записать следующим образом:

1 ах [К Т, Р) ix, {X, Т) dk

at {Т, Р) =

= ар{Т,Р). (15.81)

lix,{k, Т) dk

В этом частном случае = ар.

На первый взгляд кажется, что росселандово среднее, как оно определено в (15.80), определяется совершенно иным образом по сравнению с ар и а;, в которых в качестве весовой функции выступает спектральное распределение плотности потока излучения или интенсивности. Однако запишем (15.37) для случая одномерной диффузии излучения

dqx,z 4 dexb {к, Т) 4 I дехь dT , дехь dk

Зая, V ат dz

дк dz

-) . (15.82)

Производная dXidz равна О, поскольку % -а z являются независимыми переменными. Поэтому в случае только диффузии излучения

дехь дехь de (-Зая,/4) {dqx,zldk)

дТ деь dT dT/dz

Подставляя (15.83) в (15.80), получим

(15.83)

ап(Т,Р) = -

dqi.

(15.84)

Таким образом, росселандово среднее получено осреднением а^ с помощью локальной плотности потока м;онохроматического излучения dqx,z, используемой в качестве весовой функции в предположении, что она зависит только от локальных значений градиента плотности потока черного излучения и а^.

Для серого газа коэффициент поглощения не зависит от длины волны ах (К Т, Р) = а (Т, Р). Поэтому, как и следовало ожидать, (15.78) и (15.80) преобразуются к виду

ар {Т, Р) = а; (Г, Р) = an {Т, Р)==а {Т, Р).

Определение любого среднего коэффициента поглощения по спектральному коэффициенту поглощения обычно связано с трудоемким численным интегрированием. Тем не менее если соответствующие средние значения обеспечивают получение достаточно точных решений, то при этом можно существенно сэкономить время, необходимое для решения многих задач переноса излучения.

15.5.2. Приближенные решения уравнений переноса излучения с помощью средних коэффициентов поглощения

В этом разделе будет сделан обзор некоторых работ, в которых нри расчете переноса излучения использовались средние коэффициенты поглощения. Решение уравнений переноса существенно упрощается в тех случаях, когда известен некоторый средний коэффициент поглощения, поскольку отпадает необходимость в интегрировании по длинам волн. В противоположность этомупри отыскании точных решений для реальных газов требуется такое интегрирование, причем его нельзя выполнить заранее, а необходимо проводить для каждого частного случая. Например, поглощенная доля падающего излучения зависит от а;, полученного путем осреднения с помощью спектрального распределения падающего излучения, используемого в качестве весовой функции. Поско.льку таких распределений монхвт быть бесконечное число, а,- невозможно затабулировать заранее. Кроме того, коэффициент ах, входящий, например, в экспоненциальные члены в (15.1), не может быть удобным образом осреднен но длинам волн [возможный способ осреднения описывается формулой (15.85)].

Чтобы избежать расчета спектральных величин с последующим интегрированием по длинам волн, часто применяют некоторые приближения. Чаще всего используется допущение о том, что уравнение переноса для серого газа (14.28) можно применить к реальному газу путем подстановки соответствующего среднего коэффициента поглощения вместо а (для серого газа). В разд. 14.4.2 уже было показано, что, хотя планковское' среднее действительно можно подставить в некоторые члены уравнения баланса энергии (т. е. в те члены, которые соответствуют локальному излучению), использование этого коэффициента в членах, соответствующих поглощению и ослаблению, неправомерно, за исключением некоторых частных случаев. По, результатам анализа 40 случаев [7, 81 простая подстановка нланковского среднего в уравнения для серого газа может привести к ошибке в значении интегральной интенсивности от -43 до 881 % по сравнению со значениями, найденными путем интегрирования решений, полученных с использованием спектральных свойств. Ошибку можно уменьшить, разделив весь спектр на две или более полосы, и для каждой из них использовать свое планковское среднее.

С целью у.лучшпть точность расчетов были предложены другие Средние коэффициенты поглощения. Сэмпсон [9] пред.ложил средний коэффициент, изменяющийся от нланковского до росселан-дова нри увеличении оптической толщины вдоль данного пути. Он получил соответствие с точными решениями ряда задач в нре-

делах мнонштеля, равного двум. Абу-Ромиа н Тьен [10] использовали модифицированное росселандово среднее для оптически толстых участков спектра и планковское среднее для оптически тонких участков спектра и получили соотношение для потока энергии между граничными поверхностями. Чтобы облегчить такие расчеты, приведены росселандовы и иланковские средние коэффициенты ноглощения для углекислого газа, окиси углерода и водяного пара.

Пэтч [7, 8] ввел понятие эффективного среднего коэффициента поглощения

а, (5, Т,Р)=

I оя (Л, Т, Р) {к, Т) ехр [ - ая (Л, 7-, P)S] dV

ряь(Я. Т) ехр[-ая(Л, Т, P)S]dl

(15.85)

Значения ag (S, Т, Р) можно затабулировать в виде функции температуры и давления, как и другие средние коэффициенты ноглощения. Кроме того, зависит от длины пути S и должен быть затабулирован как функция этой дополнительной переменной. При малых S ае стремится к ар. При очень бо.льших S из-за наличия экспоненциального члена в подынтегральных выражениях ае стремится к минимальному значению а^ для рассматриваемого спектра. Смысл эффективного среднего коэффициента поглощения состоит в том, что реальный газ с известным распределением Г и Р на пути S заменяется эффективным однородным газом с коэффициентом ноглощения ag. Затем производятся расчеты с использованием а^ в уравнении переноса для серого газа. Значение а^ находится путем приравнивания aeS ири температуре Т и давлении Р в той точке, до которой измеряется S, оптической толщине реального газа в этой точке. В тех же 40 случаях [7, 8] отклонения значений интегральной интенсивности, по.лученных путем интегрирования, составляют от -25 до 28% по сравнению с отклонениями от -43 до 881 % при пспо.льзовании планковского среднего. Этот метод ценен ири проведении машинных расчетов, в которых можно эффективно использовать табулированные значения а^ {S., Т, Р).

Другие методы использования средних коэффициентов описаны в работах [11-15].

15.6. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЯ В ОБЩЕМ ВИДЕ

В разд. 15.3 было показано, что в некоторых случаях можно пренебречь одним или несколькими членами в уравнении переноса излучения. Решение таких приближенных уравнений несом-

пенно намного проще, чем решение исходного уравнения в общем виде.

В данном разделе рассмотрены некоторые аналитические методы решения уравнения переноса пзлучения, содержащего все члены. Однако нас будут интересовать лишь приближенные решения такого уравнения, которые во многих случаях могут быть получены в аналитическом виде ценою некоторой потери точности. Это позволяет выявить основные факторы, определяющие перенос излучения, а также получить результаты часто с приемлемой точностью.

15.6.1. Астрофизические приближения

Как уже упоминалось в гл. 13, большое число работ посвящено исследованию структуры звезд на основе анализа наблюдаемого излученпя. В самом начале XX в. астрофизики изучили-математические свойства уравнения переноса и использовали ряд приближений, которые полезны и по сей день. Однако эти приближения были разработаны для одномерной задачи атмосферного слоя, представлявшей наибольший интерес для астрофизики. Распространение этих решений на многомерные задачи не всегда очевидно или возможно. В настоящем разделе вкратце будут рассмотрены два таких приближения. Более подробный анализ приведен в [16, 17].

Приближение Шустера - Шварцшильда. Наиболее простое приближение построено на предположении, что для одномерной задачи интенсивность излучения в положительном и отрицательном нанравлениях изотропна, но различна но величине (фиг. 15.9).

Используя (15.17), запишем уравнение переноса излучения в каждой полусфере

cos Р di + ()

cos Р dix, - ()

Л

= iK,Ax)-iib{x), 0<р<, (15.86а) = il{x)-ixb{x), <Р<я. (15.866)

Вследствие предположения об изотропности i\ + и i, - не зависят от р. Эти уравнения можно теперь проинтегрировать по соответствующим полусферам, что даст

х) с

- \ COS р sin р dp = о

- ii.b{x) J sin р dp, (15.87a)

1 di (x)

Выполнив интегрирование, получим

1 dix . (x)

-Tx-= + () - (a:),

1 dix (x) .

2 dx =4,-{x)-lU,{x).

(15.88a) (15.886)

Уравнения (15.88) с соответствующими граничными условиями можно решить с помощью интегрирующего множителя, как это

Р= о

Фиг. 15.9. Приближение изотропного распределения интенсивности излучения в положительном и отрицательном направлениях.

делалось в разд. 14.3.2 применительно к уравнению переноса излучения. Для геометрическо!! схемы, приведенно!! на

ж

фиг. 15.5, при условии, чтох adx

о

г'х. + {г) == ix, + (0) ехр (- щ) -Ь J ixb {<) ехр {vl - Кх) dxt, (15.89а)

о

ii, - {Х'к) = il, - {XKd) ехр (х^ - Ххв) +

+ \ iibK)exp{Hx-~xt)dKt, (15.896)

где ii,+ (0) и 4,- () - спектральные интенсивности излучения на стенках, когда слой газа между параллельными пластинами.

Чтобы проиллюстрировать использование этих соотношений, рассмотрим простой случай, когда газ, заключенный между нараллельными пластинами, серый и не содержит внутренних источников тепла. Уравнения (15.89) сохраняют свой вид, но индекс X можно опустить. Дальнейший анализ такой же, как в разд. 14.6.2. С помощью (14.32) и (14.39) можно найти распреде.ление температуры и плотности потока излучения. Поскольку в данном случае i+ и i не зависят от р, то эти уравнения принимают вид

я/2 Я

оГ4 (X) = -i- [ i; (к) J 2л sin р dp -Ь Г (к) J 2л sin р dp] ,

о я/2

Я/2 Я

5 = 2л i (х) j cos р sin р dp f i (x) j cos p sin p dp .

0 .Л/2

Выполнив интегрирование, получим

оГ4(к) = [г;(х) + Г(х)], (15.90а)

q=n[i{x) - i {x)]. (15.906)

Подставим в эти уравнения выражения для i+ и il из (15.89) с учетом, что ib = оГ*/я. В результате по.лучим

оГ (X) = [ni; (0) ехр (- X) -Ь J оТ (х*) ехр (х* - х) dx* +

о

+ (Хп) ехр (X - Хд) + j oT (х*) ехр (х - х*) dx* , (15.91а)

q = Ki; (0) ехр (- X) + J of* (х*) ехр (х^ - Кх) dx* - о

- Л11 (Хд) ехр (х - Хд) - j оГ*(х*)ехр(х -x*)dx*. (15.916)

-IT- J cospsinpdp =

It я

=ii,-{x) J sin p dp -iib И Jsinpdp. - (15.876)