чаются уравнения метода переменных состояния. Этот алгорих очень напоминает применяемый в классическом методе расчета нер^ ходных процессов для получения одного результирующего диффе^ ренциального уравнения относительно одного из переменных.

В частных случаях, когда в цепи нет емкостных контуров, т. е контуров, все ветви которых содержат емкости, и нет узлов с при , соединенными ветвями, в каждой из которых включены индуктнв ности, может быть указан и другой алгоритм. Не останавливаясь на нем, отметим лишь, что он основан иа замене емкостей источниками э. д. с, индуктивностей - источниками тока и применении метода наложения.

Для цепи рис. 14-14 по законам Кирхгофа

ni + LdiLldt~Vri,-~-e{i)\ uc-rir = 0.

Определяя tV нз первого уравнения, подставляя в третье, заменяя ic = С dujdt и представляя полученное дифференциальное уравнение в канонической форме относительно ducldt, получаем:

(14-2

(14-37)

Решая второе уравнение (14-36) относительно L diildt, заменяя согласно первому уравнению (14-36) и подставляя ic = С duJdt, получаем:

L dijdt = - 2п1 + гС duddt + e{t)- ri (t). (14-38)

Складывая почленно (14-38) с умноженным на гС уравнением (14-37) и определяя из полученного результата diildt, получаем:

it-~[k-]:uc + [eir). (14-39)

Перепишем уравнения (14-39) и (14-37) в матричной форме:

Г

e{t) i{t)

(14-40)

или

x(i = Ax+Bu, где для рассматриваемой цепи имеем:

х(1> =

(14-42a)

общем случае первое уравнение метода переменных состояния пнпи Форме заппшется в виде

-=Ax + Bu.

(14-43)

пнцы А и в в линейных цепях зависят только от параметров 1 1 С, т е являются постоянными величинами. При этом квадратная матрица порядка н и называется основной матри-

цепи, матрица В - в общем случае прямоутольная, размера III налшается матрицей связи между входом цепи и перемен-

ми состояния, матрицы х и и- матрицы столбцы или векторы

переменных состояния (размера п \ 1) и внешних возмущений

(размера / X 1)

В рассматриваемом примере матрица В получилась квадратной второго порядка, так как число переменные состояния (ii, и^) равно числу внешних возмущении {е (t), i (/))

Перейдем к составлению второго уравнения метода В качестве вых0.тных мож)ю выбрать любые из величин Возьмем, например, в качестве выходных три величины t, и /

Значения их запишутся через переменные состояния {ii, uc) li внешние возл1ущенпя (е (/), i (/)) непосредственно из уравнений (14 36)

1 0 i,+ujr--0 е(0 + 0 t(0, k-=40 + i~t. = ;/- с/- + 0 e[t) + \ Ul = - riL~uc+\ e{f)-0 t{t),

(14-44)

или в матричной форме

e(/) t(/)

или

сокращенно

где

y-=Cx-f Du,

я рассматриваемой цепи

(14-45)

(14-46)

а в общем случае второе уравнение метода переменных состоя

= Cx4-Du.

(И-48)

Матрицы С и D зависят только от параметров цепи г, L, С. В од щем случае - это прямоугольные матрицы соответственно размепп k X п и k X т, причем С называется матрицей связи переменных состояния с выходом цепи, а D - матрицей непосредственной связи входа и выхода цепи (или системы).

Для ряда физических систем D является нулевой матрицей и второй член Du в (14-48) обращается в нуль, так как нет непосред. ственной связи между входом и выходом системы.

Если в качестве переменных состояния взять, например, ток г и напряжение Ul и представить дифференциальные уравнения относительно них в канонической форме, то (опуская все промежуточные преобразования) первое из уравнений метода в матричной форме будет иметь вид:

x(i) = Ax + Bu + Eu(i,

где

I О О О

, -1 -

г L 1

eW (/) iW (О

2 С 2

7с

гС 1

(14-49)

(14-5

Таким образом, действительно, первое уравнение метода переменных состояния будет в матричной форме иметь вид (14-43) только при выборе в качестве переменных состояния тока ii и напряжения Uq.

Переходя к решению матричного дифференциального уравнения (14-43), прежде всего отметим, что оно особенно упрощается, естч квадратная основная матрица А порядка п является диагональной-Тогда все п линейных дифференциальных уравнений (14-43) развязаны, т. е. производные переменных состояния зависят каждая только от своей переменной состояния.

Рассмотрим сначала решение линейного неоднородного матрн^ ного дифференциального уравнения (14-43) операторным метоДО Для этого преобразуем его по Лапласу:

ЯХ(р)-х(0) = АХ(р)4-Ви(р), (14-5