Главная  Электрическая энергия в отраслях промышленности 

1 2 3 4 5 6 [ 7 ] 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248

53 iP- ) МОЖНО написать уравнение для контура 2-1-5-2

Ubi 3/3 - £2 £3 или для контура 5-4-2-5

f22\~ 4/4- 53 = £41

откуда легко найти искомое напряжение.

При изложении методов расчета электрических цепей иногда целесообразно применять некоторые топологические понятия, к числу которых относятся, в частности, неориентированный и ориентированный графы.

Как следует из первого закона Кирхгофа (1-19), вид уравнений зависит не от элементов ветвей, соединенных в узлах, а от геометрической структуры самих соединений. Аналогичный смысл имеет уравнение (1-20а), выражающее второй закон Кирхгофа, поскольку в эти уравнения в отличие от уравнений (1-20) элементы ветвей (э. д. с, сопротивления) не входят. Однако сами токи и напряжения зависят не только от геометрической структуры цепи, но и от элементов соответствующих ветвей, что непосредственно следует из закона Ома для участка цепи с э. д. с. (1-12).

Таким образом, для характеристики геометрической структуры схемы электрической цепи можно воспользоваться графом, линейные отрезки которого, часто называемые ветвями (ребрами), изображает ветви схемы электрической цепи. На рис. 1-18, б показан ненаправленный (неориентированный) граф для электрической схемы, изображенной на рис. 1-18, а. При этом каждый из отрезков - ветвей этого графа (рис. 1-18, б) соответствует определенной ветви электрической схемы (рис. 1-18, а).

Направленным (ориентированным) графом называется такой, у которого каждая ветвь имеет определенное направление (ориентацию). Для графов электрических схем направление (ориентация) ветвей, как правило, совпадает с положительными направлениями токов и напряжений, которые выбраны при составлении уравнений состояния электрических цепей.

Для той же электрической схемы (рис. 1-18, а) показан направленный граф на рис. 1-18, в, у которого направления ветвей совпадают с положительными направлениями токов и напряжений.

Для направленного графа рис. 1-18, в можно написать уравнения на основании первого (1-19) и второго (1-20а) законов Кирхгофа в следующем виде:

1 + /2 +/3 = 0; /е /з-/, = 0; /,-Ii-I, = 0; /-/-/.О и

Uu + U ~Ui2 = 0; t/i3-t/23-i2 = 0; U,s +Usi +U.O.

При этом первые четыре уравнения совпадают с уравнениями (1-21а), а последние три уравнения можно преобразовать в уравнения (1-23) и (1-24) при помощи закона Ома для участка цепи с э- Д. еН,---



Например, из схемы (рис. 1-18, а) следует, что t/i4== -Рг+-г/з; 42 = -£4+4/4; Uii - Es + rals, после замены напряжений U, U и t/j в уравнении для контура 1-4-2-1 (рис. 1-18, в) их правыми частями получается выражение, совпадающее с уравнением (1-23).

Отметим, что концевые точки ветвей графа называются у з -л а м и (верщинами).

Для полной характеристики электрического состояния цепи надо знать не только токи и напряжения, но также мощности источников и приемников энергии.

В соответствии с законом сохранения энергии развиваемая источниками энергия равна энергии, потребляемой приемниками. Из этого положения следует, что для любой электрической цепи с источниками э. д. с. алгебраическая сумма мощностей, развиваемых источниками э. д. е., равна сумме мощностей, потребляемых всеми сопротивлениями (в том числе внутренними сопротивлениями источников энергии):

E,J, = f ГнИ (1-25)

/1 = 1 /1 = 1

Если действительные направленпя э. д. с. и тока в некоторой ветви совпадают, то мощность такого источника э. д. с. входит в уравнение (1-25) с положительным знаком и источник отдает энергию в цепь (работает в режиме генератора). Если направления э. д. с. и тока в ветви противоположны, то мощность источника э. д. с. записывается в уравнении (1-25) с отрицательным знаком и такой источник работает в режиме приемника, потребляя энергию.

Отметим, что уравнение (1-25) может быть получено таг<же из законов Кирхгофа (1-19) и (1-20).

Матричная форма записи уравнений Кирхгофа. Если электрическая цепь состоит из в ветвей, то на основании (1-19а) и (1-20) можно в общем случае записать в независимых алгебраических уравнений электрическогю состояния цепи в следуюгце-м виде: anli + ai2l2 + + ctiel в Fi,

(1-26)

Поскольку эти уравнения получены па основании двух разных законов, то они не однотипны. В узловых уравнениях, вытекающих из первого закона Кирхгофа (1-19а), коэффициенты а^, не имеют размерности и, очевидно, могут принимать только значения ±1 или 0. Правые части в этих уравнениях Fj = 2/ имеют размерность тока и равны нулю, если к соответствуюгцему узлу не подключены источники тока.

В контурных уравнениях, вытекающих из второго загюна Кирхгофа (1-20), коэффициенты Uij имеют размерность сопротивления,



а величины = -размерность потенциала и равны нулю,

если в контуре нет э. д. с. Если /-я ветвь входит в г'-й конгур, для которого составляется уравнение, то, очевидно, должно быть Uij = ±0;, а если не входит -а,; = 0. Здесь г сопротивление /-Й ветви, входящей в /-й контур.

Уравнения (1-26) можно записать в более общей матричной форме;

aI = F, (1-27)

где а - квадратная матрица коэффициентов, т. е.

... Й1в

. .. зе

Ява

.. йев

ветвей, т

и F - М1рица-столбец активных параметров, т. е.

£2 £.

Например, для схемы рис. 1-18, а первые три уравнения (1-21а), а также уравнения (1-23) и (1-24) можно записать в матричной форме, если принять;

О -1 О

О 1х /2 /э

/4 /5

А

о о

О

о

-1 о

-Га О

О о

-1 о

г, О

О о

ri Г5 О О

о

Е, + Е,-Е Е\ £3 Е

Е, + Е,

- 1 О О

о



1 2 3 4 5 6 [ 7 ] 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248

© ООО "Карат-Авто", 2001 – 2018
Разработчик – Евгений Андрианов