=Мо{и, vo) и Л1=Л1(ы vo) соответственно. Вычисляя направляющие косинусы векторов q , х и t°, получаем

q<>=-xP2v/h(u,v) + y0 2u/h{u.v); (3.37)

-10= x>2u/h{u) + y 2vjh{u): t -x2 i/ft(ui) + y2vft( i).

(3.38) (3.39)

где л(ы) = 2] V + wo-

Рис. 3.3.

Рис. 3.4.

Вычислим функцию §-2, входящую в правую часть (3.28). Из (3.13), (3.37) и (3.38) следует, что

(и, и^) = - 1 im А {Н2 [k L ( , V, щ)] {V, и - vu,)}, где

L {и, V, i) = [( 2 i,2 2 ,2)2 4 i,j)2]l/2

Опуская очевидные преобразования, получаем

g,( . i)--(4/л^( ))р ( , ,). где

(3.40)

Ь( ,Оо. Uj) = \u-Ui\V(u + u) + 4vo- (3.41)

В рассматриваемом случае удобно положить то = и° = 0. Тогда

K = kh(u<>) = 2kvo; b(u)ulvl. 68

При этом (3.28) принимает вид

-ь х' (w) = - [ л (ы) Ё\{и)] -\ku41 (и) -

] /( i)p( , i)f i.

(3.42)

ешая (3.42), приходим к уравнению, аналогичному (3.34): У + У^Ч' + Ку. i = Fi (ы) + ci sin (2 ftuo и) + cos (2 kv u). (3.43)

=if J = 7r 5 :[VFTF2£?(!)]sin[2to ( -)]d

0 -a. 6

El Sin [2 H ( + o)l +

+ 2 J 1 T+o? () COS[2kvo {u-l)] dl; -

Ci и c2, как и прежде, некоторые постоянные, которые должны быть найдены из условий /(-ио)=/( о)=0, а ядра интегральных операторов Vi и Ki определены следующим образом:

( .?)=-sins[Н ( -1)1;

Второе интегральное соотнощенне аналогично (3.35) и следует из (3.26), которое в рассматриваемом случае с учетом (3.38) и (3.39) может быть записано в виде

icon ? /(ы1)Я(,2) lkL{u. V, и,)] {uu,-vl)du = h(u)Ex {и)-Ш.

(3.44)

Дифференцируя получающееся из (3.42) выражение для находим

1М= 4А2 l2()cos[2kvu-l)]dl-du -u

1/- ? / ( 1) i iTT- cosl2kv,{u-l)] dl + f [A ()£? m cos [2 ЛУо ( -i)l dl-b2 kvCicos(2К и) -

2 feoc,sin(2ftUo ). i k o-

(345)

Подставляя (3.45) в (3.44), приходим к уравнению, аналогичному (3.35):

(К^-,) i-Vi = 2 ( ) -2 Щ Q cos (2 fee u)+2v С, sin (2 kv и).

(346)

где

I -Uo e

-I)] d ? -f +1,2 £0 ( ) cos [2 fti; ( + o)] + + 2v, ] V¥+FUl)siTH2kv,(u~l)]dl,

a ядра интегральных операторов

2 (и. i) = j/ 7 i * o. ( i- o);

/С, ( , i) = 1 / f P (S. i) cos [2 too( -1)] d 1; y,( ,E) = 4ftcos[2K( -S)].

Входящие в /С2( , i) и /Сз( , i) величины L{u, Uo, Ы|) и р(, и) вычисляются по (3.41) (3.40) соответственно.

Таким образом, плоская задача дифракции Я-поляризованных волн на незамкнутой цилиндрической параболической поверхности сведена к системе двух интегральных уравнений (3.43) и (3.46). Как и в общем случае, все ядра этой системы регулярны, за исключением ядра /С2( , i), которое имеет логарифмическую особенность при совпадении аргументов.

Алгоритм численного решения системы (3.43) и (3.46) описан в [47].

3.3. Метод интегрирования граничных условий

Вывод интегральных уравнений, полученных в предыдущих параграфах, основан на дифференцировании граничного условия для касательной составляющей напряженности электрического поля, что позволило получить дифференциальное уравнение второго порядка относительно скалярного потенциала в точках контура Г. В [81] был предложен метод вывода интегрального уравнения плоской задачи дифракции Я-поляризованных электромагнитных волн на идеально проводящей незамкнутой цилиндрической поверхности, основанный на интегрировании соотношения, вытекающего из (1.4). Изложим основные идеи этого метода.

Пусть, как и прежде, незамкнутая цилиндрическая поверхность S совпадает с частью а^т^р координатной поверхности q=

=9o=const системы ортогональных координат q, т, z, связанных с декартовыми координатами х, у, z соотношениями x=x(q, т); У=У(Яу т). На поверхности S должно выполняться граничное условие (1.4), которое может быть записано в форме

i-+ io) у4х (т) = (т). а < т < р.

(3.47)

УмноЖИЙ (3.47) на Л% (т) и проинтегрируем по т:

t(т)-(г,) = ] л;(I)Ё1 тal~l } Ml)dl,arр, (3.48)

1 ° °

где То - некоторое фиксированное значение переменной т (а^ тор).

Соотношение (3.48) с учетом (3.8) определяет функцию Ф(т) через плотность тока ]{t). Если записать еще одно, независимое

от (3.48), соотношение, также выражающее Ч'(т) через j{t), то,

исключив Ч'(т), придем к интегральному уравнению для функции i{t). С этой целью используем условие калибровки (1.11). Записывая (1.11) в системе координат q, х, г, получаем

= е., ! i7 X) Ад iq, х)] +

+1К{д,г)ААя,-)]

На контуре Г (3.49) принимает вид i с д

(3.49)

Y(T) =

соец hg (т) Лт (т)

д

[Л,(т)Лг(т)] +

+ Ит ~lfhiq,c)Agiq,x)] q-Q, о q

Подставим (3.50) в (3.48), результат (-icoep.) Йд (т) Я (т) и проинтегрируем по т:

(3.50) умножим на

hg (т) Лг (т)-hg (То) Лг(то) + ] lim [Лх (9. г ) Ад (q, )] d g +

X. в-вс д q

:Н- i (ЙЕН Y (То) /л, (I) Лх il)dl =

г

= -i(oefi J Л,(О (О dt J Лх (g) £? (Ю d g-

-f lhg{()h,{t)dt /Лх() Лx(g)dg.

(351)

После несложных преобразований из (3.51) получаем А, (х)Аг (т) + f ( ft Ах (1) и (X)-/ (I)] К (S) +

+ lim [Л, ( 7, g) Л, ( 7,1)1 ] d S = / (т) + Q + С, У (т).

а<т<р; а<то<р, (3.52)

где

J(.r) = hg(t)hx{t)dt; (3.53)

/ (г) = -i соец f W Ш fh (О £х (О dt, (3.54)

а С| и Сг - некоторые постоянные, зависящие от выбора координаты то: С1 = йд(то)Лт;(то); С2=-1соецФ(то).

Входящие в (3.52) составляющие и Лд вычисляются по (3.6) и (3.11) соответственно. Для использования этих формул требуется определить скалярные произведения (т°, t°) и (q , t°). Легко показать, что

х , t ) = [ Хх (т) xt {t)+y (т) у; (/)7/[Лх (т)Л (OJ.

где

(х;(г)=£%11

Q=Q,

Xtif)

(3.55)

(3.56)

и т. д., формулу (3.55) можно также представить в несколько иной форме. Используя соотношения

получаем

(x°.t<) = [pi(r,0]/[Ag(t)Ax (/)],! где

Pi (т. t) = ig (т) у, (О - % (О ie (т). (3.57)

Аналогично можно показать, что

(qo, t )=[t/,{q,x)xt (0-х;{q,Г)(0]/[A,{q,x)h,(fi]. Рассмотрим входящую в (3.52) функцию

lim А [Л, {q, g) Л, ((/. ?)] = f / (О lira- Q (я, l,t)dt.

q~q dq 4 q~q,dq

Формулы (-3.56) верны пр:ч услов;и:и, что орты q%- т®, z образутот правую тройку векторов z =[q, т*].

где

С (9. t) = Лх (g. I) [ft L ((/. 1.1)] Ы (0 (q°. f) =

= НЧ [ft L {q, I, t)] [y\ {q, g) i\ (f)-x\ {q. ) y\ {t)]. После очевидных преобразований имеем

lim <3 (9.1. О = [ft L (q , 01 p2 (i. 0 + Я<=> [k L {q E. /)] X qq, д q

dxjq.x)

и т. д.,

c=E; <7=<7,

X [; (i) ; (0 -Kqii) yt m Kq © = P2 (5.0([j X (01 i ()+Cy il) -y (01 9 m X

i (90. S.o

xii])y.{t)-Kil)xtit)]. (3.58)

С учетом полученных выражений и (3.6) соотношение (3.52) при-

нимает вид

\ i{t)K{x,f)dt = f{x) + C, + CJ(x),ax, 4 X,

(3.5Ч)

где

(т. О = Pi (т. О [А (9о. -t. 01 + I (Р2 (i. О Я<2> [k L (Qo, I, t)] +

+ Рз(т. М)Я<г)[*1(%,т.)]);

рзi-.Ul) = kHJ(т)-/(g)] [i; (I) i; (0 + m (?) y; (01 +

+ [*т ();(0-л^ ч()т(0].

a функции i/(t), J{x), pi{x, t) и p2(, 0 определяются из (3.54), (3.53), (3.57) и (3.58) соответственно. Неизвестные постоянные Ci

tH Ci, как обычно, должны быть найдены в процессе решения (3 59) из условий /(а)=/(Р)=0.

Отметим, что возможен случай, когда из каких-либо соображений (например, из симметрии задачи) следует существование тайкой точки т=т', в которой Лх(т')=0. В этом случае целесообраз-Ано положить то=т', после чего (3.59) будет содержать лишь одну 1 неизвестную постоянную.

Описанная методика легко обобщается на случай конечного числа кусочно-гладких цилиндрических поверхностей.

3.4. Интегро-дифференциальные уравнения)

В предыдущих параграфах задача дифракции была сведена к чисто интегральным уравнениям Фредгольма первого рода, что весьма удобно с точки зрения реализации единообразных вычисли-

* Параграф 3.4 нашксан совместно с А. Г. Давыдовым.