫ ОТРАЖЕНИЯ И ПРЕЛОМЛЕНИЯ

Выше была установлена волновая природа излучения и найдены характеристики волны при ее распространении через изотропную среду. Решение дало комплексный показатель преломления, который связан со скоростью распространения излучения и затуханием волны при ее движении в среде. Рассмотрим теперь поведение электромагнитной волны на границе раздела двух сред. В результате получим законы отражения и преломления в зависимости от составляющих комплексного показателя преломления, которые в свою очередь определяются, согласно уравнению (4.23), электрическими и магнитными свойствами среды.

Для простоты рассмотрим простую косинусоидальную волну, которая описывается уравнением (4.19в) с одним только членом, содержащим косинус. Эта волна распространяется в направлении х' и попадает на границу раздела двух сред (фиг. 4.3). Плоскость, содержащая нормаль к поверхности раздела и направление ж', называется плоскостью падения (фиг. 4.1). На фиг. 4.3 система координат выбрана таким образом, что направление у' лежит в плоскости падения. Взаимодействие волны с границей зависит от ее ориентации относительно плоскости падения. Например, если вектор напряженности падающей волны лежит в плоскости падения (его направление совпадает с осью у'), то он состав.тяет некоторый угол с поверхностью раздела. Если же вектор напряженности падающей волны перпендикулярен плоскости падения (его направление совпадает с осью z), то он параллелен поверхности раздела.


Граница раздела

Фронт плоской волнь1 / о пос/гедовательные ; промежутки Времени

Среда 1

Среда г

Ду = Ax/sin р

Фиг. 4.3. Плоская волна, падающая на границу раздела двух сред.

тем не менее она будет непрерывной, и тангенциальные составляющие скорости на границе (составляющие по оси у) будут одинаковыми в обеих средах. Это соотношение непрерывности будет использовано при выводе законов отражения.

Рассмотрим теперь падающую волну /ц,; поляризованную таким образом, что она имеет амплитуду только в плоскости х'у' (фиг. 4.4) и, следовательно, параллельна плоскости падения. На основании уравнения (4.19в) с одним только первым членом получим уравнение волны в виде

(4.27)

Как следует из фиг. 4.4, а, составляющие напряженности падающей волны по осям {х, у, z) определяются следующим образом (составляющие положительны в положительных направлениях осей координат):

Ех,г = -E,i,i sin р, (4.28а>

Ey.i = -Eii.i cos р, (4.286)

Ег = 0. (4.28в)

На фиг. 4.3 показан фронт плоской, поперечной волны, распространяющейся в направлении х'. Хотя из-за различия скоростей распространения в двух средах волна в общем случае будет преломляться при прохождении через границу раздела.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 [ 18 ] 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156

© ООО "Карат-Авто", 2001 – 2018
Разработчик – Евгений Андрианов