Подою/ц излучение

Фнг. 20.9. Индикатрисы рэлеевского п изотропного рассеяния.

-----изотропное рассеяние;

рэлеевское рассеяние; Ф (ф) - индикатриса

рассеяния; Ф - угол рассеяния.

20.4.6. Теория рассеяния Ми

Если частицы не столь велики, как рассматриваемые в разд. 20.4.1-20.4.3, и не столь малы, чтобы рассеяние описывалось с помощью рэлеевских соотношений, то следует обратиться к более сложным методам расчета. Это необходимо делать в интервале величин, определяемых неравенством (0,6/re) <; (nD/X) < 5, где к - длина волны в веществе частицы. Густав Ми [2] первоначально применил электромагнитную теорию для определения свойств электродшгнитного поля, приобретаемых им при падении плоской дгонохроматической волны на сферическую новерхность, на которой резко изменяются оптические свойства пш к. В результате могут быть определены поглощение энергии в среде и (или) поглощение рассеивающими частицами. Результаты этой теории применимы во всем интервале диаметров частиц. При этом возможны сильные поляризационные эффекты. В большинстве случаев индикатриса рассеяния становится очень сложной (фиг. 20.10). Ван-дер-Хюльст [1] провел блестящий анализ теории Ми. Исследованы предельные случаи очень маленьких и очень больших диаметров частиц и выведены рабочие формулы для всех интервалов размеров. Для частиц из металла и диэлектрика различной фордгы, включая сферы и цилиндры, получены сечения и индикатрисы рассеяния. Дальнейшие исстедования поглощающих частиц с испо.тьзованием теории рассеяния Ми выполнены П.тас-сом [3].

Наиболее простой результат с. использованием теории Ми получен для частиц лгалого диаметра. Общие уравнения Мн можно разложить в ряд по степеням параметра nDJK и найти выражение

8 п1Р I пР \i

п -+г

. (20..30)

Второй член в квадратных скобках является первым поправочным коэффициентом в соотношении для рэлеевского рассеяния (20.27), которое справедливо для очень малых частиц.

(Diir. 20.10. Индикатрисы рассеяния по теории Ми для сферических частиц

из металла н диэлектрика [1, 7] (масштабы произвольные). а - яВ/Х -* О, сферическая частица из металла, п = 0,57 - 4,29г; б - ziDIX = 9,15 сферическая частица из металла, п = 0,57 - 4,29г; в - яО/?. = 10,3, сферическая частица из металла, п = О 57 4,29 i; г ~ лПД = 8, сферическая частица пз диэлектрика, 1 25- - индикатриса рассеяния;----ч:оставляющая индикатрисы рассеяния, обусловленная перпендикулярно поляризованной компонентой.

Для малых сферических частиц можно также рассмотреть предельный случай очень больших значений п. Тогда рассеивающие частицы образуют идеализированное скопление сильно отражающих частиц из диэлектрика. Решение в этом случае нельзя получить путем предельного перехода в (20.30), полагая п равным оо + Ю. При больших значениях п небольшая часть падающего излученпя, которая проникает внутрь частицы, подвергается почтп полному внутреннему отражению. В результате этого внутри

ДЛЯ сечения рассеяния в виде

частицы возникают стоячие волны, вызываюш,ие появление резонансных ников рассеяния. Разложение, использованное для получения уравнения (20.30), не учитывает этого явления. В предельном случае тг оо сечение рассеяния для сферических частиц малого размера равно

I X j + 5 I X j

(20.31)

Если к тому же при п оо частицы столь малы, что в квадратных скобках уравнения (20.31) имеет значение лишь первый член, то

Фиг. 20.11. Индикатриса рассеяния неполяризованного падающего излучения для непоглощающей сферы малого размера при п ->- оо. Ф (ф) - индикатриса рассеяния; Ф - угол рассеяния.

для неполяризованного падаюш;его излучения индикатриса рассеяния имеет вид

Ф(Ф) = -[{1-4-со8ф)Ч(со5ф-у)]. (20.32)

Полярная диаграмма этой функции приведена на фиг. 20.11. Видно, что по сравнению с рэлеевским рассеянием (фиг. 20.9) сильно отражающие частицы создают очень интенсивное рассеяние навстречу источнику излучения.

20.5. ПЕРЕНОС ИЗЛУЧЕНИЯ

В РАССЕИВАЮЩЕЙ СРЕДЕ

После того как рассмотрены основные характеристики рассеяния, можно перейти к методам использования этой информации в расчетах переноса излучения. Сначала рассматриваются задачи чистого рассеяния, а затем с учетом поглощения и излучения.

20.5.1. Уравнение переноса

только в рассеивающей атмосфере

Рассмотрим сначала перенос излучения в среде, в которой происходит лишь рассеяние энергии. Локальная интенсивность на пути луча усиливается вследствие рассеяния в рассматриваемом направлении и ослабляется .вследствие рассеяния по всем другим направлениям. На фиг. 20.12 показано излучение

JiUSI

-S \

Фиг. 20.12. Рассеяние энергии в направлении S.

интенсивностью ix, проходящее через элемент объема dA dS, где dA - элемент площади, перпендикулярный направлению ix-При прохождении отрезка пути dS часть интенсивности dix, рассеивается по всем направлениям. Согласно уравнениям (20.3) и (20.5), эта часть интенсивности равна

dix = -dixi%(S)a,xdS. (20.33),

Чтобы рассчитать рассеяние со всех направлений в направлении ix, рассмотрим излучение, падающее под углом (Р, 6) (фиг. 20.12). Интенсивность этого излучения равна ix (Р, б), и нри прохождении через элемент объема dV длина пути луча составит dS/cos р. Из уравнения (20.11) с учетом выбранной системы координат интенсивность излучения ix (р, 6), рассеянного в направлении ix, равна

HP,e)i:i. (20.34)

Однако согласно (20.10) интенсивность ix определяется как энергия в направлении рассеяния, отнесенная к единице dX, единице телесного угла рассеяния, единице телесного угла падения doif и единице площади, перпендикулярной падающему излучению. Эта площадь нормальна к направлению ix (Р, 6) и равна

dA cos p. Теперь с помощью (20.34) выразим энергию монохроматического излучения интенсивностью i% (Р, 8), рассеянного в направлении S

dQx, S = dix, s da di dX dA cos p =

= sxii (P. 9) г^ dc dx,b dMA cos p =

= Osxix (p, 9) dS - doD dob dk dA.

Вклад этого рассеянного излучения в спектральную интенсивность излучения в направлении S равен

= (Р- 6) Sг^ (20.35)

Для учета вклада излучения, падающего со всех направлений, проинтегрируем по всем dcOj:

J =4-- J ИР,е)Ф(Р,0)со, 1(20.36)

(о.=4л (о.=4л

Предполагается, что рассеивающие частицы ориентированы случайным образом и поэтому сечение рассеяния стд не зависит от направления падения излучения.

Комбинируя (20.33) и (20.36), получим изменение интенсивности в наиравлении S

-§=-<JsA + j iHP, е)Ф(р,е)йсо;. (20.37)

ю;=4яЗ

Можно ввести оптическую толщину рассеяния Ksx, определяемую подобно тому, как это сделано в (14.5) и (14.6):

dx,x = asxdS (20.38)

и

xs).(5)= J asxiS*)dS*.

(20.39)

Тогда уравнение (20.37) примет вид

= i П,Р,е)Ф(р,е)йо , (20.40)

совпадающий с видом уравнения (14.7) для излучающей и поглощающей среды. Как и в уравнении (14.7), член в правой части (20.40) соответствует приросту интенсивности вдоль пути луча. Так же как и при выводе (14.10), уравнение (20.40) можно иро-

интегрировать но оптической толщине рассеяния от нуля до Квх' ik (xsO = i% (0) ехр (- Ksx) +

+ i [i J ИР>9)Ф(Р,в)йоз; X

(oj=4n

Xexpl-{Ksx-y.%)]dKt%, (20.41)

где x*? - переменная интегрирования, a интеграл в первых квадратных скобках определяется при y,tx. В случае идеального процесса рассеяния, когда энергия фотона не поглощается рассеивающими частицами, обмена энергией с средой не происходит. В этом случае рассеиваемое излучение лишь перераспределяется по направлениям. Следовательно, если afx и Ф не зависят от температуры, то уравнение (20.41) совершенно не связано с распределением температуры в среде.

При распространении луча прожектора или лазера единственным важным источником интенсивного излучения является сам луч. Поэтому энергия, рассеиваемая от других источников или рассеиваемая в обратном направлении луча, будет незначительной и уравнение (20.41) сводится к простому экспоненциальному закону ослабления

ix(sx) = ii{0)exp{~K,x). (20.42)

Для иллюстрации (20.41) применим его к случаю одномерного рассеивающего слоя.

ПРИМЕР 20.1. Вывести и решить уравнения, описывающие локальную интенсивность и плотность потока излучения в одномерном рассеивающем слое. Слой заключен между двумя бесконечными параллельными серыми пластинами, расположенными друг от друга на расстоянии D. Нижняя и верхняя пластины находятся ири температурах и соответственно. Среда нетен-лонроводная, изотропно рассеивающая, коэффициент поглощения равен нулю. Свойства среды не зависят от длины волны.

Поскольку свойства не зависят от длины волны, то индекс к опускается. Однако такие же соотношения применяются для излучения, соответствующего одной длине волны, если используется монохроматическое излучение стенок. Отметилг, что для изотропного рассеяния индикатриса рассеяния равна 1.

Этот пример дополняет материал разд. 14.6.2 и 14.6.4, в которых рассматривалась нерассеивающая излучающая и поглощающая среда. Если х - расстояние, измеряемое от пластины 1 по нормали к ней, то оптическая толщина рассеяния от точки на пластине до точки в среде равна yjcos Р; при этом следует заметить, что эта величина рассчитывается по координате