Главная  Электрическая энергия в отраслях промышленности 

1 2 3 4 5 6 7 [ 8 ] 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248

Справедливость приведенной записи легко проверить, подставив матрицы а, I и F в уравнение (1-27).

Пример 1-2. Пользуясь законами Кирхгофа, написать два выражения для юка /о в ветви с гальванометром (рис. 1-19), принимая в одном случае известным гок /, а в другом - напряжение U.

Решение На основании законов Кирхгофа напишем для заданной схемы с шестью неизвестными токами уравнения:

1 + 3 - = О (для узла 1); 4 + /о - /i = О (для узла 2); / - /2-/4 = 0 (для узла 3); rih + rolo - Г3/3 = О (для контура 1-2-4-1); r-ih - rJi - ffflf, = О (для контура 2-3-4-2); Ыъ + г^и = Е - rj и (для контура 1-4-3-1).

Решая совместно эти уравнения, получаем выражение для тока через напряжение И:

, (Г2Гз-Г1Г^)и

Ур = - --------- ------


и через ток /:

Гй(Г\+ Н) (Гз + П) + (Гз + Г4) -f Г3/-4 (/ i -f r-i)

(ггГз-riri) I

Го {ri-f- /-a-f- /-з + 4) -f- (a-f- Гз) {Г2 + Г4)

1-7. Метод узловых потенциалов

Как было показано, режим любой цепи полностью характеризуется уравнениями, составленными на основании первого и второго законов Кирхгофа, причем для определения токов во всех в ветвях необходимо составить и решить систему уравнений с в неизвестными.

Число уравнений, подлежащих решению, можно сократить, если пользоваться методом узловых потенциалов, основанным на применении первого закона Кирхгофа и закона Ома (1-12).

Для выяснения сущности этого метода рассмотрим, например, электрическую схему, показанную на рис. 1-20.

Пусть потенциал одного из узлов, например узла 3, принят равным нулю, т. е. фз = 0. Такое допущение не изменяет условий задачи, так как ток в каждой ветви зависит не от абсолютных значений потенциалов узлов, к которым присоединена ветвь, а от раз-ности потенциалов на зажимах ветви.--


Рис. 1-20.



На основании первого закона Кирхгофа для узлов 1 и 2 этой схемы при выбранных положительных направлениях токов получаем:

/5-/4-/i + /e = 0;

-/5-/б-/2 + /з = 0.

Токи в ветвях на основании закона Ома (1-12)

h = ~(Pigi; h=H4>i- + E,)gb; \ (1-29)

где Ф1 и Фа - потенциалы узлов / и 2.

После подстановки (1-29) в (1-28) и группировки членов получим:

Ф1 (ge + gi + gi + gi) - ф2 {ge + gi) = Eigi - Esg,;

- ф1 {ge + gi) + ф2 {ge + gb + g2+ gs) = Eogi + Egi - ЕзЕз,

или

ё'11ф1-]2ф2=2;

-g2l4>l+g22(p2ZEg.

(1-30)

в этих уравнениях g- g + gb + gi + gu g22 =& + go + + g2 + gs - суммы проводимостсй ветвей, присоединенных соответственно к узлам / и 2; g = gn = gs + ge - сумма проводи-мостей ветвей, соединяющих эти узлы.

Правая часть каждого из уравнений (1-30) равна алгебраической сумме произведений э. д. с. источника на проводимость для каждой из ветвей, которая присоединена к рассматриваемому узлу. Произведение вида Eg записывается с положительным знаком в том случае, когда э. д. с. направлена к рассматриваемому узлу, и с отрицательным, когда э. д. с. направлена от узла.

Уравнения (1-30) не зависят от выбранных положительных направлений токов в ветвях.

Чтобы подтвердить это положение, рассмотрим опять схему, показанную на рис. 1-20, и для каждого узла примем положительные направления токов от узла. Для узлов 1 я 2 справедливы уравнения

Принимая, как и раньше, фд = О, напишем выражения для токов ветвей: для узла /

/; = (<Pi-£i)ei; /4=<pig4; \

h={<fl - (f2 + Eb)gb, /в=(ф1-ф2)§в; /

для узла 2

/2 = (ф2-£2)й; h = (4>2 + Ea)g3, \

I (1-326)

После подстановки (1-32) в (1-31) и группировки слагаемых получаются урав-*1ения, совнадающие с (1-30).

/в = (Т2 -Ф1)й; = (ф2 -Ф1 --Сб)

iBKH (1-32) в (1-31) и группировки ела [С с (1-30).-

2 Основы теории цепей



Таким образом, можно написать уравнения для определения потенциалов узлов произвольной электрической цепи, не задаваясь положительными направлениями токов в ветвях; при этом потенциал одного из узлов надо принять равным нулю.

Если электрическая схема содержит не только источники э д. с, но и источники тока, то в уравнения, составленные по первому закону Кирхгофа, войдут и токи источников тока. При составлении уравнений вида (1-30) токи заданных источников тока учитываются для каждого узла в виде слагаемых в правой части, причем, как было отмечено выше, с положительными знаками должны быть взяты токи источников тока, направленные к узлу, а с отрицательными - от узла.

Например, для узлов 1, 2 и 3 схемы, показанной на рис. 1-21, при ф4 = О получим соответственно следуюш,ие уравнения:

ё'иф! ~ Я12ф2 - gisffs -= / + Ei,

- giifPi + ё'22ф2 - ё'гзфз = Eigi,

- gsiPi - ё'згфз + ё'ззфз = Eigi;

где

gu-gl+g-o + gsl g2ig2+g3+ge; gsu-gi + gb + gs, gl2 = g21=g3; gl3==g31=g5, gi3 = g3i=ge И gli=Vk-

Если электрическая схема имеет в своем составе (у+1) узлов (г/- любое целое число), а потенциал, например, у + 1-го узла принят равным нулю, то для определения у потенциалов остальных узлов получается у уравнений:

gim - gii(p2 gipfpp -... - giyffy=-/i + 2 Eygij =

- 21ф1 + ё'22ф2 - ... - gip(pp - ... - g2/fy =

y + i

= 2 4 2 E2jg2j = Jniy

/ = 1

- gplL - Р2ф2 - . . . + gppp - .

- gpyfy =

F a - T

(1-33)

- gym ~ gy2 - ... - gypfp -..

-gyy4>y==

= 1/4-2 Eyjgyj=Jcy



1 2 3 4 5 6 7 [ 8 ] 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248

© ООО "Карат-Авто", 2001 – 2018
Разработчик – Евгений Андрианов