путем решения уравнения (17.15) относите,т1ьно dgo и подстановки этой величины в уравнение (17.19). Символ Кронекера 6/ принимает следуюш,ие значения: bj = i ири /с = / и б^- = О при к ф]. Это уравнение аналогично (8.19). Если уравнение (17.20) записать для каждого значения /с от 1 до N, то будет получена система из N уравнений, связываюш,ая 2N величин dq% и е^ъ для новерхностей, так как температура газа и, следовательно, е^ считаются, известными. Половина значений dq и е^ь должна быть задана. Тогда уравнения можно решить относительно остальных неизвестных. Для определения значений интегральных потоков пзлучения необходимо решить эту систему уравнений для ряда интервалов длин волн и затем проинтегрировать каждую величину по длине волны.

17.3.3. Тепловой баланс для газа

Перед более подробным рассмотрением решения уравнений теплообмена излучением для замкнутой системы тел рассмотрим тепловой баланс газа, который обеспечивает энергию, необходимую для поддержания температуры газа на заданном уровне. Из энергетического баланса для всей системы тел следует, что энергия, которая подводится к газу, например при сгорании, равна потоку результирующего из.тучения, отводимому от граничных новерхностей. Интегральный ноток результирующего излу-

ченпя на поверхности к равен -А^ j dg - Следовательно,

поток энергнн, подводимый к газу, определяется суммированием по всем поверхностям, т. е.

(17.21)

Эта величина может быть определена после того, как для каждой поверхности с помощью матричных уравнений (17.20) будет найдена величина dq в достаточном числе интервалов длин волн.

ПРИМЕР 17.1, В качестве примера применения метода сальдо рассмотрим перенос тепла в системе, состоящей из двух бесконечных параллельных нластин при температурах и (i > г) между которыми заключен газ при постоянной телшературе Тg.

Используя (17.20) применительно к замкнутой системе, состоящей из двух поверхностей (ii i = /3-2 = 0) получим при /с 1

= ехь, 1 - i-2e}.b, 2 dX - Fix, i-ehb, g dX, (17.22a)

Инженерный метод расчета излучения газа в замкнутых системах 625 при /с = 2

- Fi-i --jff- 2-1 dqx, 1 i dq , 2 =

= - 2-Л, 2-ie?.b, 1 dX - Fz-iax, 2-ie?.b, gdX е^ъ .-idX. (17.226)

Для системы, состоящей из двух бесконечных параллельных пластин, Fi 2 = F i = 1, из (17.17) и (17.18) следует, что г., 2-1 = к, 1-2 H ct>.j 2-i= х, 1-2- Для простоты опустим числовые индексы при т и а. Тогда уравнения (17.22а) и (17.226) примут вид

dqx, 1

Tdgx,2=-(eb,i-Teb, 2-o;?.e;b,g)d>b, (17.23а)

= ( - тле^ь, 1 -Ь ехъ. 2 -а^ехъ. g) dX. (17.236)

Уравнения (17.23а) и (17.236) решаются совместно относительно

dQx.i и dq. Используя соотношение ax = i - tj, после преобразований получим

1-(1-а,1И1-е..2)т| - ) +

-Ь е^, 1 (1 - т^) [1 -Ь (1 - ех, 2) тх] {ехъ, i- ехь, g)}, (17.24а)

= 1-(1-а,о(1-а2К ~ +

+ ех,2 (1 - тх) [1 + (1-£х, i) тх] (ехь, 2 - ехъ, g)}. (17.246)

Плотности интегральных потоков излучения, подводимых соответственно к поверхностям 1 и 2, равны

оо оо

J dqx,i и 5-2= J dqx,2. (17.25)

А.= 0 ?,= о

Плотность интегрального потока излучения, подводимого к газу для поддержания заданной температуры, равна плотности потока результирующего излучения, отводимого от пластины. Следовательно, для параллельных пластин имеем

qg = -iqi + q)- (i7.26)

Если среда между пластинами не поглощает и не испускает излучение, то т, = 1, а уравнения (17.24а) и (17.246) сводятся к уравнению (10.10). При наличии из.лучающего и поглощающего газа численное интегрирование (17.24а) и (17.246) по всем длинам волн с целью определения величин q и q затруднительно ввиду крайне

40-0697

нерегулярного изменения коэффициента поглощения газа в зависимости от длины волны. В разд. 17.7 это интегрирование будет выполнено путем разделения спектра на ряд полос конечной ширины, в которых излучение либо поглощается, либо не поглощается.

17.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ

СРЕДНЕГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПРОПУСКАТЕЛЬНОЙ И ПОГЛОЩАТЕЛЬНОЙ СПОСОБНОСТЕЙ

Для вычисления различных величин по уравнениям теплообмена излучением нужно определить значения т и а или {AFx) и (Fa). Применяя определения (17.9) и (17.10), получим

A,.F,. ftT ,. ft= 5 J Illf:qphdAjdA (17.27)

= AiFj t,{i-\j ). (17.28)

Уравнение (17.27) содержит двойной интеграл, который нужно решить нри различных положениях поверхностей Aj и Л^. Вычислим теперь его для некоторых геометрических конфигураций.

17.4.1. Излучение полусферы на элементарную площадку в центре ее основания

Пусть Aj - площадь поверхности полусферы радиусом R, sdAh - элементарная площадка в центре ее основания (фиг. 17.4).

Так как 5 = /?, а = О (луч R пернендикулярен поверхности полусферы), то уравнение (17.27) будет иметь вид

AjdFj.dhx.i-dh-

J л f ехр( -а^Д) cosPft cos (0) , .

, v в качестве элементарной нло-

Фиг. 17.4. Полусфера, заполнен- , , <

ная изотер.мическим газом. Щ^ДКи dAj удобно использовать

кольцевой элемент dAj = 2ni? sin PfcdPft. При зтом множители, содержащие R, можно вывести из-нод знака интеграла, так как для полусферы R - посто-

янная величина. В результате получим

AjdFj.akXx,i.ak = dA,§ J cos p.sia р^ dp,=

= dAftexp( - aR).

Шспользуя AjdFj dk = dAFdh-j и отмечая, что Fdh-i = 1, приведем последнее соотношение к виду

T,;-dft = exp(-ax/?). (17.29)

Это простое выражение будет позднее использовано в связи с понятием средней длины пути луча. Существуют приближенные приемы, с помощью которых излучение реального объема газа заменяется эффективным полусферическим излучением газа.

17.4.2. Излучение верхнего основания

прямого кругового цилиндра на центр нижнего основания

Геометрическая конфигурация для этого случая показана на фиг. 17.5. Так как Ру == Рь == Р, то для верхнего основания цилиндра ,Лу, излучающего на элементарную площадку в центре нижнего основания, интеграл в уравнении (17.27) становится равным

Sl-dAj. (17.30)

Aj dFj dhXx, j-dh = dfe

Можно преобразовать этот интеграл к удобному виду, принимая во внимание, что j cos р/б' - телесный угол, под которым кольцевой элемент dAj виден с элементарной площадки dA/. Если рассмотреть пересечение этого телесного угла с поверхностью полусферы единичного радиуса, то оказывается, что зтот телесный угол также равен 2л sin р d. Подставив это выражение в интеграл (17.30), после преобразований получим

Aj dFjdhTK, j-dh = dAk J exp {-aS) 2 cos p sin p dp. (17.31)

Примем теперь aS = y.- Тогда, согласно фиг. 17.5, cos p = = h/S = hajxx и sin P dp = - d (cos P) = {hajxl) dx. С увеличением p от О до Р„г переменная изменяется в пределах от ah до uYR + h- Следовательно, соотношение (17.31) примет вид

о, ГД2+/12

Aj dFj-dh4. J-cih = dAt2h4l \

exp( -X;.)

dxx. (17.32)

Дважды интегрируя но частям, получим

л -С/7 Ь\2ЯЛ ( ехр( -, ехр( -, Ajdt j-ikTx, j-dk = ЛАи у----1--~--\-

exp(-xO vrnW+l

I c.

(17.33)

Интеграл в правой части представляет собою табулированную интегроэкспоненциальную функцию, так что конечный результат можно получить без труда для различных значений параметров Rlh и aJi.

Фиг. 17.5. К расчету теплообмена излучением между верхним основанием прямого кругового ци.тиндра, заполненного газом, и элементарной площадкой в центре нижнего основания.

Интеграл в уравнении (17.32) можно также найти непосредственно с помощью интегроэксноненциальной функции, определенной согласно (14.45):

exp(-xO

a, h

Приняв Y.% = {ay}/-f Л^)/р и а^/г/р соответственно в двух интегралах, получим

I рр.р( X УДМ^ ) ,7 +

(ах Л/К'-Щ--

-1)-рехр(-)ф.

Интеграл в уравнении (17.32) можно тогда записать через интегроэкспоненциальную функцию в виде

У=-Е.[а,л/(17.34)

[аяйУ(/? 1)2 + 1р

17.4.3. Излучение боковой поверхности цилиндра на центр его основания

Пусть dAj - кольцевая площадка на стенке цилиндра (фиг. 17.6), а dAj cos fij/S - телесный угол, иод которым dAj врщна с элементарной площадки dA- Этот телесный угол равен также 2л sin udh- Тогда (17.27) можно переписать для данного случая в виде

Aj dFj ak4. i-dh = 2dAu J exp (~ aS) cos sin dn- (17.35)

Это уравнение имеет тот же вид, что и (17.31). Пусть aS - х^, тогда sin = R/S = RaJ-Лх и cos hdk = d (sin p) =

= - (Rajxl) dxx- Сделаем эти подстановки и проинтегрируем (17.35) по частям, как и уравнение (17.38):

/й2 Л2

AjdFj.dnrx.i-d>,=2dAxRa J

ехр( -хя) dy.x = Ч

ехр( -хя) ехр( -

.<!.4.(-).Л'(-Я4

ехр(-хя) \ x УШ)

+ 1-

-dKx)

(17.36а)

ajh (Л/ft)