в соответствии с (1.-4) правые части (2.3) и (2.4) должны быть равны нулю. Поэтом1у из (2.3) и (2.4) соответственно получаем

О) дх

Ау=-А%+, (2.5); (2.6)

где ww{x,y) = ¥ (2-7)

Так как функция А известна, то для определения векторного потенциала А в точка><, принадлежащих поверхности S, достаточно

найти функцию ш.

Продифференцируем (2.5) по х, а (2.6) по и сложим почленно получающиес:я равенства. С учетом (2.7) придем к уравнению

ду Л дх: ду J \ дх ду )

(2.8)

ах ду \ дхГ ду j \ дх ду

Так как в рассма триваемом случае плоской поверхности S вектор j параллелен плюскости z=0, то Az=0. Следовательно,

if- = divA=--iojepW.

аЛд дх ду

Аналогичное соотношение для функции А° имеет вид

дА\ дх

idivAjs

дА\ д2

дАг

Подставляя (2.9) и <2.10) в (2.8), получаем а* И1 , dw

. дАг

(2.9)

(2.10)

(2.11)

Если источники первичного поля не находятся на самой поверхности S, то функция w=w{x, у) должна быть ограниченным и однозначным на поверхности 5 рещением (2.11). Представим w в форме

w=w{x, y) = iiif-\-w, (2.12)

где w°=w{x, у) - некоторое ограниченное и однозначное на S частное рещение уравнения (2.11), а w=w{x, /) - тоже ограниченное и однозначное на S решение однородного уравнения

(2.13)

дх ду

Отметим, что в тех случаях, когда поверхность S имеет неограниченные размеры, функция w=w°-w должна кроме указанных условий удовлетворять еще соответствующим условиям излучения.

Выражая из (I.I4) Л^с и Лу и приравнивая полученные выражения правым частям (2.5) и (2.6) соответственно, приходим к уравнениям 32

<и дх <о дх

О) ду

-А\+ -

i dafl , i dw

X и yS,

(2.14)

(2.15)

(О ду a ду

где ULo{x,y,l,n) = [ {x~l) + {У-ЦУ]

Если бы правые части (2.14) и (2.15) были известными функ--циями, то эти уравнения могли бы непосредственно служить для нахождения в отдельности составляющих jx{, ц) и /у(, т]). Однако они определены не полностью. Рассмотрим слагаемые, входящие в правые части (2.14) и (2.15).

Функции А°х и А% являются заданными. Функция w° определяется первичным полем и легко может быть вычислена при любой правой части (2.11). Следовательно, ее, а также dw°/dx и dwldy можно считать известными. Исключение составляет функция W. Конкретный вид этой функции зависит от формы поверхности S и характера первичного поля и может быть определен только после нахождения плотности токов j. Поэтому решение задачи должно проводиться следующим образом. Вначале нужно решить (2.14) и (2.15) в общем виде, подставив в них в качестве w общее решение (2.13), ограниченное и однозначное на всей поверхности S. В тех случаях, когда поверхность S имеет неограниченные размеры, требуется еще, чтобы функция w удовлетворяла соответствующему условию излучения. Функция w будет полностью определена после этого из очевидного с физической точки зрения требования

/пк = 0, (2.16)

где /г, - нормальная к краевой линии Со (см. рис. 2.1) поверхности S составляющая плотности полного тока, наведенного на S. Очевидность условия (2.16) ясна, например, из следующих рас-- суждений [34]. Предположим, что к элементу dl контура Сп подтекает отличный от нуля ток jndl. Из закона сохранения зарядов [34], записанного для элемента dl, получаем

(2.17)

где q - линейный заряд, приходящийся на единицу длины контура Со, а / - линейный ток, текущий вдоль Со-

Но 9 и / должны быть равны нулю, так как энергия электрического поля линейного заряда и энергия магнитного поля линейного тока бесконечны. Полагая в (2.17) =0 и /=0, приходим к (2.16), причем из вывода этого условия видно, что оно имеет мес-

то не только для плоской поверхности, но и для незамкнутой поверхности произвольной формы.

Отметим еще, что из (2.16) следует также равенство нулю полного заряда Q на поверхности S [34]. Действительно, из закона сохранения зарядов, записанного для всей поверхности S,

при учете (2.16) автоматически получаем, что Q=0.

Таким образом, задача дифракции электромагнитных волн на идеально проводящей плоской поверхности произвольного очертания сведена к решению двух однотипных интегральных уравнений Фредгольма для декартовых составляющих плотности полного тока, наведенного на поверхности S.

Уравнения (2.14) и (2.15) можно объединить и представить в виде одного интегрального уравнения для вектора j=x%(, г\) +

1Г.-(. п) -- °-: -d5=-Ao.(., у) +

4п

Lo(x, у. 1, т])

-t- - grad w {X, у) =-А\ (X, {/) + - grad ш (х, у) +

-grauw(x, у), X и t/eS,

дх ду дх

дЕ% ду

Правую часть (2.21) можно преобразовать:

дх 34

а£°;

ду

divE

а£ .

Я источники первичного поля не находятся на рассматривае-ой поверхности, то div Е'>\г=о=0 при х и yS и (2.21) принима-вид

дЕо

X и yeS.

(2.22)

(2.18)

где .=х'>А°х{х, у)+у°А°у{х, у) - касательная к S составляющая первичного векторного потенциала, вычисленная в точках поверхности S.

Отметим, что изложенная методика вывода интегральных уравнений задач дифракции электромагнитных волн на идеально проводящих плоских поверхностях допускает некоторые изменения.

Вместо (2.3) и (2.4) можно записать эквивалентные им соотношения

(2.19) (2.20)

Продифференцируем (2.19) по х, а (2.20) по у и сложим получающиеся равенства. Используя (1.11), придем к уравнению

Решение уравнения (2.22) можно представить в форме W= ! =Т*(л;, у)+Т{х, у), где Ч^*(х, у) - некоторое ограниченное и однозначное на S частное решение (2.22), а W(x, у) - тоже ограниченное и однозначное на 5 решение однородного уравнения

(2.21)

дх* ду*

(2.23)

В тех случаях, когда поверхность S имеет неограниченные разме-

,ры, функция W должна также удовлетворять условию излучения. Выражая и Ау из (2.19) и (2.20) и приравнивая их соответ-ствующим выражениям, получающимся из (1.14), приходим к сле- дующим интеГ|ральным уравнениям для декартовых составляющих плотности полного тока, наведенного на S:

*njs Lo О) О) av ш

+ - (+) = ; X и yEES. (2.24)

(О \ dv dvy

Входящая в (2.24) функция легко вычисляется при любом первичном поле. О функции W пока известно только то, что она является решением (2.23). Ее конкретный вид зависит от формы поверхности S и первичного поля. Поэтому при решении (2.24) в его

правую часть в качестве функции W следует подставить общее ограниченное и однозначное на всей поверхности S решение (2.23).

Окончательный вид функции W (а следовательно, и составляющих и jy) определяется после решения (2.24) и учета (2.16).

Интегральные уравнения для составляющих и jy можно объединить и представить в виде одного интегрального уравнения для вектора у.

trjn?. П) , , , dS=-±-E\{x, j/) + J-grad4(x. у)

1о(х, у. I, Т))

1---t\ {х, у) -f - grag t* {X, у) + J- grad (x, у); jc и yS,

I (2.25)

где E% {X, y)=xO£o{x, у)+уОЁ<>у(х, f/) - касательная к S составляющая напряженности первичного электрического поля, вычисленная в точках поверхности S.

Подчеркнем, что (2.25) и (2.18) различаются только формой записи правой части. Можно показать, что правые части этих уравнений представляют собой одну и ту же функцию, записанную различным образом. Действительно,

--!-(£*-grad t) =-- {-grad -i oi A -grad W] =

= A + - grad w.

(2.26)

[енные размеры, то соответствующая этой поверхности функция должна, кроме того, удовлетворять условию излучения, я окончательного определения функций Шт,/ =1, 2,..., , следовательно, и искомых функций (Im, Лт) необходимо есть требование обращения в нуль на краевой линии верхности Sm, т=1, 2,. .. , л, нормальной к этой линии

авляющей вектора jm(lm, Цт), т=1, 2,... ,п. Интегральные уравнения для системы из п идеально проводящих плоских поверхностей произвольного очертания получены из (2.18). Аналогичный переход можно осуществить на основе (2.25). Изменения, которые должны быть при этом произведены.

Преобразовывая правую часть (2.25) с учетом (2.26), приходим к (2.18).

Методом Гринберга легко получаются [34] также интеграль- очевидны, и не будем на них останавливаться

ные уравнения задачи дифракции электромагнитных волн на сис- Отметим, что Г. А. Гринбергом [33, 34, 50] были предложены

теме идеально проводящих плоских поверхностей .....S , кже методы построения асимптотических решении интегральных

расположенных в одной или в параллельнь1х плоскостях. равнении рассматриваемого типа при^ kal (низкочастотная

Пусть р, Лр, Sp-значения координат х, у, г точки М, распо- асимптотика), где а - характеристический размер экрана, и при

ложекной ня повепхногти S о-12 я яг v 7 - кооп- (высокочастотная асимптотика). Решение интегральных

днГьГ^очкиХТас -нений при а<<1 строится [33] путем сведения исходной

п. Так как вторичный векторный потенциал А в точке MeS в электродинамической задачи к серии последовательных электро-

этом случае создается токами, текущими не только по S , но и по статических задач. Метод нахождения высокочастотной асимпто-

тики [34, 50] основан на рассмотрении токов, наведенных на теневой стороне экрана, и получил название метода теневых оков.

остальным поверхностям, то на Sm. должно выполняться соотношение

Р=п -ikL

Р=1 Sr

dip drip =

= - А^г + -graduy ; m=l,2, ...,n, to

(2.27)

где Lpm= Г {Хт-1рУ+{Уш-Чр)+{2г,г-~1р)\ jp (Ip, p) - ПЛОТНОСТЬ ТОКОВ, наведенных на поверхности Sp, p=l, 2,. .. ,п; AVt=

= AVx {Xm, Ут, Zm) - кзсательная к Sm составляющая первичного векторного потенциала А°т, вычисленная в точке MosSm, а Wm. = Wm(Xm, Ут)-функция, удовлстворяющая дифференцизльно-му уравнению

,2. Задачи дифракции на поверхностях вращения

ir В качестве примера применения методики, изложенной в предыдущем параграфе, выпишем интегральные уравнения задач дифракции электромагнитных волн на идеально проводящих плоских поверхностях вращения. К таким поверхностям относятся диск, плоское кольцо и плоскость с круглым отверстием.

020

дхт дуга

Хш и Ушг,

(2.28)

Соотношение (2.27) лредставляет собой систему из п совокупных интегральных уравнений Фредгольма первого рода для плотностей токов \т{хт-, Ут), наведснных на поверхностях Sm, т=1, 2,...,п.

Так. же, как в случае одиночной поверхности, при нахождении Рис. 2.2. Рис. 2.3. Рис. 2.4. функций irrtilm, Цт), т=1, 2,..., п, ИЗ (2.27) в правые части этих

уравнений в качестве Wm следует подставить наиболее общее од- Пусть поверхность S представляет собой идеально проводящее

позначное и ограниченное на Sm, m=l, 2,...,п, решение (2.28). йвсконечно тонкое плоское кольцо (рис. 2.2) с внутренним Ci и

Если какая-либо из рассматриваемых поверхностей имеет неогра- внешним аг радиусами. Диск и плоскость с круглым отверстием

являются его частными случаями. При ai = 0 и 02=0 кольцо пере-

Предполагается что источники первичного поля ие находятся иа поверх- *ОДИТ в ДИСК радиуса а (рис. 2.3), а при а,=а И С2=оо -в пло-

иостях Sm. т=1. 2, п. Скость С круглым отверстием радиуса а (рис. 2А).