gii как = /а^н, откуда определяем:

и г K21ZH

и\~ l-YZ

В гл 14 было показано, что сопротивления ветвей, а также входные и взаимные проводимости в операторной форме представляют собой отношения много-члено'5 относительно р (иначе говоря, раяиональные дроби). Поэтому передаточная функция К (р) такле представляется отношением многочленов

где /и и rt - целые положительные числа, причем т п.

Обозначим полюсы К (р), г. е. корни знаменателя (17-4), через р , ...

Рлоо> У Р^ - корни ее числителя, через р^, р^,. р^ и перепишем К (р) так:

ч Л(Р) feo(p -Pio)(p -Р20) (р -Pmo)

/2(Р) uo(/?-pico)(/5-p2Co) ... (P-Pnoo)

Для частотной характеристики /С (/ю) будем иметь:

Qo (/ - Pioo) (/МР2сс) . . (/М - Р оо)

Вводя амплитудно-частотную К (w) и фазочастотную характеристики четырехполюсника, получаем для К (/ю):

(ii)K ( ) < > = .0 К/со-Рю)! ... (/со-р,по) ао !(/co-picc)i ... (/ю-р со)

; [arg (/(o-p )-f ... +arg(/a + p )-arg(,(0-pjo3)- ... - arg (,a)p co)].

Выясним свойства передаточной функции К ip) по расположению ее полюсов и нулей на комплексной плоскости.

Отметим, что при учете активных сопротивлений четырехполюсника или приемника все корни знаменателя (р) [г. е. все полюсы К (р) лежат в левой полуплоскости Выше уже обращалось внимание на то, что при учете активных сопротивлений все корни характеристического уравнения вещественные и отрицательные или, если они комплексные, то у них отрицательные вещественные части. Только при этих условиях все свободные составляющие токов и напряжений затухают. При отсутствии активных сопротивлений все корни знаменателя будут Чисто мнимыми.

Иначе обстоит дело с нулями К ip), т. е. с корнями его числителя ip). При учете активных сопротивлений они могут располагаться в любой части комплексной плоскости (их положение никак не связано с характером изменения Во времени свободных составляющих токов и напряжений). При отсутствии активных сопротивлений все корни числителя (как и знаменателя) К ip) расположатся на мнимой оси.

Рассмотрим амплитудно-частотную К (w) и фазочастотную 6 (ю) характеристики при изменении частоты ю от -оо до -f-oo. Это удобно сделать при помощи рис 17-2, на котором показаны пара нулей и пара полюсов передаточной функции, расположенных в левой полуплоскости. Модули выражений (/оз - Р^о'I . Ow - р,оз) i геометрически представляют собой расстояния ог нулей и полюсов to Точки М, перемещающейся по мнимой оси снизу вверх, чго соответствует вменению частоты ю от -оо до Н-оо. Аргументы выражений (/ю - р^ и (/ю - ~ па-) обозначены соответственно на рис. 17-2 буквами ф^, и ф„. --Р^исупцк 17 2-покдзывасг, чте-есд ни одни н.л.л riC п^лап на ка1:;,:ол си, г е. если четырехполюсник имеет активные сопротивления, то ни один из

модулей 1 (/со - р^д) 1, а значит и К (со), не обращается в нуль при изменении со от -оо до +00, так как

Ьо I О'ш-Рю) I i (/ -Pmo) I

К(со) = -

(/co-pioo) I ... I (/(u-p co)

Физически это означает, что если на вход четырехполюсника подано напряже-ние, то при любой частоте со на выходе будет какое-то напряжение Это утвгржде! ние справедливо, если ни одна ветвь между зажимами выхода не является тисто реактивной.

Рисунок 17-2 показывает также, что если ни один из полюсов не лежит на мнимой оси, то К (со) ни при какой частоте не обращается в бесконечность Как следует из (17-3), обращение К (со) в бесконечность означало бы, что при входном напряжении, равном нулю, на выходе могло бы быть некоторое конечное напря-жение. Но при учете активных сопротивлений четырехполюсника и при отсутствии

напряжения на его входе не будет напряжения и на его выходе.

Вообще говоря, если корни числителя и знаменателя К (/cfl) расположены в левой или правой гюлуплоскости, но вблизи мнимой оси (рис. 17-2), то при прохождении точки ,М вблизи нулей функция к (со) будет иметь минимумы, а при прохождении М вблизи полюсов функция К (со) будет иметь максимумы.

Вблизи точек, где расположены минимумы (максимумы) К (со), фазовая характеристика увеличивается (уменьшается) на гл-В самом деле, рис 17-2 показывает, что если точка L - нуль К (со), то при движении из точки М' в М аргумент 8 (со) увеличится почти на +п.

Если же L - полюс К (со), то, поскольку двучлен (/со - Р„оэ) относится к знаменателю К (р), приращение 8 (со) будет равно -я, т е. при прохождении точки М вблизи максимума К (со) аргумент 8 (со) уменьшится на я.

При перемещении хотя бы одного пуля из левой в правую полуплоскость в симметричное положение относительно мнимой оси (из точки L в точку L) амплитудно-частотная характеристика К (со) не изменятся, а фазочастогная изменится, так как lenepb при прохождении точки М вблизи L приращение аргумента 6 (со) будет равно не +я, а -я. Значит, одной и той же амплитудно-частотной характеристике К (со) соответствуют две различные фазочастс)тные характеристики 6 (т). Так как в общем случае, например для цепей с распределенными параметрами, число нулей у функции К (со) может быть бесконечно велико, то при поочередном перемещении всех их из левой полуплоскости в симметричное положение на правой полуплоскости амплитудно-частотная характеристика будет оставаться неизменной, а фа.зочасготная характеристика при перемещении каждого из нулей будет иной Следовательно, одной и той же амплитудно-частотной характеристике в общем случае может соответствовать бесконечное число фазочастотных характеристик.

Рисунок 17-3 показывает, что при переходе любого нуля из левой полуплоскости в правую аргумент двучлена (/со - pjo) увеличивается при положительном значении частоты со (см. последовательные положения точек N, N, N , N ), Следовательно, при со > О сумма аргументов двучленов (/со - p o)> жогда они лежат в правой полунлоскосш, -бве ьше, чем нри pitcHtwreiheirH-нулей в левой полуплоскости. Более подробное исследование показывает,

Рис 17-3.

из бесконечного числа фазочастотных характеристик, соответствующих лной заданной амплитудно-частотной характеристике, минимальное значение огумбИ G (ш) при любом выбранном положительном значении частоты ю йудет в том случае, К01да все нули К (w) расположены в левой полуплоскости

В соответствии с этим электрические цепи, все нули передаточной функции которых лежат в левой полуплоскости и, значит, аргумент 6 (ю) имеет наимень-ц,5е возможное значение, называются ,14йНИмально фазовыми цепями Если хотя бы один нуль передаточной функции электрической цепи расположен в правой полуплоскости, она называется не минимально фазовой цепью Из сказанного вытекает, что для не минимально-фазовых цепей однозначной связи между /С (ю) и 6 (ю) не существует Как было указано, причиной этого является расположение хотя бы одного нуля функции /( (м) в правой полуплоскости А так как все нули функции К (w) для минимально фазовых цепей расположены в левой полуплоскости, то для них фазочастотная характеристика может быть однозначно определена по амплитудно-частотной

Выше (см § 15-3) были получены соотношения (15-26) и (15-27) Они косвенно подтверждают, что между амплитудно-частотной К (w) и фазочастотной 8 (со), а также между вещественной В (а) и мнимой М (ш) частотными характеристиками электрической цепи при некоторых условиях может быть определенная связь, так что, зная одну из них, можно найти другую, и наоборот Выражения (15-26) и (15-27) можно рассматривать как особого рода интегральные уравнения, из которых, зная К (w), можно найти 6 (ю), а также, зная В (ю), можно найги М (ю), и наоборот

Наконец, из сказанного вытекает, что две электрические минимально-фазовые цепи, имеющие одинаковые амплитудно-частотные характеристики, имеют одинаковые фазочастотные характеристики Такого утверждения нельзя сделать для не минимально-фазовых цепей

Пример 17-1. Определить передаточную функцию цепи рис 17-4 Решение Составим изображения тока / (опуская аргумент р)

Рис 17-4

и напряжения на выходе

Гх + г^+\/рС

Г1 + Г2+УрС

(гг+VpC).

Передаточная функция

(W - ,1 + г2+1/рС

Функция к (р) имеет нуль при р = -XjrC, т е он лежит в левой полуплоскости, поэтому цепь рис 17-4 минимально-фазовая.

Пример 17-2. Определить передаточную функцию цепи рис. 17-5, называемой фазовращателем на том основании, что при изменении частоты входного -здряження и неизменной era амплитуде Еединш1авыходаоЕО-на11ряжениаастает- неизменной, а фаза изменяется.