раснения:

-=-о/ + о|; (18-1)

~dx-SoU + Co%. (18-2)

Решение полученной системы уравнений в частных производных при определенных начальных и граничных условиях дает возможность определить ток и напряжение как функции расстояния от начала линии и времени. Эти уравнения справедливы при любых изменениях тока и напряжения во времени.

18-3. Установившийся режим в однородной линии

Рассмотрим установившийся режим в длинной линии при сину-сои изльном напряжении источника питания. Переписывая уравнения (18-1)~и (18-2) для установившегося режима и вводя комплексные напряжения, токи, сопротивления и проводимости, получаем:

-£=(-o4-/coLo)/ = Zo/; (18-3)

- f = (go + / Со) UYoU, (18-4)

где Zo Го + jaLo - комплексное сопротивление;

Yn ~ go + JCo - комплексная проводимость единицы длины линии.

Подчеркнем, что Zg и Уд не являются величинами, обратными друг другу.

Продифференцируем уравнения (18-3) и (18-4):

< у di. d4 у dU dx ~~ dx dx dx

И заменим d/dx и dO/dx согласно (18-4) и (18-3). Тогда получим:

~ = ZoYoU; (18-5)

£=Zo>o/. (18-6)

Дифференциальные уравнения (18-5) и (18-6), определяющие изменения комплексных напряжения и тока вдоль линии, одинаковы. Поэтому достаточно найти, например, закон изменения напряжения (У, а ток можно получить из уравнения (18-3).

Решение уравнения (18-5) - линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - имеет вид:

где .

Y = a + /p =1/2оГо = У (го + /оз1о) (go + loiCo); (18-8)

Aj, Аз - комплексные постоянные интегрирования.

17 515

Ток / согласно уравнению (18-3)

Zo dx- Zo > - yzjYo (1-9)

Знаменатель формулы (18-9), имеющий размерность сопротивления, называют волновым сопротивлением линии Zg. Для однородной линии, рассматриваемой как четырехполюсник, волновое сопротивление совпадает с характеристическим т. е.

где

е== arctg ° ~:f°\ (18-11)

Подставляя Zc в формулу (18-9), запишем ее в виде

Выражая комплексы и Ла, имеющие размерность напряжения, в показательной форме

запишем мгновенные значения напряжения и тока:

и = /2 Л sin (и/ - + Фз) + Т/ 2 Л e-* sin (со + -f фз), (18-13)

I = е-ах sin (со/- -f ф1 - 6)-

е -81п((о^ + рх+ф2-е). (18-14)

Каждое из слагаемых правой части двух последних выражений можно рассматривать как бегущую волну, движущуюся в направлении возрастания или убывания координаты х и затухающую в направлении движения.

В самом деле, каждое из слагаемых в любой фиксированной точке л: = лг представляет собой периодическую функцию времени. В любой же фиксированный момент времени t = каждое из слагаемых изменяется вдоль линии (т. е. с изменением х) по закону затухающей синусоиды.

Основными характеристиками бегущей волны являются фазовая скорость и длина волны.

Фазовой скоростью волны v называется скорость перемещения фазы колебания, которая в течение времени t и по мере увеличения расстояния х, пройденного волной, остается постоянной, т. е.

со/--Рл:--ф1 = const. ~~

Тогда

cfx/d = y = co/p. (18-15)

Аналогичное исследование второго слагаемого правой части равенства (18-13) дало бы для фазовой скорости такое же значение, но с обратным знаком. Отсюда заключаем, что эти слагаемые могут рассматриваться как волны, движущиеся в противоположных направлениях.

Длиной волны Я, называется расстояние между ближайшими двумя точками, взятое в направлении распространения волны, фазы колебания в которых различаются на 2я, Следовательно, для первого слагаемого равенства (18-13) получим:

сог! - р (л: + Я,) + ф1 = со - + ф1 - 2зт,

? = 2я/р (18-16)

и

р Р Т

Т. е. за время, равное периоду, волна пробегает расстояние, равное длине волны.

Затухающая синусоидальная волна представлена на рис. 18-2. Для ее изображения сначала строят огибающие ± y2Aie~. Затухающая волна вписывается в область, ограниченную огибающими.

Условимся волну, движущуюся от начала линии (рис. 18-2), называть прямой, а движущуюся от конца линии - обратной.

Выберем теперь положительные направления напряжений и токов прямой и обратной волн. Так как оба слагаемых в правой части равенства (18-7) , определяющие напряжение О, входят с положительными знаками, то

вполне естественно выбрать положительные направления напряжений прямой и обратной волн совпадающими с положительным направлением напряжения О, т. е. от прямого провода линии к обратному (рис. 18-1).

Для тока существуют две возможности. Можно оставить оба слагаемъ1вт1раво1гчаст№ав йе5Баг 0М-Щ--&ф&злтмыма знаками.

Рис 18-2.