в (4.9) и (4.10) входит величина div А, которая в координатной форме имеет вид

-К^ (+аТ+аТ>) (4.11)

При этом необходимо вычислить значение div А непосредственно на поверхности S. Прямое вычисление этого значения на поверхности S сопряжено с определенными трудностями, так как в (4.11) входят операции дифференцирования по нормальному и касательным направлениям к поверхности S. Поэтому фактически граничные условия (4.9) и (4.10) представляют собой систему интегро-дифференциальных уравнений относительно компонент /,(т, г) и jz(x, z) плотности тока /(т, z). В следующем параграфе будет рассмотрен метод, позволяющий свести рассматриваемую задачу дифракции к интегральным уравнениям Фредгольма первого рода.

4.2. Метод дифференцирования граничных условий

Дифференцируя граничные условия (4.7) и (4.8) по т и z соответственно и проводя необходимые преобразования, приведем исходную задачу дифракции к двум задачам, рассматриваемым на поверхности S:

1) краевая задача для уравнения Гельмгольца относительно значений скалярного потенциала W на поверхности S;

2) интегральное уравнение на поверхности S относительно компонент плотности тока ](М).

Итак, умножаем (4.7) на fig дифференцируем по т и делим на Я^Л'г, имеем

1 \ д (hq д'¥ \ . . д ,7

hqhx

(4,12)

Аналогично (4.8) умножаем на Яд/1\, дифференцируем по z и делим на Кд/гт-. При этом, так как коэффициенты Ламме hq и /г, не зависят от Z, будем иметь

hg hx i:

{hghx)--

dz dz

(4.13)

Сложим (4.12) и (4.13) и перегруппируем члены в сумме:

hghrlVhr J.

hq hx

(4.14)

учетом выражения для div A и условия калибровки (4.14) мож-йо преобразовать:

hq hx

{hgAx) + -(hJlx 4)

= i (D div A

-i-Iim ±ihxAq)k4-

lim {hxAg).

hqhx - hqhx - Ч

Аналогично для вектора Е*

(4.15)

hq hx

дх OZ

= div Ев- д

--- lim - (hx =--!- lim

-hqhx~ hqhx-

{hxE%

(4.16)

так как div E равна нулю на поверхности S (сторонние источники отсутствуют на поверхности S).

Используя (4.15) и (4.16), равенство (4.14) можно записать и следующем виде: л \

J д (hq d

где

(4.17)

(4.18)

/i(T.) =--!-lim(Ax£S);

hghx

/, (Т. z) =--1-1 im (Лх Ад) = f л f d I /x (/. E) (T, г. /. I) d I;

(4.19)

g, = -\im[K(q,x)g,{q,r,z,t,l)iff,V>)\- (4-20)

hg hx

Представление (4.19) непосредственно следует из (4.3), связываю-I щего плотность тока с компонентой Ад векторного потенциала. Отметим также, что предел в (4.20) существует, так как скалярное произведение (qt) в точке q=qo обращается в нуль (векторы >q°, t° ортогональны).

Пусть далее 41 (т, z) - ограниченное на S частное рещение (4.17) с правой частью /i(t, z), а (т,г)-ограниченное на S частное рещение (4.17) с правой частью gzix, z, t,l)(t л^ - параметры).

Тогда решение (4.22) можно представить в виде: ;ЧГ(т,г)= ldtlix{t,l)g{j,z,Uc)dl + hyt,z) + w{T,z). (4.21)

где произвольная функция w(x, z) - решение (4.17).

Итак, (4.21) связывает значения скалярного потенциала (х, Z) на поверхности S с компонентой плотности jx тока, наведенного на S. Используя это соотношение, получаем интегральное урав-

нение для плотности тока (т, z) на повепхнлгти <J п„

Далее введем следующие обозначения: dg(x,z. t, I)

G(T. z, t, I) =

F(x.z)E°ix,z)~

hx(X)

j dw{x,z)

эу1(т, 2)

Ч'(т,г) =

Используя введенные обозначения и связь между компонентой векторного потенциала (т, z) и компонентой плотности тока /, (т, z) (4.2), получаем интегральное уравнение по поверхности S относительно компоненты (т, z):

idtdl Ig, т. z, t, I) (г t ) + С (T, z, t, )I (/. I) = = f(T,z) + Y(T,z). (4.22)

Таким образом, для определения компоненты /\ (т, z) получено одно интегральное уравнение Фредгольма первого рода вида

5 j к(т,г,t,I) jx(t,l)dtdl = F{x,z) + W(т,z),

(4.23)

где/С(т, z,/, I) = [1-С] - ядро интегрального уравнения.

Искомая функция /. (т, z) удовлетворяет также условиям на кромках цилиндрической поверхности, вытекающим из условий на ребре:

/Ч(т,г)к= = /х(т,г)к^р = 0. (4.24)

Условие (4.24) должно удовлетворяться выбором функции Ч^(т, z), которая является решением (4.17), а в остальном произвольна.

Перейдем теперь к выводу интегрального уравнения относительно компоненты /(т, z) плотности тока j(t, z). Для этого подставим выражение для y(t, z) (4.21) в граничное условие (4.8)

+ i.Aldtdl-£Six(t,l) +

д2 * а о

I d i , (9o. X. 1} h it, I) + = (T. z).

(4.25)

Введем следующие обозначения: FAr,z) = Elix,z)--b., Чг,(x,г)=-i;

/Сх(т.г) = L, (9 , т. t, z, I); (т.г, ) =1 .

Используя введенные обозначения, запишем (4.25) в виде интегрального уравнения относительно /г(т, z):

5 J к, (т, г. <. g) /, it, g) d/d + f f (T, г, /, I) jx it, I) did g =

=-F,ir,z) + %ix,z). (4.26)

Уравнение (4.26) должно рассматриваться совместно с дополнительными условиями, определяющими характер поведения искомой функции на кромках поверхности 5, а именно, искомая компонента плотности тока должна удовлетворять следующим условиям на линиях {z=0, а^т^р, д=до} и {z==b, а^Р, q=qo}-

,(т. г)и=о = /Лт,2)иь = 0. (4.27)

Таким образом исходная задача дифракции сведена к двум интегральным уравнениям (4.23, 4.26) Фредгольма первого рода на поверхности S относительно компонент плотности тока /\ (т, z) и /г(т, z), наводимого первичным полем на поверхности S. Эти уравнения могут решаться последовательно совместно с (4.24) и (4.27), определяющими характер поведения искомых функций на контуре, ограничивающем поверхность S.

Глава 5

Интегральные уравнения осесимметричных задач дифракции

5.1. Метод дифференцирования граничных условий

Система координат. Рассмотрим осесимметричную задачу дифракции электромагнитных волн на идеально проводящей незамкнутой поверхности S, образованной вращением кусочно-гладкого контура Г вокруг оси z декартовой системы координат X, у, z (рис. 5.1).

Введем ортогональную систему координат q, т, ф так, чтобы поверхность S совпадала с частью координатной поверхности

Рис. 5.1.

9=9o=const. При этом переменные т и ф на поверхности S будут изменяться в пределах а^т^Р, 0:ф^2я. Коэффициенты Ламе Aq, ft, и в общем случае могут быть функциями переменных q и т, но не зависят от <р. Декартовы координаты х, у, z связаны с flf, т и ф соотношениями

x==x{q, r,<f) = p{q,x)cosfp,y = y{q, х, ф) = р(9.т)8Шф.22(9,т, ф) = = S(<7.t), (5.1)

где p(q, х) и t,(q, х)-заданные функции, причем p{q, t)=/i {q, х).

Как показано в § 1.3, общая осесимметричная задача такого типа может быть сведена к двум независимым более простым задачам для Е- и Я-поляризованных полей соответственно. Рассмотрим эти задачи.

Осесимметричная задача для -поляризованного поля. В случае -поляризации первичное поле имеет только составляющие Я% и И°. . Под воздействием такого поля на поверхности S наводятся кольцевые электрические токи с плотностью ] = фо/(т), а^т^р. Этим токам соответствует векторный потенциал А,имеющий одну ф-ю составляющую:

i{t)g(q,x,t)dt, (5.2)

А = фо(9,т) = фо7 где

2я -\kL(q.\.t.ylf)

g{q, т, О =ft(0 А^ (О ] ---- cosit dilJ;

(5.3)

L (q, X, t, xp){lp (q, т)р -f (/) 2 n (/) p (q, x) cos + (C {q, x) - С (f)p}

(5.4)

Угол Ф отсчитывается от плоскости, проходящей через ось Z и точку наблюдения N=N(q, х, 0); величина L(q, т, t, ) равна расстоянию от точки интегрирования M=M(qo, t, if) до точки наблюдения Л'. Знак Л , как и прежде, означает, что данная функция вычислена в точках контура Г.

На поверхности S должно выполняться граничное условие

f <, (<7о. т) = (<7о. т), а < т< р. (5.5)

Так как в рассматриваемом случае divA=0, то Е^=-i(i)A(q, т). Подставляя это соотношение в (5.5) и учитывая (5.2), приходим к интегральному уравнению [63]

/ (О g (Яо, т. О dt == £в (<7 , т), а < т р. (5.6)

Таким образом, осесимметричная задача дифракции f-поляри-зованного электромагнитного поля на идеально проводящей незамкнутой поверхности S, образованной вращением кусочно-гладкого контура Г, сведена к интегральному уравнению Фредгольма

первого рода при произвольной форме контура Г. Как будет показано в § 8.4, ядро интегрального уравнения (5.6) имеет логарифмическую особенность при совпадении аргументов / и т.

Частные случай. В качестве примера выпишем (5.6) для некоторых конкретных видов поверхности S.

I. Цилиндрическая поверхность. Пусть S - боковая поверхность кругового цилиндра радиуса а и длиной Ь=а1 (рис. 5.2). В этом случае в качестве переменных t/ и х удобно рас-сматривать переменные г н z цилиндрической си- стемы координат, ось Z которой совпадает с осью симметрии поверхности S. Положим </=г; qo=a; T=z=ai]; t=a\ и введем обозначение

(5.7

7 = ka.

Рис. 5.2.

а; L(qo, т, *) =

Тогла /1,(0 = (0= :

= i(9.. ац, al, ip) = ad(n.i. I), где d и (5.6) принимает вид

cosifdip= -

= l/(tl-a=4-4sin=--

(5.8)

2я -iyd (Г). %. ♦)

Пусть первичное поле создается элементарным магнитным вибратором (элементарной рамкой, обтекаемой электрическим током /о), расположенным вдоль оси 2 на расстоянии 6=або от начала координат. Напряженность первичного электрического поля вычисляется по (1.26) и (1.27) с учетом (1.28). Опуская очевидные преобразования, нз (5.6) получаем следующее интегральное уравнение:

2л p-ivd(4. 5. *)

6 б <( 5. I)

где

cosd

g-i V Po

Po = Vl4-(ri-6o) a ш(£) - безразмерная функция, связанная с /() соотношением

j(l) = -MohSw(l)lc?,

(5.10) (5.11)

где Д5 - площадь рамки.

Отметим, что искомая функция w(%) (а следовательно, и /()) на концах интервала интегрирования (6=0, 5 = /) имеет особенность типа -6)]~Я

2. Коническая поверхность. Пусть S - боковая поверхность кругового конуса с углом прн вершине 2во и образующей а (рис. 5.3). В этом случае в качестве переменных q к х удобно рассматривать переменные лив сферической системы координат, полярная ось которой совпадает с осью симметрии поверхности S, а начало - с вершиной конической поверхности. Положим (/=в; i/o=Bo; т=г=вт); /=а|. При этом (5.6) запишется следующим образом

I 2л e-ivd(4. 5.*) 4jti ,

во j / Ц -Hl-r- cos * d 4= = - - £0 (а г,). О т, < I,

d(n. I, I)

где d(t I, Щ = Vn +1- (cos 0 + sin* щ cos тр

(5.12)