Главная  Электрическая энергия в отраслях промышленности 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 [ 126 ] 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248

Ряд таких функций и их изображений приведен в приложении 2 Подробные таблицы оригиналов и соответствующих им изображенпГ приводятся в справочипках. В наиболее полном из них, составлен' ном В. А. Диткиным и П. И. Кузнецовым, содержится свыше 1500 оригиналов и изображений по Карсону - Хевисайду.

Необходимость вычисления постоянных интегрирования по на-чальным условиям отпадает, поскольку все начальные условия учц. тываюгся при переходе от системы итпегродифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений.

Приведем (без вывода) формулы для изображений производных и интегралов от оригинала. Если

L{f{t)}==F(p), (14-3)

L{rii)} = pF{p)-f{0 + ); (14-4)

Lirm-PlfiP)-- (14-5)

и т. д.

Отметим, что если функция / (/) и ее производные /(t), / ()... при t = О изменяются скачком, то в (14-4) и (14-5) нужно подставлять их значения с з-четом этих скачков, т. е. справа от нуля, что и отмечено в их аргументах знаком О +.

Если начальные значения функции и ее производных при / = О -f равны нулю, то изображения первой и последующих производных находятся особенно просто:

L{f it)}=pF{p);

L{rit)}=pF{p)

и т. д.

Изображения интегралов от оригинала имеют вид:

(14-6)

Ь^\/(/)Л1 = (14-7)

L 5/(04 = 9+ I I f{t)dt,

а<0. (14-8)

Если интеграл J f(t) di прн/=0 изменяется скачком, то нужно

а

брать его значение справа от нуля, что и обозначено в его верхнем пределе знаком О + .

Итак, если начальные (т. е. при t - О или в случае скачков при t - О +) значения функции, ее производных и интегралов равны нулю, то величину р можно рассматривать как оператор; умножая на оператор изображение данной функции, получаем изображение ее производной (14-6), деля на операюр изображение этой функции-~пол}-чаем изоираАе1ше ее ии1е1рала (14-7):-



иу но всегда иметь в виду, что при расчете переходных процес-операторным методом необходимо не только находить изображе-функций, их производных и интегралов, но и решать обратную f * цу находить функции (оригиналы) по их изображениям. Для .го как указывалось, можно пользоваться таблицей, приведен-й в приложении 2, или справочником. Однако могут встретиться ображения, для которых оригиналы неизвестны и само их отыска- является весьма трудной задачей. В таких случаях можно пользоваться приближенными (численными) методами отыскания оригинала по изображению.

Часто изображение имеет вид рациональной дроби

Лр) floP + aip -i + ... + a

при т<п, причем дробь {р)1р2 (р) = F (р) несократимая, т. е. многочлены F (р) и F2 (р) общих корней не имеют, и а^, - вещественные числа.

Оригинал / (О изображения (14-9) можно найти по формуле, называемой теоремой разложения:

п

которая представляет собой сумму вычетов подынтегральной функции F (р) выражения (14-2) оттюсительно всех ее полюсов ри, здесь pk - простые корни характеристического уравнения F (р) = = О, причем один из них может равняться нулю.

Часто встречается другая форма записи разложения, применяющаяся в том случае, когда в составе знаменателя (14-9) есть множитель р, г. е. знаменатель (14-9) имеет один нулевой корень. Необходимо найти оригинал для изображения F {p)lpF (р), где в составе 2 (р) уже нет множителя р. Предполагая, что уравнение F (р) = О имеет я различных и не равных нулю корней pk (k = 1,2, ...,я), получим другую форму теоремы разложения:

ЬМ\ (t) Ш+У hSlA (14 1 п

Если уравнение (р) = О имеет комплексные сопряженные Корни, 10 нет необходимости вычислять слагаемые суммы, стоящей правых частях равенств (14-10) или (14-11) для каждого из комплексных сопряженных корней в отдельности. Известно, что функ-Ии с вещественными коэффициентами от комплексных сопряжен-Ь1х значений независимого переменного - сами комплексно сопря-енные. Поэтому, если корни р^ и р% - комплексные и сопряжен-то достаточно вычислить слагаемое сумм (14-10) или (14-11) одько для корня pfe, а для корня р% взять значение, сопряженное тому слагаемому ,

13- ,



Если среди корней многочлена (р) есть кратные, то можно записать теорему разложения аналогично формулам (14-10) или (14-11), но с двойной суммой в правой части (одна сумма по числу корней, а вторая - для каждого корня по порядку его кратности) Однако эта формула довольно сложна и здесь не приводится.

Если изображение F (р) наряду с п простыми полюсами в точках р1, ... , Pk, ... , рп имеет, например, еще один полюс кратности в точке /7 +1, т. е.

то, применяя формулу вычета в кратном полюсе, получаем:

ft=I (fpliP) (P - Pnirlp==p

(14-12)

Это соотношение позволяет учесть кратные корни характеристического уравнения. Если кратных корней несколько, то для каждого из них нужно записать слагаемое, аналогичное второму слагаемому в правой части последнего равенства.

Еслп нужно вычислить начальное (при t = О +) и установившееся (при i = оо) значения оригинала, т. е. / (О -]-) и f (оо), то можно, конечно, пользоваться формулами (14-10) или (14-11). Однако начальное и установившееся значения оригинала в случае, когда установившийся процесс непериодический, определяются гораздо проще по так назьшае.мым предельным соотношениям:

f (О+ )==Пт pF{p) (14-13)

1{ж) = Пт pF{p). (14-14)

Дополнительно отметим, что теорема разложения применима не только к рациональным дробям, но и когда F (р) и F2 (р) содержат трансцендентные, например экспоненциальные, круговые и гиперболические функции.

14-2. Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме

Рассмотрим иепь г, L, С (рис. 14-1), которая была подключена к источнику э. д. с. Bi (t) и в момент t = О переключается к источнику э. д. с. е (t).

Закон Ома для мгновенных значений после переключения запишется так:

-npLdU (14Л5)

- 00

f 1 (р) еР



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 [ 126 ] 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248

© ООО "Карат-Авто", 2001 – 2018
Разработчик – Евгений Андрианов