т

фиксированным. Поэтому dx/dt = l/Yliy и выражение

(4.166)

является уравнением волны с составляющей Еу по оси у', распространяющейся в положительном направлении х' со скоростью i/Yny. в свободном пространстве (вакууме) электромагнитная волна распространяется со скоростью с„. Скорость распространения электромагнитного излучения в вакууме определяется зависимостью с„ = i/y ро?о )- Составляющая волны электрического поля Еу распространяется вместе с составляющей волны магнитного поля. Если уравнение (4.96) продифференцировать по х', а уравнение (4.10в) - по t, то в результате преобразований получим

~dtr

(4.17)

Уравнение (4.17) является таким же волновым уравнением, как и (4.15а). Следовательно, составляющая напряженности магнитного поля переносится вместе с составляющей напряженности электрического поля Еу- (фиг. 4.2).

Любой распространяющийся волновой пакет, описываемый в уравнении (4.166) функцией /, можно представить с помощью ряда Фурье как суперпозицию волн с различными фиксированными длинами. Рассмотрим только одну такую монохроматическую волну и будем иметь в виду, что любой волновой пакет может быть составлен из ряда монохроматических компонент. В остальной части вывода будет удобнее представить составляющую напряженности электромагнитной волны в комплексном виде.

Допустим, что в начале координат {х' = 0) колебание волнового пакета во времени описывается уравнением

Е,у = Еумехр{Ш).

Волна, покидающая точку {х' = 0) в момент времени ti, достигнет точки х' через промежуток времени х'/с, где с - скорость волны в среде. Поэтому время прихода волны в точку х' равно t = ti -\--f X /с, а время ухода волны из точки х' = О равно ti = t - х'/с. Волна, распространяющаяся в положительном направлении х', будет описываться уравнением

Еу.=-- Ey.M&v[i

1) Независимые измерения ц„, уо и с„ подтверждают этот результат. Тот факт, что с помощью уравнения Максвелла получается одинаковая скорость распространения.в вакууме с„ всех видов электромагнитных волн, является убедительным доказательством электромагнитной природы света. Этот результат - одно из первых важнейших достижений теории электромагнитного поля.

или

Еу = Еум&хр [m{t -Уixyx)].

(4.18а)

Как показывает сопоставление с (4.166), это выражение является решением основното волнового уравнения (4.15а). При желании, используя равенства со = 2nv = 2лс/Х = 2ncJko, можно получить и другие формы решения. Здесь к жК - соответственно длины волн в среде и в вакууме.

Показатель преломления п определяется как отношение скорости распространения волны в вакууме Со к скорости ее распространения в среде с = ЦУ[1у, т. е.

Тогда уравнение (4.18а) принимает вид

Еу. = Е

ум ехр

;4.18б)

Как следует из уравнения (4.186), волна распространяется в среде с незатухающей амплитудой. Этот вывод является следствием предположения, что среда - идеальный диэлектрик, т. е. ее проводимость равна нулю. Проводимость многих реальных веществ существенна, и поэтому последним членом в правой части уравнения (4.1) пренебрегать нельзя. Как будет показано далее, присутствие этого члена приводит к затуханию волны.

4.4.2. Распространение электромагнитной волны

в изотропной среде с конечной проводимостью

Для простоты снова рассмотрим одиночную плоскую волну, описываемую уравнениями (4.18). Если ввести экспоненциальный закон ослабления с расстоянием [из уравнений (4.21) и (4.23) следует, что это удовлетворяет уравнениям Максвелла], то волновое уравнение примет вид

ЕуЕумехр [to (t-~xyj ехр (--хх) , (4.19а)

где к - показатель поглощения среды. Экспоненциальный коэффициент затухания учитывает поглощение энергии волны при ее прохождении через среду. Такая волна ослабляется в зависимости от пройденного расстояния и называется затухающей. Экспоненциальный характер затухания был выбран с тем, чтобы 5Южно было объединить экспоненциальные множители соотношением

= £у'м ехр I to t - {n - ix)~ .

(4.196)

Используя соотношения для комплексных чисел, уравнение (4.196) можно записать в следующем удобном для дальнейшего использования виде

£г/= fiyM (cos - (О t-{n-i%)- I+

-fisin {(О [< - ( -ix)-]} ). (4.19в)

Уравнение (4.196) отличается от уравнения (4.186) тем, что в нем показатель преломления п заменен комплексным числом, которое будем называть комплексным показателем преломления п. Таким образом,

п = п - Ы. (4.20)

Остается показать, что уравнение (4.196) является решением основных уравнений (4.1) с учетом последнего члена в правой части. Если не отбрасывать этот член, то уравнение (4.15а) принимает вид

(4.21)

д^Еу, д^Еу,

Подставляя уравнение (4.196) в (4.21), получим следующее равенство:

с1у^(п-1кГ + , (4.22а)

где Тъ - длина волны в вакууме. Уравнение (4.22а) устанавливает связь между длиной волны и свойствами среды, при которой волновое уравнение удовлетворяет уравнениям Максвелла. Приравнивая действительные и мнимые части в уравнении (4.22а), получим

п^-у?1хус1 (4.226)

и

(4.22в)

Эти уравнения можно решить относительно составляющих комплексного показателя преломления и и, получив для них выражения в виде зависимости от ц, у, ко, Cq и г^;

(4.23а)

и

2Ж1{ 1 + [1+(

(4.236)

В этих решениях перед квадратными скобками выбраны знаки плюс, так как и и - положительные действительные величины.

Решения волновых уравнений для диэлектрической среды (4.186) и проводящей среды (4.196) идентичны, за исключением того что показатель преломления п в уравнении (4.186) заменен комплексным показателем преломления [п - ix) в уравнении (4.196). Это наиболее важный вывод, который означает, что некоторые выражения, полученные для диэлектриков, будут справедливы и для проводников, если показатель преломления п заменить комплексным показателем преломления (п - ix). Эта аналогия будет широко использоваться в следующих разделах.

4.4.3. Энергия электромагнитной волны

Мгновенный поток энергии, переносимый через единицу поверхности электромагнитной волной, определяется векторным произведением напряженностей электрического и магнитного полей. Это произведение называется вектором Пойнтинга )

S = Е X Н,

который в соответствии со свойствами векторного произведения направлен под прямыми углами к векторам Е и Н в сторону, определяемую правилом правой руки. Рассматриваемая плоская волна (фиг. 4.2) распространяется в положительном направлении х'. Модуль вектора S для плоской волны определяется выражением

\8\=Еу.Нг: (4.24)

Если Еу определяется уравнением (4.196), то для определения Hz можно воспользоваться уравнением (4.10в), которое справедливо как для проводников, так и для диэлектриков:

дН дЕ ,

, ~1Г - IP J7

о

Интегрируя полученное уравнение с учетом зависимости Еу от i в уравнении (4.196), найдем следующее соотношение между напряженностями электрического и магнитного полей:

(4.25)

Постоянная интегрирования принята равной нулю. Наличие постоянной интегрирования означает, что помимо индуцированной Еу напряженности магнитного ноля существует постоянная напряженность магнитного по.ля, которая в рассматриваемом случае равна нулю.

1) В русской технической литературе этот вектор часто называют вектором Умова-Пойнтинга, в честь Н. А. Умова, впервые в 1873 г. получившего выражение для него.- Прим. перее.

8-0697

Подставляя выражение для Н^ш в уравнение (4.24), найдем модуль вектора Пойнтинга

SI = -

ЦСо

(4.26)

Таким образом, мгновенный поток энергии через единицу поверхности, переносимый электромагнитной волной, пропорционален квадрату амплитуды напряженности электрического поля.

Так как 1 S - монохроматическое свойство излучения, из определения этой величины следует, что она пропорциональна спектральной интенсивности излучения. В выранхении для спектральной интенсивности излучения, проходящего через среду, также должен присутствовать экспоненциальный коэффициент затухания, равный, согласно (4.26), квадрату экспоненциального коэффициента в выражении для Еу-. Следовательно, на основании (4.19а) коэффициент затухания для интенсивности излучения равен ехр (-2шиа;/со), или ехр (-4лха;/Я„).

4.5. ЗАКОНЫ ОТРАЖЕНИЯ И ПРЕЛОМЛЕНИЯ

Выше была установлена волновая природа излучения и найдены характеристики волны при ее распространении через изотропную среду. Решение дало комплексный показатель преломления, который связан со скоростью распространения излучения и затуханием волны при ее движении в среде. Рассмотрим теперь поведение электромагнитной волны на границе раздела двух сред. В результате получим законы отражения и преломления в зависимости от составляющих комплексного показателя преломления, которые в свою очередь определяются, согласно уравнению (4.23), электрическими и магнитными свойствами среды.

Для простоты рассмотрим простую косинусоидальную волну, которая описывается уравнением (4.19в) с одним только членом, содержащим косинус. Эта волна распространяется в направлении х' и попадает на границу раздела двух сред (фиг. 4.3). Плоскость, содержащая нормаль к поверхности раздела и направление ж', называется плоскостью падения (фиг. 4.1). На фиг. 4.3 система координат выбрана таким образом, что направление у' лежит в плоскости падения. Взаимодействие волны с границей зависит от ее ориентации относительно плоскости падения. Например, если вектор напряженности падающей волны лежит в плоскости падения (его направление совпадает с осью у'), то он состав.тяет некоторый угол с поверхностью раздела. Если же вектор напряженности падающей волны перпендикулярен плоскости падения (его направление совпадает с осью z), то он параллелен поверхности раздела.

Граница раздела

Фронт плоской волнь1 / о пос/гедовательные ; промежутки Времени

Среда 1

Среда г

Ду = Ax/sin р

Фиг. 4.3. Плоская волна, падающая на границу раздела двух сред.

тем не менее она будет непрерывной, и тангенциальные составляющие скорости на границе (составляющие по оси у) будут одинаковыми в обеих средах. Это соотношение непрерывности будет использовано при выводе законов отражения.

Рассмотрим теперь падающую волну /ц,; поляризованную таким образом, что она имеет амплитуду только в плоскости х'у' (фиг. 4.4) и, следовательно, параллельна плоскости падения. На основании уравнения (4.19в) с одним только первым членом получим уравнение волны в виде

(4.27)

Как следует из фиг. 4.4, а, составляющие напряженности падающей волны по осям {х, у, z) определяются следующим образом (составляющие положительны в положительных направлениях осей координат):

Ех,г = -E,i,i sin р, (4.28а>

Ey.i = -Eii.i cos р, (4.286)

Ег = 0. (4.28в)

На фиг. 4.3 показан фронт плоской, поперечной волны, распространяющейся в направлении х'. Хотя из-за различия скоростей распространения в двух средах волна в общем случае будет преломляться при прохождении через границу раздела.