Главная  Теории теплообмена излучением 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 [ 93 ] 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156

(4 Sl)--£-3--0 -1-2, 3. (15.112)

Как указывал Ченг [23], выражение (15.111) эквивалентно допущению, что давление излучения изотропно, а это в свою очередь эквивалентно допущению о радиационном равновесии в газе.

Описанный вкратце вывод, основанный на использовании уравнений моментов, можно представить в более строгой математической форме с помощью метода сферических гармоник, как это сделано в [24]. Этот метод требует существенно более сложных алгебраических преобразований, но в результате получаются те же соотношения, что и в данной работе.

Интересно отметить, что при а' i уравнение (15.112) преобразуется к (15.37), полученному в приближении диффузии излучения. При а < 1 (15.112) преобразуется к виду

2if = 4aa74 + c, (15.113)

где С - постоянная интегрирования. Как указывал Сесс [25], соотношение (15.113) справедливо только для оптически тонкого газа в некоторых частных случаях.

Граничные условия. Рассмотрим серую границу А которая расположена перпендикулярно Xj (фиг. 15.10, б). Плотность потока излучения, покидающего Aj ъ наиравлении положительных значений Xj, равна

go, = Oori + (i-€,-)gi, (15.114)

где qo ш qt - плотности потоков эффективного и падающего излучений. Однако дг J- равна плотности потока излучения в газе вблизи стенки, распространяющегося в отрицательном наиравлении (фиг. 15.10, б).

Плотность потока результирующего излучения в газе в наиравлении положительных значений х равна qj = qj, + - qj, , поэтому g, j = = -qj (Xj -> 0) -f qj, + {Xj -> 0). Заметим что g, + (Xj -> 0) равна плотности потока эффективного излучения на стенке до, j, следовательно,

4i.i= -<lj{Xj-0) + qoj.

Подставляя это соотношение в (15.114), получим граничное условие

9о, i = €/оП + (1 - €Л [ - -> 0) + 9о -]. .(15.115)

Плотность потока эффективного излучения можно выразить также через интенсивность излучения, исходящего из Aj,

?o,j-= j Ijijdo),

(15.116)


где Ij - косинус угла между ij и направлением Xj.

Подставляя (15.106) и (15.107) в (15.105) и ограничив ряд, как это делалось выше, получим общее выражение для интенсивности излучения. Для определения Af (г) воспользуемся уравнениями моментов и после ряда довольно сложных преобразований получим следующее выражение д.ля i (г, s):

i (г> = [Г (г) + Зд, sin 9 sin р 4- 3gi cos р + Sq cos 9 sin p].

(15.117)

Рассмотрим частный случай, когда граничная поверхность перпендикулярна направлению Xj. Тогда, подставляя (15.117) в (15.116), получим уравнение

2я я/2

1 J [ (r) + 3g3sin9sinp-f 3giCosp +

ало п

е=о р=о

которое преобразуется к виду

г'(0, (.2.J 0)

- Зда cos 9 sin p] j о cos р sin р dp d9,

?o,i = -

?i {Щ -V 0)

(15.118)

где gi {xi -> 0) - плотность потока ре;зультирующего излучения в газе вблизи стенки в наиравлении х^. Величину i можно исключить с помощью (15.102), а i<i> - с помощью (15.110). В результате получаем

..-{ -iSlf+f)

Рассматривая совместно (15.119) и (15.115) при / = 1, чтобы исключить до,и получим граничное условие в виде

(15.119)

(15.120)

Уравнения (15.112) и (15.120) представляют собой уравнение переноса излучения и граничное условие, записанные в рамках дифференциального приближения. Стоун и Гаустэд [26] приводят уравнение для несерых газов с характерным для астрофизики

нения переноса излучения

д



Таблица 15.3

Расчетные соотношения для потока результирующего излучения и распределения температуры в сером газе между серыми поверхностями, полученные с помощью дифференциального приближения

Геометрическая конфигурация

Соотношения!

Бесконечные параллельные пластины


Бесконечные концентрические цилиндры


Концентрические сферы


г|5 =

l+£i

ф(2) =

(3aZ>/4)-]-£i-b£;2 + l

(Z) .) + £2 + ;

1 -Ь El

3 aDl J

1 + Ei

1 Обозначения: % = d - ejNyEluN- = QllwAi< Cl - 2)1, Ф ()

граничным условием, когда поток излучения, падающий на одну границу, равен нулю.

Применение дифференциального приближения. Рассмотрим параллельные бесконечные серые пластины (фиг. 15.5), расположенные на расстоянии D. Степени черноты пластин и юг а температуры и Г^г- Пространство между пластинами заполнено серым газом. Поскольку плотность потока излучения, распространяющегося в газе, не зависит от ж и г/ и постоянна вдоль


4 5 аСОнаружн

6 7 0вН1)тр)/2

Фиг. 15.11. Сравнение различных решений для случая переноса пзлучения между бесконечными концентрическими черными цилиндрами, пространство между которыми заполнено серым газом.

Решения: - точное [34];---приближение диффузии излучения; - - дифференциальное приближение, ф - безразмерная плотность потока i излучения; (наружи - °Енутр'/2 - оптическая толщина.

ОСИ Z, из условия сохранения энергии все dqj/dxj равны нулю. В этом случае уравнение (15.112) преобразуется к виду

Граничное условие при z = О после преобразования (15.120) принимает вид

(1Г~т)? = -П20)], (15.122)

где индекс g при температуре означает, что она относится к газу. При Z == /)

-(--у)дг = 0[П,-П(2-5)]- (15.123)

Знак минус здесь появился в связи с тем, что направление нормалп от поверхности к газу соответствует отрицательному направлению Z. Эти же уравнения были получены в разд. 15.4.3 для случая параллельных пластин в нриближении диффузии излучения. В табл. 15.3 приведены также соотношения для концентрических



цилиндров и сфер, полученные в рамках дифференциального приближения. Сравнение их с соответствующими соотношениями табл. 15.2, полученными в приближении диффузии излучения с граничньпш условиями со скольжением второго порядка, показывает, что они отличаются лишь постоянными коэффициентами, которые в большинстве случаев слабо влияют на окончательные результаты. На фиг. 15.11 результаты расчетов с помощью рассмотренных двух методов сравниваются с точным решением, полученным численным методом [34] для случая черных концентрических цилиндров. В некоторых областях лучшее соответствие обеспечивается с помощью приближения диффузии излучения, а в других - с помощью дифференциального приближеппя.

15.7. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Настоящая глава содержит краткий обзор наиболее важных из многочисленных приближенных методов, используемых при решенпп уравнения переноса излучения. Приближения прозрачной, излучающей и холодной сред применимы лишь в некоторых простых случаях; решение в приближении диффузии излучения с граничными условиями со скольжением является достаточно простым и точным в тех случаях, когда удовлетворяются соответствующие ограничения. Астрофизические приближения для одномерного слоя представляют интерес главным образом с исторической точки зрения, хотя в некоторых случаях они еще используются. Соотношения, полученные па основе дифференциального приближения, находят все более широкое применение вследствие их простоты и точности. Часто применяется уравнение для серого газа с использованием средних коэффициентов поглощения, но в некоторых случаях это приводит к большим ошибкам.

Литература

1. Дейслер Р. Г., Аппроксимация теплоизлучения в газах с рассеянием со скачкообразными граничными условиями. Труды амер. о-ва инж.-мех., сер. С, Теплопередача, 2, 131 (1964).

2. Rosseland S., Theoretical Astrophysics; Atomic Theory and the Analysis of .Stellar Atmospheres and Envelopes, Clarendon Press, Oxford, 1936.

3. Howell J. R., Radiative Interactions between Absorbing-Emitting and Flowing Media with Internal Energy Generation, NASA TN D-3614, 1966.

4. Heaslet M. A., Warming R. F., Radiative Transport and Wall Temperature Slip in an Absorbing Planar Medium, Int. J. Heat Mass Transfer, 8, № 7, 979-994 (1965).

5. Howell J. R., On the Radiation Slip between Absorbing-Emitting Regions with Heat Sources, Int. J. Heat Mass Transfer, 10, № 3, 401-402 (1967).

6. Howell J. R., Perlmutter M., Monte Carlo Solution of Radiant Heat Transfer in a Nongrey Nonisothermal Gas with Temperature Dependent Properties, AIChE. J., 10, K . 4, 562-567 (1964).

12 13 14,

17. 18.

28. 29. 30.

. Patch R. W., Effective Absorption Coefficients for Radiant Energy Transport in Nongrey, Nonscattering Gases, /. Quant. Spectry. Radiative Transfer, 7, № 4, 611-637 (1967).

. Patch R. W., Approximation for Radiant Energy Transport in Nongray, Nonscattering Gases, NASA TN D-401, 1967.

. Sampson D.H., Choice of;anAppropriate>Iean AbsorptionCoefficient lor Use in the General Grey Gas Equations, J.Quant. Spectry. Radiative Transfer, 5, № 1, 211-225 (1965). v f и j ,

. Абу-Ромиа M. M., Тьен К. Л., Средние коэффициенты поглощения инфракрасного излучения газов, Труды амер. о-ва инж.-мех., cev. С, Теплопередача, № 4, 46 (1967).

. Grant I. Р., On the Representation of Frequency Dependence in Non-Grey Radiative Transfer, /. Quant. Spectni. Radiative Transfer, 5, № 1, 227 - 243 (1965).

. Stewart J. C, Non-Grey Radiative Transfer, /. Quant. Spectry. Radiative Transfer, 4, № 5, 723-729 (1964).

Томас M., Ригдон У. С, Упрощенная постановка задачи лучистого переноса. Ракетная техника и космонавтика, № 11, 227 (1964). Lick W., Energy Transfer by Radiation and Conduction, Proc. 1963 Heat Transfer Fluid Mech. Inst. (A. Roshko, B. Sturtevant, D. R. Bartz, eds.). 14-26, 1963.

Howe J. Т., Sheaffer Y. S., Spectral Radiative Transfer Appro.ximations for Multicomponent Gas Mixtures, /. Quant. Spectry. Radiative Transfer, 7. № 4, 695-701 Г1967).

Kourganoff v., Basic Methods in Transfer Problems: Radiative Equilibrium and Neutron Diffusion, Dover Publications, Inc., New York, 1963. Чандрасекар С, Перенос лучистой энергии, ИЛ, М., 1953. Schuster А., Radiation through а Foggy Atmosphere, Astronhys. /.,21, 1-22 (1905). P У , ,

Schwarzschild К., Equilibrium of the Suns Atmosphere, Ges. Wiss. Gottin-gen, Nachr., Math.-Phys. Klasse, I, 41-53 (1906).

Krook M., On the Solution of Equations of Transfer. I., Astrophys., J., 122, № 3, 488-497 (1955).

Eddington A. S., The Internal Constitution of the Stars, Dover Publications, Inc., New York, 1959.

Milne E. A., Thermodynamics of the Star.s, Handbuch der Astrophysik,

vol. 3, 65-255, Springer-Verlag, OHG, Berlin, 1930.

Ченг П., Исследование плоского излучающего газа с помощью метода

моментов. Ракетная техника и космонавтика, № 9, 182 (1964).

Ченг П., Динамика излучающего газа. Течение на волнистой стенке,

Ракетная техника и космонавтика, Л 2, 62 (1966).

Cess R. D., On the Differential Approximation in Radiative Transfer, Z. Angew. Math. Phys., 17, 776-781 (1966).

Stone P. H., Gaustad J. E., The Application of a Moment Method to the Solution of Non-gray Radiative-transfer Problems, Astrophys. J., 134, J\5 2, 456-468 (1961). 1 У ,

Traugott S. C, A Differential Approximation for Radiative Transfer with Application to Normal Shock Structure, Proc. 1963 Heat Transfer Fluid Mech. Inst. (A. Roshko. B. Sturtevant, D. R., Bartz, eds.), 1-13, 1963. Adrianov V. N., Polyak G. L., Differential Methods for Studying Radiant Heat Transfer, Int. J. Heat Mass Transfer, 6, № 5, 355 - 362 (1963). Traugott S. C, Wang K. C, On Differential Methods for Radiant Heat transfer, Int. J., Heat Mass Transfer, 7, № 2, 269-273 (1964). Денпер Э. A., Спбалкин M., Оценка дифференциального приближения для лучистого переноса при сферической симметрии. Труды амер. о-ва инж.-.мех., сер. С, Теплопередача, Л 1, 66 (1969).

Finkleman D., Generalized Differential Approximations in One-dimensional Radiative Transfer, paper 69-WA/HT-45, A.SME, November 1969.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 [ 93 ] 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156

© ООО "Карат-Авто", 2001 – 2018
Разработчик – Евгений Андрианов