Главная  Электрическая энергия в отраслях промышленности 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 [ 134 ] 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248

чаются уравнения метода переменных состояния. Этот алгорих очень напоминает применяемый в классическом методе расчета нер^ ходных процессов для получения одного результирующего диффе^ ренциального уравнения относительно одного из переменных.

В частных случаях, когда в цепи нет емкостных контуров, т. е контуров, все ветви которых содержат емкости, и нет узлов с при , соединенными ветвями, в каждой из которых включены индуктнв ности, может быть указан и другой алгоритм. Не останавливаясь на нем, отметим лишь, что он основан иа замене емкостей источниками э. д. с, индуктивностей - источниками тока и применении метода наложения.

Для цепи рис. 14-14 по законам Кирхгофа

ni + LdiLldt~Vri,-~-e{i)\ uc-rir = 0.

Определяя tV нз первого уравнения, подставляя в третье, заменяя ic = С dujdt и представляя полученное дифференциальное уравнение в канонической форме относительно ducldt, получаем:

(14-2

(14-37)

Решая второе уравнение (14-36) относительно L diildt, заменяя согласно первому уравнению (14-36) и подставляя ic = С duJdt, получаем:

L dijdt = - 2п1 + гС duddt + e{t)- ri (t). (14-38)

Складывая почленно (14-38) с умноженным на гС уравнением (14-37) и определяя из полученного результата diildt, получаем:

it-~[k-]:uc + [eir). (14-39)

Перепишем уравнения (14-39) и (14-37) в матричной форме:

Г

e{t) i{t)

(14-40)

или

x(i = Ax+Bu, где для рассматриваемой цепи имеем:

х(1> =

1 -

(14-42a)

r 1 L L 1 1

; B =

I 0 n

il .

e{t)

(14-426)

С rC

с

II II II \ II



общем случае первое уравнение метода переменных состояния пнпи Форме заппшется в виде

х(1) =

= Л

+ в

-=Ax + Bu.

(14-43)

пнцы А и в в линейных цепях зависят только от параметров 1 1 С, т е являются постоянными величинами. При этом квадратная матрица порядка н и называется основной матри-

цепи, матрица В - в общем случае прямоутольная, размера III налшается матрицей связи между входом цепи и перемен-

ми состояния, матрицы х и и- матрицы столбцы или векторы

переменных состояния (размера п \ 1) и внешних возмущений

(размера / X 1)

В рассматриваемом примере матрица В получилась квадратной второго порядка, так как число переменные состояния (ii, и^) равно числу внешних возмущении {е (t), i (/))

Перейдем к составлению второго уравнения метода В качестве вых0.тных мож)ю выбрать любые из величин Возьмем, например, в качестве выходных три величины t, и /

Значения их запишутся через переменные состояния {ii, uc) li внешние возл1ущенпя (е (/), i (/)) непосредственно из уравнений (14 36)

1 0 i,+ujr--0 е(0 + 0 t(0, k-=40 + i~t. = ;/- с/- + 0 e[t) + \ Ul = - riL~uc+\ e{f)-0 t{t),

(14-44)

или в матричной форме

p 1!

l 0

e(/) t(/)

или

сокращенно

где

y-=Cx-f Du,

я рассматриваемой цепи

(14-45)

(14-46)

0

0 0{

I -1/Г

0 I

, (14-47)

1 Hi

W-r -1 1



а в общем случае второе уравнение метода переменных состоя

= Cx4-Du.

(И-48)

Матрицы С и D зависят только от параметров цепи г, L, С. В од щем случае - это прямоугольные матрицы соответственно размепп k X п и k X т, причем С называется матрицей связи переменных состояния с выходом цепи, а D - матрицей непосредственной связи входа и выхода цепи (или системы).

Для ряда физических систем D является нулевой матрицей и второй член Du в (14-48) обращается в нуль, так как нет непосред. ственной связи между входом и выходом системы.

Если в качестве переменных состояния взять, например, ток г и напряжение Ul и представить дифференциальные уравнения относительно них в канонической форме, то (опуская все промежуточные преобразования) первое из уравнений метода в матричной форме будет иметь вид:

x(i) = Ax + Bu + Eu(i,

где

I О О О

, -1 -

г L 1

eW (/) iW (О

2 С 2

гС 1

(14-49)

(14-5

Таким образом, действительно, первое уравнение метода переменных состояния будет в матричной форме иметь вид (14-43) только при выборе в качестве переменных состояния тока ii и напряжения Uq.

Переходя к решению матричного дифференциального уравнения (14-43), прежде всего отметим, что оно особенно упрощается, естч квадратная основная матрица А порядка п является диагональной-Тогда все п линейных дифференциальных уравнений (14-43) развязаны, т. е. производные переменных состояния зависят каждая только от своей переменной состояния.

Рассмотрим сначала решение линейного неоднородного матрн^ ного дифференциального уравнения (14-43) операторным метоДО Для этого преобразуем его по Лапласу:

ЯХ(р)-х(0) = АХ(р)4-Ви(р), (14-5



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 [ 134 ] 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248

© ООО "Карат-Авто", 2001 – 2018
Разработчик – Евгений Андрианов