Поскольку при отсутствии внутренних источников 5 не зависит от X, расчет по уравнению (15.916) можно выполнить для люйого удобного сечения. Выбрав х = О, получим

q = nil (0)-яГ (хд) ехр (-Хд)- j аТ (х*) ехр (х-х*) dx*. (15.91в)

о

Интегральное уравнение (15.91а) для распределения температуры газа п уравнение (15.91в) д.тя плотности потока излучения аналогичны уравнениям (14.46) и (14.47), соответствующим точной постановке задачи.

Если уравнение (15.90а) продифференцировать по х, то получим

d (aTi) dy.

di+ (x) , diL (x)

Подстановка (15.88) в правую часть полученного уравненпя дает

= я [ - i; (X) -h ib (X) -f a (x) - ib (x)] = - я [i; (X) - г (X)].

Сравнивая это уравнение с (15.906), получим соотношение диффузионного тина в приб.тижении Шустера - Шварцшильда

d (аТ*) dn

1 deb а dx

Чандрасекар модифицировал этот метод, первоначально предложенный Шустером [18] и Шварцшильдом [19], разделив интенсивность на осредненные составляющие для дискретных нанрав.лений, и пазва.л его методом дискретных ординат. Было показано, что этот метод эквивалентен дифференциальному приближению, или методу моментов, который будет рассмотрен в разд. 15.6.2 [20].

I I Приближение Милна - Эддингтона. Относительно интенсивности это приближение, предложенное независимо Эддингто-ном [21] и Милном [22] равноценно приближению Шустера - Шварцшильда. Интенсивность излучения, пересекающего единичную площадку, нернендикулярную нанравлению оси х, имеет неодинаковые постоянные и не зависящие от угла величины в положительном и отрицательном направлениях х, т. е. локальное излучение в каждом из этих двух направлений можно рассматривать как изотропное (фиг. 15.9). Однако но сравнению с методо>г Шустера - Шварцшильда данное приближение де.лает-ся на один этан позже; при определении плотности потоков излучения, а не интенсивностей.

Начнем с одномерного уравнения переноса излучения (14.24). Умножим его на dco и cos р dco, чтобы получить два урав-

i£lPdffl=(ix-ixb)dco,

ах дх

£5!li 4 dco = cos р (4dco. a% ox

(15.92a) (15.926)

Это делается потому, что величина ix cos Р связана с плотностью потока пзлучения и, следовательно, уравнения (15.92) образуют теперь систему уравнений, содержащих qx- Проинтегрируем уравненпя (15.92) но всем телесным углам:

1 f о ЬКР' ) л, 1 dHx

= J iUP, x)dii>-xb, (15.93а)

1й=4я

S ,p,.)cospdco-=--l 5 cosp-idco. (15.936)

Далее делается допущение об изотропности ix в каждой полусфере. Тогда

я/2 я

1 = \ 2я sin р dp + ix, - j 2я sin р dp - Ш'хь, (15.94а)

,., Я/2

dqx

ах dXdx

= jLfL±. \ 2яcos2psinpdp-ax \ J

J 2я cos2 р sin р dp) . (15.946)

dil dx

Выполнив интегрирование, получим

(15.9.5а)

; dax 271 d / ix, + + - \ (15.956)

dX ах dx\ 3 }

Исключим далее ix,+ + ix,- пз этих двух выражений, что дает J dgx M. = S-i4- -- (15 96)

, al dX dx dX ax dx

ИЛИ

(15.97)

dX dx

.1 л

dexbiXX)

d-Kx

Для слоя серого газа без внутренних источников тепла уравнение (15.97) можно проинтегрировать но всем длинам волн, и из

условия (Pq/dx = О следует, что

deb(х)

(15.98)

Это же выражение было получено раньше в рамках приближения диффузии излучения. Здесь не будут рассматриваться граничные условия, которые следует использовать с этим соотношением. Лучше это сделать в следующем разделе, в котором описано дифференциальное приближение, являющееся обобщением приближения Милна - Эддингтона.

15.6.2. Дифференциальное приближение

С помощью дифференциального приближения интегральные уравнения переноса излучения в поглощающих и излучающих средах сводятся к дифференциальным уравнениям вследствие аппроксимации уравнения переноса конечным рядом уравиений моментов. Моменты получаются путем умножения уравнения переноса на степени косинуса угла, заключенного между осью координат и направлением интенсивности излучения. Этот метод является обобщением метода Милна - Эддингтона, так как уравнения (15.92а) и (15.926) представляют собой уравнения переноса, умноженные соответственно на (cos Р) и (cos Р). Как будет показано ниже, первые три уравнения моментов имеют определенный физический смысл. Ниже будет рассмотрен общий случай трехмерной геометрической конфигурации. Рассмотрение будет проводиться по Ченгу [23, 24]. Из других работ на зту тему следует упомянуть [20, 25-31].

На фиг. 15.10, а приведена прямоугольная система координат Изменение интенсивности в точке с радиус-вектором г вдоль наиравления S с единичным вектором s описывается уравнением переноса (14.4)

i>.{S)\.

-j = ay.{S)[iib{S)-

Примем, что коэффициент а^ постоянен, и проинтегрируем это выражение по всем длинам волн

= a[ib{S)-i (S)]. (15.99)

Следует иметь в виду, что хотя нами использовано упрощенное обозначение i (S), интенсивность зависит от координаты и угла между векторами г и s: i (г, s) (фиг. 15.10, а). В рассматриваемой системе координат уравнение (15.99) можно записать в виде

(15.100)

dS ~ dxi dS dx2 dS дхз dS

Моменты i получаются путем умножения i на Z; в соответствующей степени и интегрирования но всем телесным углам. Введем

Воображаемая п/10скость в газе вблизи стенки \.

Фиг. 15.10. Дифференциальное приближение.

а - система координат, в которой интенсивность излучения представлена в виде функции положения и угла; б - плотности потоков излучения вблизи граничной поверхности.

ДЛЯ них следующие обозначения:

i<°(r) 5 i(r, S)d(0,

(В=4я

i/ (г) J hi (г> S) do),

(В=4я

(В=4я

(15.101)

J Zr М'(г, s) dco,

(В=4я

С (г)= J lU{r,s)d(o.

1й=4я

где Ij - направляющие косинусы (фиг. 15.10, а): 1 = cos р, 1 = = cos S, 3 = cos 7. Кроме того, воспользуемся следующим соотношением:

di di dxj , di di 6x3

Момент нулевого порядка i имеет следующий физический смысл: разделив его на скорость света, мы получаем объемную плотность знергин излучения, определенную уравнением (14.56). Момент первого порядка ij представляет собой поверхностную плотность потока излучения в направлении /-й координаты, определенную уравнением (14.57). Момент второго порядка деленный на скорость света, равен тензору напряжения и давления излучения. Моменты более высоких порядков не пмеют физического смысла и образованы по аналогии с первыми тремя.

Уравнения моментов по.лучены путем умножения (15.100) на соответствующие степени It и последующего интегрирования по всем телесным углам (о. Уравнение моментов нулевого порядка есть интеграл от уравненпя (15.100). Если учесть, что it, не зависит от угла, и использовать определения i и i-, то

аг: > (г)

- = а[4я1ь (г)-! (г)].

(15.102)

Умножая (15.100) на (Л = 1, 2, 3) и выпо.тняя последующее интегрирование, получим уравнение моментов первого порядка

S 1 г.г,

ib J Zfe do) - J hi

4я 4rt

d(i)

которое можно представить в следующем виде:

=-aJi >(r), /с = 1, 2, 3.

(15.10.3)

Аналогично можно записать уравнение моментов га-го порядка

(г),-

k = i, 2, 3.

(15.104)

При п -у оо получим бесконечное число уравнений моментов.

Следующий шаг состоит в замене их конечным числом уравнений. При проведении такого ограничения в общем случае будет получено п уравнений с п + i неизвестными. Чтобы замкнуть систему уравнений, представим неизвестное угловое распределение i в виде ряда сферических гармоник и сохраним в этом ряде конечное число членов. Вся эта процедура становится достаточно сложной и будет рассмотрена лишь вкратце. В результате получпм дифференциальное приближение в окончательном виде [уравнение (15.112)], которое представляет д.чя нас наибольший интерес.

Z=o т=~1

(15.105)

где Af- (г) - подлежащие определению коэффициенты, а

Pf (cos Р) - присоединенные сферические гармоники Лежандра [32], определяемые следующим образом:

Xsin[(Z + m + 2A-+l)p], (15.107)

где Г (Е) - гамма-функция, а (а) - символ Почхаммера (а)о = 1, =/=0,

(a)ft = a(a+l)(a-f 2) ... (а +fe-1).

Выражения (15.106) и (15.107) подставляются в (15.105), и в первом приближении полученный ряд ограничивается условием Af (г) = О при I 2. Это позволяет получить уравнение относительно i (г, 9), которое подставляется в первые три уравнения моментов

/(0)

{v)=.2n Al (г),

а^Чг)=4я*/о(г)б ,

(15.108) (15.109)

где - символ Кронекера. Эти уравнения существенно упрощаются путем использования ортогональных соотношений для сферических гармоник [33]. Кроме того, заметим, что момент i первого порядка, который описывается уравнением (14.57), является плотностью потока энергии, или для направления j

- ii (r)= J i(r, s)Zd(o = gЛг)

(15.110)

(0=4 я

Исключив Al (г) из (15.108) и (15.109), получим

6ft/<°(r) = 34Mr)- (15.111)

Подставим в это уравнение (15.102), (15.103) и (15.110), чтобы исключить i , i< и i<i соответственно. Приняв оГ* = ягь, Получим дифференциальное приближение первого порядка урав-

Представим i в виде ряда