Из последнего уравнения найдем потенциал точки О:

gl+gz + -- +gh+--- + gn.

(1-76)

После подстановки в первое из выражений (1-75) получим:

4igi + 4>2Sz + --- + 4hgh+--- + 4ngn \

§ 1=

= [(ф1 - Фа) 12 + (Ф1 - Фз) gigs + + + (ф1 ~ Фл) gigh + + (ф1 - фя) glgr>

где

ft=l

в полученном выражении разности потенциалов между точками 1, 2, 3, ... , h.....п заменим через напряжения по формуле

Uht = Фл - Фг-

glgn

Аналогично для любого тока

/а = Ц

ghgl 1 /; ghg-i

+ ... + Ub,h 1

ghgh-i

gfiSn

(1-77)

(1-78)

Из этих уравнений видно, что ток каждой ветви и-лучевой звезды можно представить в виде суммы п - 1 частичных токов, пропорциональных напряжениям между соответствующими точками звезды. Например, ток

где

г - П Bigj . J gigs

12 - ->1ч~7,- 13-13-7;-

и аналогично для любой ветви

! = /м + !2 + - + /л, /г-1 + + гп-

Покажем, что выражениям (1-78) удовлетворяет эквивалентная схема в виде полного многоугольника (рис. 1-32, б) с числом ветвей, равным п {п - 1)/2.

Действительно, для схемы рис. 1-32, б

11 = i2g-i2 + тзё'и + . + Uihgih + + mgin,

12 = U2lg21 + U2sg2S + + U2hg2h + . . + 2 g2-.;

hUhlghl + h2gh2 + . + Л, hlgh, Ч- . + hnghn,

(1-79)

Для того чтобы схема, показанная на рис. 1-32, б, была эквивалентна схеме рис. 1-32, а, необходимо равенство токов (Ii, /3, /3 и т. д.) в обеих схемах при одинаковых напряжениях [Ui, Uxs> Uif, и т. д.), что выполняется при

gi2 = gig2/g = g2i; gis=gigs/g=gai--- (1-80)

Поскольку число узлов многоугольника равно п, число токов, связанных с каждым узлом, равно п - 1 и каждая ветвь присоединена к двум узлам многоугольника, то число его ветвей как раз равно п (п - 1)/2.

Из приведенного доказательства следует, что простая математическая операция исключения потенциала из системы уравнений электрического состояния схемы, имеющей форму я-лучевой звезды, приводит к эквивалентной схеме в виде многоугольника. Обратная задача о преобразовании многоугольника в эквивалентную -лучевую звезду в общем случае при п > 3 неразрещима, так как число искомых сопротивлений (или проводимостей) ветвей эквивалентной зво'.ты меньше числа п (п- 1)/2 условий, которым они должны у 1 влетворять. При п = 3 число условий п (п - 1)/2 = 3 и, следовательно, треугольник сопротивлений всегда можно преобразовать в эквивалентную звезду.

Из формул (1-80) при л = 3 сразу получаются формулы для преобразования трехлучевой звезды в эквивалентный треугольник в следующем виде:

для эквивалентных проводимостей

о- 81S2 gigs д g3gl /, с ч

(1-82)

или для эквивалентных сопротивлений

Ггч = l/g-12 = Г! + г. + Г] Г2/Г3; Газ = Гз -f Гз + r-jlrx,

Чтобы получить формулы преобразования треугольника с заданными сопротивлениями Гх, и % в эквивалентную звезду, примем в уравнениях (1-82) в качестве неизвестных сопротивления г^, и Г3. В результате получим:

Гх==Ь/Г2з; Г2 = Ь/Гзх; Гз = Ь/Гх2, (1-83)

где b = ГхГ^ + г^Гд + ГзГ^.

Выразив попарные произведения искомых сопротивлений в виде

ГхГ2 = Ь^/Г2зГл; Г2Гз = Ь^ГзхГх2, ГзГх = Ь^1Гх2Г23

и подставив полученные выражения в формулу для Ь, имеем:

\ 122331 У

и ГпГ23Г31

---- I /-,.. ------

После подстановки этого выражения в (1-83) получим;

ririifsJr; rrrilr; Гзг^гГз/г, (1-84)

где == + Газ + Гз1.

Последние формулы позволяют определить эквивалентные сопротивления звезды по заданным сопротивлениям треугольника.

Аналогично можно получить формулы преобразования активной многолучевой звезды (рис. 1-33, а) в эквивалентный активный многс?-

Рнс. 1-33.

угольник (рис. 1-33, б). Действительно, в этом случае для схемы, показанной на рис. 1-33, а, можно записать;

/1 = (ф1-Фо--£1)Я1; /2 = (ф2-фо--£2)§2; /ft=(фй-Фо-£/!)§ /!; h={(fn--En)gn\

- Фо (sl + g2 + + g-я) + ф1ё-1 + ffogi -f . . . + ffngn =

= Eigx -f -f... -f Eng.

(1-85)

Выразив фд из последнего уравнения и подставив его, например, в первое из выражений (1-85), после элементарных преобразований получим:

/l = Л f (Ч>1 - ф2 + £2 - £l) Йё2 + (ф1 - Фз + £з - £!) g-lg-3 4-

.. 4- (ф1 - ф + - El) gign\.

(1-86)

Аналогичные уравнения можно получить для токов 1, /3, ... , / . Выражениям вида (1-86) соответствует эквивалентная схема, показанная на рис. 1-33, б. Проводимости ветвей многоугольника определяются по-прежнему по формулам (1-80), а эквивалентные э. д. с. при указанных положительных направлениях (рис. 1-33, а и б) равны;

Ец El,