Можно использовать разделение переменных, чтобы получить величину г|) в зависимости от г, 9 н ф, где 9 - полярный угол,

я) = й(г)в(е)Ф(ф). (16.22)

Подставляя (16.22) в (16.21), получаем три независимых уравнения

(16.23)

-1 й^Ф 2

Ф йфЗ

Ti(--f) + l?(e+f)--(+b eiThri(- el)-(+i)-, ( .25)

где тпг ж I - константы, появляюп],иеся при разделении переменных, которые определяются следующим образом:

т,==0,±1±2, . . . ,±г; г=0,1,2, . . . , и-1; и=1,2, . . оо.

Решение уравнения (16.23) используют в следующем виде:

Ф = А ехр (im,9). (16.26)

Уравнение (16.24) решается относительно R в полиномах Лагерра, которые содержат произвольную константу и, а уравнение (16.25) решается относительно G в полиномах Лежандра. Следовательно, решение относительно г)) зависит от трех констант и, I \л гпг, каждая из которых принимает дискретные значения. Эти константы называются квантовыми числами; они определяют возможные дискретные формы функции г|). Константа п называется главным квантовым числом, I - азимутальным, или орбитальным моментно-угловым, квантовым числом, а mi - магнитным квантовым числом.

Если известны радиусы, для которых волновая функция имеет наибольшее ожидаемое значение, то они должны соответствовать орбитам с наибольшей вероятностью заселения их электронами. Эти радиусы определяются с помощью обычных приемов пространственного осредненпя

По всему пространству

М% dV

J nrVudV, (16.27)

По всему пространству

По всему пространству

где знаменатель принят равным единице, так как величина я) нормирована как функция плотности вероятности. По завершении интегрирования радиусы, соответствующие различным целым значениям п, будут в точности равны предсказываемым теорией

16.4. ИНДУЦИРОВАННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ

И ПЛАНКОВСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Понятие индуцированного излучения было введено в разд. 13.5.5. Было отмечено, что измерение ослабления луча, прошедшего через среду, не дает ясной информации относительно индуцированного излучения. Это объясняется тем, что физически индуцированное излучение объединяется с истинным поглощением, вследствие чего возникает эффективное поглощение, которое меньше истинного поглощения. По измерению ослабления излучения истинное поглощение и индуцированное излучение не могут быть разделены. Однако Эйнштейн [1, 2] показал, что индуцированное излучение долншо существовать. Приведем теперь относительно простые рассуждения Эйнштейна, в которых используется индуцированное излучение при выводе соотношения Планка для спектрального распределения излучения, испускаемого черным телом. Хотя статистическая механика здесь не рассматривается, без Учета индуцированного излучения обычные законы статистической механики также нарушаются.

Бора [уравнение (16.5)]. Отметим еще раз, что дискретные значения г вводятся в уравнение Шредингера математическим путем, а не в виде предположения, как в теории Бора.

Каждое лпнейно независимое решение относительно функции 1з определяет квантовое состояние электрона. Установлено, что энергия электрона в атоме водорода не зависит от квантовых чисел I и mi. Следовательно, имеется большое число квантовых состояний, соответствующих различным I и mi, которые пмеют одинаковую энергию. Такие состояния называются вырожденными. Сргашруя состояния, соответствующие данной величине энергии, можно найти, что существует 2п^ вырожденных состояний, соответствующих уровню энергии Е^. (В действительности из приведенных здесь рассуждений следует п^ вырожденных состояний; при учете электронного спина появляется множитель 2.)

В статистической механике предполагается, что каждое квантовое состояние в атоме равновероятно. Поскольку данному уровню энергии Еп соответствует 2п^ квартовых состояний, то число 2дг- называется статистическим весом или мулътиплетностъю уровней энергии Е^ в атоме водорода. Другие атомы имеют другие статистические веса. Зная статистический вес, можно определить общее число переходов, происходящих между двумя энергетическими уровнями в единицу времени, в виде произведения средней скорости переходов для всех состояний на этом уровне на статистический вес. Подробное рассмотрение каждого вырожденного состояния нецелесообразно.

Рассмотрим связанно-связанные переходы в поглощающей среде, подвергаемой воздействию падающего излучения со спектральной интенсивностью iq. Для простоты считаем, что среда состоит из атомов, не взаимодействующих между собой. Примем также, что среда заключена внутри черной оболочкп с постоянной температурой - это условие равновесного излучения (разд. 2.3.2). Атом в среде может поглотить энергию падающего излучения и вследствие этого совершить переход из энергетического состояния i в состояние /. Следовательно, состояние / будет располагать большей энергией, чем состояние i, пли, другими словами, состояние / является возбужденным по отношению к i. Число переходов в единицу времени от ik j зависит от интенсивности падающего излучения и заселенности состояния!. Пусть и,- число атомов в единице объема в состоянии I. Введем теперь коэффициент Эйни1тейна/? j который определяется как вероятность перехода в единицу времени в единице объема из состояния i в состояние / в результате воздействия падающего потока излучения в единице телесного угла и является лишь функцией рассматриваемой совокупности aтoмoв^). Таким образом, с учетом потока излучения, падающего со всех направлений, число переходов в единицу времени будет равно

(16.28)

и=4л

Так как коэффициенты Эйнштейна зависят то.тько от состояний i 11 ] определенной совокупности атомов, они выносятся из-под знака интеграла по телесному углу.

Число переходов из возбужденного состояния / к иача.ть-ному состоянию i зависит от двух факторов. Этими факторами являются спонтанное излучение, зависящее от заселенности и^ в возбужденном состоянии, и индуцированное излучение, зависящее от заселенности Uj и интенсивности поля излучения. Итак, введем Aji как вероятность переходов путем спонтанного излучения в единице телесного угла и будем'считать Bji вероятностью переходов при индуцированном излучении. Тогда число переходов от состояния / к состоянию i будет равно

(),. = AnnjAji + njBji J ihdui. (16.29)

(о=4л

Так как для Совокупности случайно ориентированных излучающих атомов, находящихся в состоянии равновесия, спонтанное

) В других работах в определение включаются или исключаются различные множители (2 и л). Иногда число переходов записывается пропорционально] объемной плотности спектральной энергии (1/с) j ia du).

а не интенсивности излучения.

£0=4 л

излучение в среднем, изотропно, го ЫАл является вероятностью перехода от состояния / к состоянию i путем спонтанного излучения энергии по всем направлениям.

Для совокупности атомов, находящихся в состоянии равновесия, справедлив принцип детального равновесия [3]. Этот принцип состоит в том, что в равновесном состоянии скорости прямого и обратного переходов между любыми двумя состояниями должны быть равны, если учтены все процессы перехода. Следовательно, величины dn/dt из уравнений (16.28) и (16.29) равны, т. е.

Eij-rii j ibbdti) = AnnjAji + njBji j iQbda, (16.30)

(0=4л

(о=4я

причем в условиях равновесия в предполагаемой изотермической абсолютно черной оболочке интенсивность излучения равна интенсивности излучения абсолютно черного тела tbb- При равновесном излучении черного тела интенсивность падающего потока также пзотропна, поэтому

j iQhdti) = Aniab.

(о=4л

Решая уравнение (16.30) относительно tbb, получим

iQb =

(16.31)

77= ехр

В условиях теплового равновесия заселенности энергетических уровней связаны между собой в соответствии с распределением Больцмана [3]. Если Ei и Ej - энергетические состояния, то, согласно распределению Больцмана,

-J, (16.32)

где к - постоянная Больцмана. С учетом сказанного в разд. 13.3 и уравнения (16.8) разность энергий Ej - Ei равна энергии фотона, которая либо поглощается, либо излучается и в соответствии с этим происходит переход от Ei к Ej или обратно. Тогда с учетом угловой частоты получим

Ej-Ei = hQij, (16.33)

а уравнение (16.32) будет иметь вид

(16.34)

Если (16.34) применяется к совокупности атомов, то для учета всех выронсденных состояний на кансдом энергетическом уровне нужно также использовать величину статистического веса, рассмотренного в конце разд. 16.3.2.

(16.35)

Спектральная интенсивность излучения черного тела но Планку определяется соотновтением (2.116) в виде

2Civ3

1\-Ь =

С учетом Ci = hcl, = hco/k, /i = 2яЙ и v = Йг/2л

(16.36)

Уравнение (16.35) имеет тот же самый вид, что и (16.36), поэтому, приравнивая величины ibb, получим соотношение между коэффициентами Эйнштейна

BijBjt, (16.37)

2711

(16.38)

(Отметим, что вырожденные состояния в этих соотношениях не учитывались.)

Хотя ко времени вывода этих соотношений индуцированное излучение не было обнаружено экспериментальным путем, проведенный анализ, включающий уравнения (16.28)-(16.38), убедительно показывает, что оно существует. Если отбросить член, учитывающий индуцированное излучение в уравнении (16.29), а затем провести анализ в том же порядке, то, согласно выводу Эйнштейна, окончательное уравнение будет иметь вид]

Bij е

(16.39)

Чтобы уравнение (16.39) согласовывалось с распределением Планка, отношение коэффициентов Эйнштейна с учетом (16.36) и (16.34) должно быть равно

hQ.f/hT

2пЧ1 щ - nj

или

в,

(16.40)

Согласно этому соотношению, Aji зависит от заселенностей П; и rij в состояниях i и /. Поскольку вероятности переходов Aji и

Bij ДЛЯ определенной совокупности атомов зависят только от состояний i и /, а не от заселенности этих состояний, уравнение (16.40) не может быть справедливым.

Предположим, что соответствующим образом определенные коэффициенты Эйнштейна [уравнения (16.37) и (16.38)] подставлены в уравнение (16.39), в котором отброшен член, учитывающий индуцированное излучение. Покажем, какое отклонение от планковского распределения можно ожидать вследствие пренебрежения индуцированным излучением. После подстановки получим

lQb =

(16.41)

Но ведь это [см. уравнение (2.13)] - распределение Вина! Сопоставляя спектральные распределения по Планку и Вину (фиг. 2.7), можно судить о влиянии индуцированного излучения на спектральное распределение энергии. Вследствие пренебрежения индуцированным излучением кривая, соответствующая распределению Вина, расположена несколько ниже кривой, соответствующей планковскому распределению. Видно, что пренебрежение индуцированным излучением приводит к небольшим погрешностям в большинстве практических случаев.

Отметим, что этот и, конечно, любой другой вывод планковского раснределения интенсивности излучения черного тела зависят от предположения о термодинамическом равновесии. Можно видеть также, что планковское распределение не согласуется с ранее высказанными аргументами, если не постулировать существование индуцированного излучения.

16.5. УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА

Уравнение переноса было выведено в разд. 14.3. Теперь рассмотрим его с микроскопической точки зрения с использованием понятий предыдущего раздела. Иучок лучей с интенсивностью ia проходит через газ вдоль пути .S . Пусть атомы (или молекулы) Газа находятся в одном из двух энергетических состояний i или /, причем / - возбужденное состояние относительно i, так что tj > Ei. Объемные концентрации атомов в этих состояниях равны г и Hj соответственно. Иа отрезке пути dS изменение интенсив-аости определяется потерями или приращениями энергии на этом отрезке. Если пренебречь рассеянием, то потери или прира-Щения обусловлены снонтанным излучением, поглощением и индуцированным излучением. Применяя фотонную модель, рассмотренную в разд. 14.7, и принимая во внимание только переходы Между двумя уровнями энергии, получим приращение интенсив-

Если (16.34) подставить в (16.31), то получим