(4 Sl)--£-3--0 -1-2, 3. (15.112)

Как указывал Ченг [23], выражение (15.111) эквивалентно допущению, что давление излучения изотропно, а это в свою очередь эквивалентно допущению о радиационном равновесии в газе.

Описанный вкратце вывод, основанный на использовании уравнений моментов, можно представить в более строгой математической форме с помощью метода сферических гармоник, как это сделано в [24]. Этот метод требует существенно более сложных алгебраических преобразований, но в результате получаются те же соотношения, что и в данной работе.

Интересно отметить, что при а' i уравнение (15.112) преобразуется к (15.37), полученному в приближении диффузии излучения. При а < 1 (15.112) преобразуется к виду

2if = 4aa74 + c, (15.113)

где С - постоянная интегрирования. Как указывал Сесс [25], соотношение (15.113) справедливо только для оптически тонкого газа в некоторых частных случаях.

Граничные условия. Рассмотрим серую границу А которая расположена перпендикулярно Xj (фиг. 15.10, б). Плотность потока излучения, покидающего Aj ъ наиравлении положительных значений Xj, равна

go, = Oori + (i-€,-)gi, (15.114)

где qo ш qt - плотности потоков эффективного и падающего излучений. Однако дг J- равна плотности потока излучения в газе вблизи стенки, распространяющегося в отрицательном наиравлении (фиг. 15.10, б).

Плотность потока результирующего излучения в газе в наиравлении положительных значений х равна qj = qj, + - qj, , поэтому g, j = = -qj (Xj -> 0) -f qj, + {Xj -> 0). Заметим что g, + (Xj -> 0) равна плотности потока эффективного излучения на стенке до, j, следовательно,

4i.i= -<lj{Xj-0) + qoj.

Подставляя это соотношение в (15.114), получим граничное условие

9о, i = €/оП + (1 - €Л [ - -> 0) + 9о -]. .(15.115)

Плотность потока эффективного излучения можно выразить также через интенсивность излучения, исходящего из Aj,

?o,j-= j Ijijdo),

(15.116)

где Ij - косинус угла между ij и направлением Xj.

Подставляя (15.106) и (15.107) в (15.105) и ограничив ряд, как это делалось выше, получим общее выражение для интенсивности излучения. Для определения Af (г) воспользуемся уравнениями моментов и после ряда довольно сложных преобразований получим следующее выражение д.ля i (г, s):

i (г> = [Г (г) + Зд, sin 9 sin р 4- 3gi cos р + Sq cos 9 sin p].

(15.117)

Рассмотрим частный случай, когда граничная поверхность перпендикулярна направлению Xj. Тогда, подставляя (15.117) в (15.116), получим уравнение

2я я/2

1 J [ (r) + 3g3sin9sinp-f 3giCosp +

ало п

е=о р=о

которое преобразуется к виду

г'(0, (.2.J 0)

- Зда cos 9 sin p] j о cos р sin р dp d9,

?o,i = -

?i {Щ -V 0)

(15.118)

где gi {xi -> 0) - плотность потока ре;зультирующего излучения в газе вблизи стенки в наиравлении х^. Величину i можно исключить с помощью (15.102), а i<i> - с помощью (15.110). В результате получаем

..-{ -iSlf+f)

Рассматривая совместно (15.119) и (15.115) при / = 1, чтобы исключить до,и получим граничное условие в виде

(15.119)

(15.120)

Уравнения (15.112) и (15.120) представляют собой уравнение переноса излучения и граничное условие, записанные в рамках дифференциального приближения. Стоун и Гаустэд [26] приводят уравнение для несерых газов с характерным для астрофизики

нения переноса излучения

д

Таблица 15.3

Расчетные соотношения для потока результирующего излучения и распределения температуры в сером газе между серыми поверхностями, полученные с помощью дифференциального приближения

Геометрическая конфигурация

Соотношения!

Бесконечные параллельные пластины

Бесконечные концентрические цилиндры

Концентрические сферы

г|5 =

l+£i

ф(2) =

(3aZ>/4)-]-£i-b£;2 + l

(Z) .) + £2 + ;

1 -Ь El

3 aDl J

1 + Ei

1 Обозначения: % = d - ejNyEluN- = QllwAi< Cl - 2)1, Ф ()

граничным условием, когда поток излучения, падающий на одну границу, равен нулю.

Применение дифференциального приближения. Рассмотрим параллельные бесконечные серые пластины (фиг. 15.5), расположенные на расстоянии D. Степени черноты пластин и юг а температуры и Г^г- Пространство между пластинами заполнено серым газом. Поскольку плотность потока излучения, распространяющегося в газе, не зависит от ж и г/ и постоянна вдоль

4 5 аСОнаружн

6 7 0вН1)тр)/2

Фиг. 15.11. Сравнение различных решений для случая переноса пзлучения между бесконечными концентрическими черными цилиндрами, пространство между которыми заполнено серым газом.

Решения: - точное [34];---приближение диффузии излучения; - - дифференциальное приближение, ф - безразмерная плотность потока i излучения; (наружи - °Енутр'/2 - оптическая толщина.

ОСИ Z, из условия сохранения энергии все dqj/dxj равны нулю. В этом случае уравнение (15.112) преобразуется к виду

Граничное условие при z = О после преобразования (15.120) принимает вид

(1Г~т)? = -П20)], (15.122)

где индекс g при температуре означает, что она относится к газу. При Z == /)

-(--у)дг = 0[П,-П(2-5)]- (15.123)

Знак минус здесь появился в связи с тем, что направление нормалп от поверхности к газу соответствует отрицательному направлению Z. Эти же уравнения были получены в разд. 15.4.3 для случая параллельных пластин в нриближении диффузии излучения. В табл. 15.3 приведены также соотношения для концентрических

цилиндров и сфер, полученные в рамках дифференциального приближения. Сравнение их с соответствующими соотношениями табл. 15.2, полученными в приближении диффузии излучения с граничньпш условиями со скольжением второго порядка, показывает, что они отличаются лишь постоянными коэффициентами, которые в большинстве случаев слабо влияют на окончательные результаты. На фиг. 15.11 результаты расчетов с помощью рассмотренных двух методов сравниваются с точным решением, полученным численным методом [34] для случая черных концентрических цилиндров. В некоторых областях лучшее соответствие обеспечивается с помощью приближения диффузии излучения, а в других - с помощью дифференциального приближеппя.

15.7. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Настоящая глава содержит краткий обзор наиболее важных из многочисленных приближенных методов, используемых при решенпп уравнения переноса излучения. Приближения прозрачной, излучающей и холодной сред применимы лишь в некоторых простых случаях; решение в приближении диффузии излучения с граничными условиями со скольжением является достаточно простым и точным в тех случаях, когда удовлетворяются соответствующие ограничения. Астрофизические приближения для одномерного слоя представляют интерес главным образом с исторической точки зрения, хотя в некоторых случаях они еще используются. Соотношения, полученные па основе дифференциального приближения, находят все более широкое применение вследствие их простоты и точности. Часто применяется уравнение для серого газа с использованием средних коэффициентов поглощения, но в некоторых случаях это приводит к большим ошибкам.

Литература

1. Дейслер Р. Г., Аппроксимация теплоизлучения в газах с рассеянием со скачкообразными граничными условиями. Труды амер. о-ва инж.-мех., сер. С, Теплопередача, 2, 131 (1964).

2. Rosseland S., Theoretical Astrophysics; Atomic Theory and the Analysis of .Stellar Atmospheres and Envelopes, Clarendon Press, Oxford, 1936.

3. Howell J. R., Radiative Interactions between Absorbing-Emitting and Flowing Media with Internal Energy Generation, NASA TN D-3614, 1966.

4. Heaslet M. A., Warming R. F., Radiative Transport and Wall Temperature Slip in an Absorbing Planar Medium, Int. J. Heat Mass Transfer, 8, № 7, 979-994 (1965).

5. Howell J. R., On the Radiation Slip between Absorbing-Emitting Regions with Heat Sources, Int. J. Heat Mass Transfer, 10, № 3, 401-402 (1967).

6. Howell J. R., Perlmutter M., Monte Carlo Solution of Radiant Heat Transfer in a Nongrey Nonisothermal Gas with Temperature Dependent Properties, AIChE. J., 10, K . 4, 562-567 (1964).

12 13 14,

17. 18.

28. 29. 30.

. Patch R. W., Effective Absorption Coefficients for Radiant Energy Transport in Nongrey, Nonscattering Gases, /. Quant. Spectry. Radiative Transfer, 7, № 4, 611-637 (1967).

. Patch R. W., Approximation for Radiant Energy Transport in Nongray, Nonscattering Gases, NASA TN D-401, 1967.

. Sampson D.H., Choice of;anAppropriate>Iean AbsorptionCoefficient lor Use in the General Grey Gas Equations, J.Quant. Spectry. Radiative Transfer, 5, № 1, 211-225 (1965). v f и j ,

. Абу-Ромиа M. M., Тьен К. Л., Средние коэффициенты поглощения инфракрасного излучения газов, Труды амер. о-ва инж.-мех., cev. С, Теплопередача, № 4, 46 (1967).

. Grant I. Р., On the Representation of Frequency Dependence in Non-Grey Radiative Transfer, /. Quant. Spectni. Radiative Transfer, 5, № 1, 227 - 243 (1965).

. Stewart J. C, Non-Grey Radiative Transfer, /. Quant. Spectry. Radiative Transfer, 4, № 5, 723-729 (1964).

Томас M., Ригдон У. С, Упрощенная постановка задачи лучистого переноса. Ракетная техника и космонавтика, № 11, 227 (1964). Lick W., Energy Transfer by Radiation and Conduction, Proc. 1963 Heat Transfer Fluid Mech. Inst. (A. Roshko, B. Sturtevant, D. R. Bartz, eds.). 14-26, 1963.

Howe J. Т., Sheaffer Y. S., Spectral Radiative Transfer Appro.ximations for Multicomponent Gas Mixtures, /. Quant. Spectry. Radiative Transfer, 7. № 4, 695-701 Г1967).

Kourganoff v., Basic Methods in Transfer Problems: Radiative Equilibrium and Neutron Diffusion, Dover Publications, Inc., New York, 1963. Чандрасекар С, Перенос лучистой энергии, ИЛ, М., 1953. Schuster А., Radiation through а Foggy Atmosphere, Astronhys. /.,21, 1-22 (1905). P У , ,

Schwarzschild К., Equilibrium of the Suns Atmosphere, Ges. Wiss. Gottin-gen, Nachr., Math.-Phys. Klasse, I, 41-53 (1906).

Krook M., On the Solution of Equations of Transfer. I., Astrophys., J., 122, № 3, 488-497 (1955).

Eddington A. S., The Internal Constitution of the Stars, Dover Publications, Inc., New York, 1959.

Milne E. A., Thermodynamics of the Star.s, Handbuch der Astrophysik,

vol. 3, 65-255, Springer-Verlag, OHG, Berlin, 1930.

Ченг П., Исследование плоского излучающего газа с помощью метода

моментов. Ракетная техника и космонавтика, № 9, 182 (1964).

Ченг П., Динамика излучающего газа. Течение на волнистой стенке,

Ракетная техника и космонавтика, Л 2, 62 (1966).

Cess R. D., On the Differential Approximation in Radiative Transfer, Z. Angew. Math. Phys., 17, 776-781 (1966).

Stone P. H., Gaustad J. E., The Application of a Moment Method to the Solution of Non-gray Radiative-transfer Problems, Astrophys. J., 134, J\5 2, 456-468 (1961). 1 У ,

Traugott S. C, A Differential Approximation for Radiative Transfer with Application to Normal Shock Structure, Proc. 1963 Heat Transfer Fluid Mech. Inst. (A. Roshko. B. Sturtevant, D. R., Bartz, eds.), 1-13, 1963. Adrianov V. N., Polyak G. L., Differential Methods for Studying Radiant Heat Transfer, Int. J. Heat Mass Transfer, 6, № 5, 355 - 362 (1963). Traugott S. C, Wang K. C, On Differential Methods for Radiant Heat transfer, Int. J., Heat Mass Transfer, 7, № 2, 269-273 (1964). Денпер Э. A., Спбалкин M., Оценка дифференциального приближения для лучистого переноса при сферической симметрии. Труды амер. о-ва инж.-.мех., сер. С, Теплопередача, Л 1, 66 (1969).

Finkleman D., Generalized Differential Approximations in One-dimensional Radiative Transfer, paper 69-WA/HT-45, A.SME, November 1969.