Главная  Теории теплообмена излучением 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 [ 92 ] 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156

Поскольку при отсутствии внутренних источников 5 не зависит от X, расчет по уравнению (15.916) можно выполнить для люйого удобного сечения. Выбрав х = О, получим

q = nil (0)-яГ (хд) ехр (-Хд)- j аТ (х*) ехр (х-х*) dx*. (15.91в)

о

Интегральное уравнение (15.91а) для распределения температуры газа п уравнение (15.91в) д.тя плотности потока излучения аналогичны уравнениям (14.46) и (14.47), соответствующим точной постановке задачи.

Если уравнение (15.90а) продифференцировать по х, то получим

d (aTi) dy.

di+ (x) , diL (x)

Подстановка (15.88) в правую часть полученного уравненпя дает

= я [ - i; (X) -h ib (X) -f a (x) - ib (x)] = - я [i; (X) - г (X)].

Сравнивая это уравнение с (15.906), получим соотношение диффузионного тина в приб.тижении Шустера - Шварцшильда

d (аТ*) dn

1 deb а dx

Чандрасекар модифицировал этот метод, первоначально предложенный Шустером [18] и Шварцшильдом [19], разделив интенсивность на осредненные составляющие для дискретных нанрав.лений, и пазва.л его методом дискретных ординат. Было показано, что этот метод эквивалентен дифференциальному приближению, или методу моментов, который будет рассмотрен в разд. 15.6.2 [20].

I I Приближение Милна - Эддингтона. Относительно интенсивности это приближение, предложенное независимо Эддингто-ном [21] и Милном [22] равноценно приближению Шустера - Шварцшильда. Интенсивность излучения, пересекающего единичную площадку, нернендикулярную нанравлению оси х, имеет неодинаковые постоянные и не зависящие от угла величины в положительном и отрицательном направлениях х, т. е. локальное излучение в каждом из этих двух направлений можно рассматривать как изотропное (фиг. 15.9). Однако но сравнению с методо>г Шустера - Шварцшильда данное приближение де.лает-ся на один этан позже; при определении плотности потоков излучения, а не интенсивностей.

Начнем с одномерного уравнения переноса излучения (14.24). Умножим его на dco и cos р dco, чтобы получить два урав-

i£lPdffl=(ix-ixb)dco,

ах дх

£5!li 4 dco = cos р (4dco. a% ox

(15.92a) (15.926)

Это делается потому, что величина ix cos Р связана с плотностью потока пзлучения и, следовательно, уравнения (15.92) образуют теперь систему уравнений, содержащих qx- Проинтегрируем уравненпя (15.92) но всем телесным углам:

1 f о ЬКР' ) л, 1 dHx

= J iUP, x)dii>-xb, (15.93а)

1й=4я

S ,p,.)cospdco-=--l 5 cosp-idco. (15.936)

Далее делается допущение об изотропности ix в каждой полусфере. Тогда

я/2 я

1 = \ 2я sin р dp + ix, - j 2я sin р dp - Ш'хь, (15.94а)

,., Я/2

dqx

ах dXdx

= jLfL±. \ 2яcos2psinpdp-ax \ J

J 2я cos2 р sin р dp) . (15.946)

dil dx

Выполнив интегрирование, получим

(15.9.5а)

; dax 271 d / ix, + + - \ (15.956)

dX ах dx\ 3 }

Исключим далее ix,+ + ix,- пз этих двух выражений, что дает J dgx M. = S-i4- -- (15 96)

, al dX dx dX ax dx

ИЛИ

(15.97)

dX dx

.1 л

dexbiXX)

d-Kx

Для слоя серого газа без внутренних источников тепла уравнение (15.97) можно проинтегрировать но всем длинам волн, и из



условия (Pq/dx = О следует, что

deb(х)

(15.98)

Это же выражение было получено раньше в рамках приближения диффузии излучения. Здесь не будут рассматриваться граничные условия, которые следует использовать с этим соотношением. Лучше это сделать в следующем разделе, в котором описано дифференциальное приближение, являющееся обобщением приближения Милна - Эддингтона.

15.6.2. Дифференциальное приближение

С помощью дифференциального приближения интегральные уравнения переноса излучения в поглощающих и излучающих средах сводятся к дифференциальным уравнениям вследствие аппроксимации уравнения переноса конечным рядом уравиений моментов. Моменты получаются путем умножения уравнения переноса на степени косинуса угла, заключенного между осью координат и направлением интенсивности излучения. Этот метод является обобщением метода Милна - Эддингтона, так как уравнения (15.92а) и (15.926) представляют собой уравнения переноса, умноженные соответственно на (cos Р) и (cos Р). Как будет показано ниже, первые три уравнения моментов имеют определенный физический смысл. Ниже будет рассмотрен общий случай трехмерной геометрической конфигурации. Рассмотрение будет проводиться по Ченгу [23, 24]. Из других работ на зту тему следует упомянуть [20, 25-31].

На фиг. 15.10, а приведена прямоугольная система координат Изменение интенсивности в точке с радиус-вектором г вдоль наиравления S с единичным вектором s описывается уравнением переноса (14.4)

i>.{S)\.

-j = ay.{S)[iib{S)-

Примем, что коэффициент а^ постоянен, и проинтегрируем это выражение по всем длинам волн

= a[ib{S)-i (S)]. (15.99)

Следует иметь в виду, что хотя нами использовано упрощенное обозначение i (S), интенсивность зависит от координаты и угла между векторами г и s: i (г, s) (фиг. 15.10, а). В рассматриваемой системе координат уравнение (15.99) можно записать в виде

(15.100)

dS ~ dxi dS dx2 dS дхз dS

Моменты i получаются путем умножения i на Z; в соответствующей степени и интегрирования но всем телесным углам. Введем

Воображаемая п/10скость в газе вблизи стенки \.


Фиг. 15.10. Дифференциальное приближение.

а - система координат, в которой интенсивность излучения представлена в виде функции положения и угла; б - плотности потоков излучения вблизи граничной поверхности.

ДЛЯ них следующие обозначения:

i<°(r) 5 i(r, S)d(0,

(В=4я

i/ (г) J hi (г> S) do),

(В=4я

(В=4я

(15.101)

J Zr М'(г, s) dco,

(В=4я

С (г)= J lU{r,s)d(o.

1й=4я

где Ij - направляющие косинусы (фиг. 15.10, а): 1 = cos р, 1 = = cos S, 3 = cos 7. Кроме того, воспользуемся следующим соотношением:

di di dxj , di di 6x3



Момент нулевого порядка i имеет следующий физический смысл: разделив его на скорость света, мы получаем объемную плотность знергин излучения, определенную уравнением (14.56). Момент первого порядка ij представляет собой поверхностную плотность потока излучения в направлении /-й координаты, определенную уравнением (14.57). Момент второго порядка деленный на скорость света, равен тензору напряжения и давления излучения. Моменты более высоких порядков не пмеют физического смысла и образованы по аналогии с первыми тремя.

Уравнения моментов по.лучены путем умножения (15.100) на соответствующие степени It и последующего интегрирования по всем телесным углам (о. Уравнение моментов нулевого порядка есть интеграл от уравненпя (15.100). Если учесть, что it, не зависит от угла, и использовать определения i и i-, то

аг: > (г)

- = а[4я1ь (г)-! (г)].

(15.102)

Умножая (15.100) на (Л = 1, 2, 3) и выпо.тняя последующее интегрирование, получим уравнение моментов первого порядка

S 1 г.г,

ib J Zfe do) - J hi

4я 4rt

d(i)

которое можно представить в следующем виде:

=-aJi >(r), /с = 1, 2, 3.

(15.10.3)

Аналогично можно записать уравнение моментов га-го порядка

(г),-

k = i, 2, 3.

(15.104)

При п -у оо получим бесконечное число уравнений моментов.

Следующий шаг состоит в замене их конечным числом уравнений. При проведении такого ограничения в общем случае будет получено п уравнений с п + i неизвестными. Чтобы замкнуть систему уравнений, представим неизвестное угловое распределение i в виде ряда сферических гармоник и сохраним в этом ряде конечное число членов. Вся эта процедура становится достаточно сложной и будет рассмотрена лишь вкратце. В результате получпм дифференциальное приближение в окончательном виде [уравнение (15.112)], которое представляет д.чя нас наибольший интерес.

Z=o т=~1

(15.105)

где Af- (г) - подлежащие определению коэффициенты, а

Pf (cos Р) - присоединенные сферические гармоники Лежандра [32], определяемые следующим образом:

Xsin[(Z + m + 2A-+l)p], (15.107)

где Г (Е) - гамма-функция, а (а) - символ Почхаммера (а)о = 1, =/=0,

(a)ft = a(a+l)(a-f 2) ... (а +fe-1).

Выражения (15.106) и (15.107) подставляются в (15.105), и в первом приближении полученный ряд ограничивается условием Af (г) = О при I 2. Это позволяет получить уравнение относительно i (г, 9), которое подставляется в первые три уравнения моментов

/(0)

{v)=.2n Al (г),

а^Чг)=4я*/о(г)б ,

(15.108) (15.109)

где - символ Кронекера. Эти уравнения существенно упрощаются путем использования ортогональных соотношений для сферических гармоник [33]. Кроме того, заметим, что момент i первого порядка, который описывается уравнением (14.57), является плотностью потока энергии, или для направления j

- ii (r)= J i(r, s)Zd(o = gЛг)

(15.110)

(0=4 я

Исключив Al (г) из (15.108) и (15.109), получим

6ft/<°(r) = 34Mr)- (15.111)

Подставим в это уравнение (15.102), (15.103) и (15.110), чтобы исключить i , i< и i<i соответственно. Приняв оГ* = ягь, Получим дифференциальное приближение первого порядка урав-

Представим i в виде ряда



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 [ 92 ] 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156

© ООО "Карат-Авто", 2001 – 2018
Разработчик – Евгений Андрианов