Если источник первичного электромагнитного поля - элементарный магнитный вибратор, расположенный вдоль полярной оси на расстоянии б=о6о от начала координат, то (5.12) принимает вид

где pi= l/i1+So-2т]6осо5во, а функция ш() связана с плотностью тока /() соотношением (5.11).

Искомые функции t (6) и при %=0 обращаются в нуль, а при 5=1 имеют особенность типа (1-Е)-/2,

Рис. 5.4.

3. Сферический пояс. Пусть S представляет собой сферический пояс радиуса а (рис. 5.4). В этом случае также удобно использовать сферические, координаты гиб. Полагая q=r, Чо=а; т=в, 61:6:62; t = i, Q,: 162, получаем

о

2я -1 vd(e. i.yf)

dit>= -

4iti ,

(5.13)

V d{Q, 1, тр)

где d(e, I, гр) = v2 (1 - sin I sin 6 cos - cos 6 cos I).

Если, как и в предыдущих случаях, первичное поле создается элемейтарным магнитным вибратором, то (5.13) принимает вид

е, 2я g-i vd(e,.*) , i > sine

die, I. if)

где p2=V( 1-Ьбо)-46o[cos (в/2)], a функция ш(5) связана с /() соотношением (5.11).

Искомые функции /() и ш(1) имеют при 6=6], 6=62 особенность типа 1(6-в,)(в2 6)]-/ если 0,Ф0 к вгл. Если 61=0 нлн в2=л, то сферический пояс превращается в усеченную сферу. В этом случае искомые функции обращаются в нуль соответственно при в = 0 илн при 6=л, а особенность нх поведения на втором конце контура Г остается прежней.

Осесимметричная задача для Я-поляризованного поля. В случае Я-поляризации первичное поле имеет только составляющие Я^ф, Е^д и £°.t. Под воздействием такого поля на поверхности S наводятся электрические токи с плотностью ]=т°/(т), а^т^р, где т*-координатный орт переменной т в точке Mo=Mo{qo, т), принадлежащей контуру Г. Так как в этом случае div АфО, то непосредственное применение граничного условия (1.4) с учетом (1.12) приводит не к интегральному, а к интегро-дифференциаль- 6

.:>му уравнению. Однако, если выполняется некоторое дополнительное условие, которое будет сформулировано ниже, рассматриваемая задача так же, как задача дифракции Я-поляризованных волн на незамкнутой цилиндрической поверхности (см. § 3.1), может быть сведена к интегральному уравнению Фредгольма первого рода.

В случае Я-поляризации векторный потенциал

. R , , 2л -IfcL(Q. т. t. *)

)-г4 П^)()W*ч( т,Л1Р)

(5.14)

где f - координатный орт переменной т в точке интегрирования Составляющая на контуре Г

2л -IkLAi.t.*)

(x ,t )dif;

(5.16)

где

?o(T.o=A;(/)/i.(oj

С другой стороны, А выражается через и соотнощенпем

(3.7). Если бы функция W была известна, то (3.7) с учетом (5.15) можно было бы рассматривать как интегральное уравнение относительно плотности тока j(t). Однако, как и в случае цилиндрических поверхностей, функцию Ч'(т) не удается определить независимо от у (о- Поэтому для вывода интегрального уравнения рассматриваемой задачи нужно, аналогично тому, как это было сделано при выводе (3.16), выразить Wir) через интеграл от плотности тока j{t), наведенного на S. Для этого умножим обе части (3.47) на произведение /г^ (т)/г^ (т), продифференцируем по т и разделим на Йд(т)Я^(т)Яф (х). Поступая далее так же, как в § 3.1,

придем к дифференциальному уравнению для функции Ч' (т): hqh4, dW

где

I d

+ А:2ф^дт),а<т<р,

(5.17)

/l(t)

?2(т.0 = 7

hg hx h 1

(А,л;?); /2(т)=[/(02(т,ОЛ;

- 1 im [hx (я, r) hg, [q, x) gj (q, x,t)];

hg{x)hx(x)hf{x) -

2: J

gx (fl. f) = Лх(0 (О f e - ---*> qo t ) dip.

Liq.X.t.it)

a q -координатный орт переменной q в точке N{q, т, 0).

При q=qu векторы q° и т° совпадают с ортами нормали и касательной к контуру Г соответственно.

Пусть v\(x) и 1*2(т)-линейно-независимые решения однородного уравнения, получающегося из (5.17) при Дт)=0, а /2(т) и з(т, t) - частные решения неоднородных уравнений того же типа, правые части которых равны соответственно fi (т) и gix, t). Тогда решение (5.17) может быть представлено в виде

!iii)eA-t,f)dt + Ux) + C,vAr) + C,v,ir),axfi,

(5.18)

где Ci и С2 - как обычно, некоторые, пока произвольные, постоянные.

Подставляя (5.18) в (3.7), используя (5.15) и вводя обозначения (3.15), приходим к интегральному уравнению Фредгольма первого рода:

iif/(/)/C(T./)d/ = f(T)-bQKax) + QH,(T),a<T<p. (5.19)

где Vv(T) =-

\v = 1.2. dx

hr(t)

a функция F{x) определена в (3.15).

Ядро интегрального уравнения (5.19) состоит из двух частей (т, t)=go{q, т, /) - giix, t), где функции 0(9, т, О и 4(t, О определены в (5.16) и (3.15) соответственно. Как будет показано в § 8.4, функция go{q, т, t) имеет логарифмическую особенность при совпадении аргументов / и т, а 4(т, t) непрерывна при т:р и а^/р. Функции /С(т, /), Vi{x) и V2(t) зависят только от формы поверхности S (контура Г), а F(x) - от первичного поля и формы поверхности S. Постоянные Ci и С2 должны быть, как обычно, определены в процессе решения (5.19) из условий /(а) =у(Р) =0. Таким образом, если форма поверхности 5 такова, что для однородного уравнения, получающегося из (5.17) при /(т)=0, могут быть найдены два линейно-независимых решения, то осесимметричная задача дифракции -поляризованных электромагнитных волн на идеально проводящей незамкнутой поверхности вращения S может быть сведена к интегральному уравнению Фредгольма первого рода, ядро которого относится к тому же типу, что и ядро уравнения (5.6) для -поляризованных волн.

Частные случаи:

В качестве примера выпишем уравнение (5.19) -для конкретных видов поверхности S.

1. Цилиндрическая поверхность. В частном случае, когда S представляет собой боковую поверхность кругового цилиндра (см. рис. 5.2), общая методика вывода интегрального уравнения упрощается.

Под действием Я-поляризованного электромагнитного поля на цилиндрической поверхности наводятся продольные электрические токи с плотностью j= тР]{г). Им соответствует векторный потенциал

А = гОЛС.. zlmdil (5.20)

где L{r, г, t, ч ) = Vr -f - 2гаcosМр-\-{г - t) ,

Выражая вектор Е через А по (1.12) и используя граничное условие £i(2) = =-£ 1(2), 0<z<6, получаем дифференциальное уравнение непосредственно для функции Л (2):

4-д.М= - icoenfohz), О г < Ь.

Решая (5.21) методом вариации произвольных постоянных, находим A(z) = F(z) + CiSink2 + CtC0Skz, Ozb,

(5.21)

(5.22)

где £(z) =

i соец

ЁоAt) sin kX2 - t)dt.

Выражая из (5.20) функцию Л (г) и приравнивая ее правой части (5.22), после перехода к безразмерным переменным l=tla и т]=2/а получаем

2л IV (Л. Е. Ф)

d 1) = £ (т1)-Ь Ci sin 7Т1 Ч-Са cos ут).

Oriboi Ьо = Ь/а,

где

£(,!)=. --ij;£0г(a?)sinY(rl-5)rfE, о

а Y и d (т), I, If) определяются (5.7) и (5.9) соответственно.

Если первичное поле создается элементарным электрическим вибратором, расположенным вдоль оси Z на расстоянии 6=а6о от начала координат, то в (5.24) нужно считать, что

(5.23) (5.24)

где f(l)=--p(

1-1-13(Е-6о) -р*о(Ш

У Рот

(5.25)

(5.26)

/-ток и длина вибратора, а ро() определяется (510), в отоР ? У^ только заменить г) на . При этом также удобно ввести безразмерную функцию TO(i), связанную с

JOl у2

(5.27)

С учетом (5.25)-(5.27) интегральное уравнение (5.23) принимает вид Jtt>(E)dEj -j--dy=fa)siny(ri-l)d +

-f Cisinvn-b CjCosYn. О^тКбо.

где Ct н C2 - некоторые новые постоянные, которые также должны быть определены из условий w(0) = w(bo)-0.

2. Коническая поверхность. В качестве второго примера выпишем (5.19) для плотности токов, наведенных -лоляризованным электромагнитным полем на конической поверхности (см. рис. 5.3).

Введем сферическую систему координат г, в, ф. Примем д=в; в=во; т= =г(0 -а). Тогда hiq, X)=ho{r. в)=г; h{q. x)=hr{r. G) = ll к^й. т) = = (]) ( b)=rsine. Под действие.м Я-поляризованного поля на конической поверхности наводятся электрические токи с плотностью j=r /(r). Соответствующий им векторный потенциал

2л - i fcL (г. е. <,

А(г, 0) =

HSinl

4 5 *1 - Ц,. 6, ,. щ

где L (г. е, If) = [Г' f Р - 2rf (cos в cos во -f- sin G sin бд cos if)]/*,

a t - координатный орт переменной г в точке интегрирования М=Л1(<, во. if).

Вектор (5.28) имеет две составляющие Аг(г. Q) и {г, в). Поэтому для вывода интегрального уравнения задачи нужно пользоваться общей методикой. Скалярный потенциал удовлетворяет (5.17), которое в рассматриваемом случае принимает вид

(5.28)

/ d \

где /(0 = /i(r)-b/2(r); /(0 =

г* dr

[r2£0,(r)J;

1Ш

.sine, е-ё: ae e).

Составляющая

Ar. 6) =

HSinl

де (е , t ) = cos e sin во cos If -sine cos Gq. Подставляя (5.31) в (5.30), получаем i юц sin во °

б

2л g-IftL

(GO, to)d*.

(5.29)

(5.30)

(5.31)

где Go (г, 0= J

4лгг J(0Go(r. /)Л.

2я g-IfcZ

Во(г. t. if)dif; Во(. ip) =

= I + 2 cos 2 Go sin ~ {i k (sin 4B)* ( sin --J

.Lo s L(r. Go. t, If).

Для решения (5.29) удобно ввести функцию Ф(г) соотношением

(/ ) = Ф(/-)/1/Г.

При этом (5.29) принимает вид й*Ф I Ф / 0,25\

i;r+-+(*-ir)=Vr/(r).

Решая (5.33) и подставляя результат в (5.32), приходим к выражению

(5.32)

(5.33)

У (г): 90

yp/l(p)sinft(r -p)dp-f-

(5.31)

Скалярный потенциал W должен быть ограниченной целичиной. Поэтому в (5.34) нужно считать С2=0. Подставим (5.34) в (3.7), которое в рассматриваемом случае записывается в форме

iaAr{r) = EOr (r)-dW. Составляющая

dif.

i Подставляя (5.36) и (5.34) в (5.35), получаем

iotisine, fat = F(r)-Ciy,(r. 0). 4п

где

Q(r. t).

(5.35)

(5.36)

(5.37)

- [l-2(sinG.sin-j Jdlf-f

+ -f (g.(p. 0>c(-. P)dp;

>:(r, p) =

A/-cosft(r-

p) -sinfe(r -p)

i(r) = £4(r)-I-

[p £>r(p)]>:(r, p)dp.

Входящая в (5.37) постоянная Ci должна быть определена в процессе решения (5.36) из условия /(а)=0.

3. Бесконечно тонкий диск. Уравнение (5.37) справедливо при любом значении угла и, в частности, при e=ii/2, когда коническая поверхность вырождается в бесконечно тонкий диск. При этом выражения, определяющие функции F(r), Go(p, i) и Q{r, t), существенно упрощаются.

Так как в данном частном случае поверхность вращения S является плоской, то интегральное уравнение задачи может быть получено также на основе метода Гринберга, изложенного в гл. 2. При этом общая методика (см. §2.2) может быть несколько упрощена [33].

Введем цилиндрическую систему координат г, ф, г так, чтобы ось 2 совпадала с осью диска, а начало координат - с его центром (см. рис. 2.3). Под действием Я-поляризоваиного осесимметричного поля на диске наводятся радиальные токи с плотностью j=r /(r). Им соответствует векторный потенциал А, также имеющий одну составляющую:

А = гМ(г. z)=-lj{t)tdtj

2я g- ikL (Г, г. t, у^)

Цг. г, t. If)

costf d>f.

(5.38)

где

L(r, 2. t, If) = У'г2 + <s 2rt cosTf +2 .

Поэтому прн выводе интегрального уравнения не обязательно вводить скалярный потенциал Y. Действительно, из (1.12) и граничного условия (1.4) непосредственно следует дифференциальное уравнение

dM dr

I dA / IN.

(oenfoar).