Главная  Теории теплообмена излучением 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 [ 90 ] 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156

Глава 15

Л

Приближенные решения уравнения переноса излучения

Кроме того, величины д^ в обеих областях должны бытъ одинаковыми, поскольку ноток излучения сохраняет неразрывность на границе раздела. Следовательно, подставляя выражения для первых производных из (15.61) в (15.60), получим

(. -.,0.-.= -(,.), ,-I [J- ( ) д.+х ( ) g;j .

(15.63)

Это выражение можно преобразовать к виду

(еь2-еы)г-г= -fe)g-g + (g-g = 0, (15.64)

который указывает на отсутствие разрыва плотности потока черного излучения в данном случае.

Рассмотрим теперь случай, когда в областях 1 и 2 имеются равномерно, распределенные объемные источники энергии мощностью Gi и Ga- В этом случае градиент плотности потока излучения в направлении z определяется соотношением

$- =-i()- (15.65)

Ясно, что теперь вторые производные от е^ но z не равны нулю. Уравнение (15.52) принимает вид

Как и ранее, выражение (15.61) должно быть справедливо в обеих областях. Вследствие неразрывности плотности потока излучения на границе раздела двух сред

Подставляя (15.65) и (15.67) в (15.66), чтобы исключить первую и вторую производные от е^, получим выражение

( .,),-, - -{ЧЛ.-. + { -I [X + J ] +

которое преобразуется к виду

З / G, G,

(. .,),.,=4( 1).

(15,68)

Отсюда видно, что ири наличии источников энергии в обеих областях плотность черного излучения имеет разрыв, за исключением случая равенства GJa и G/a.

Если вместо использования приближения диффузии излучения для данной задачи решать интегральные уравнения [5], то будет получен следующий результат:

/ ч 1 / Gj (За \

(.b.-eb2)g-g = y(--).

(15.69)

Решение, полученное в приближении диффузии излучения, дает правильную функциональную зависимость разрыва плотности потока черного излучения от а и G, но отличается от точного решения коэффициентом /3.

Решения в нриближении диффузии излучения для серых газов в случае других геометрических конфигураций. В табл. 15.2 приведена сводка решений для распределений температуры и потока результирующего излучения для простых геометрических конфигураций, когда серый газ заключен между серыми стенками (подробный анализ приведен в примере 15.5). Эти выражения получены с помощью диффузионных уравнений, но их следует применять с осторожностью, поскольку реальные газы обычно не серые и не оптически толстые во всем интервале длин волн. Согласие с точными решениями в случае цилиндрической или сферической конфигураций иногда не столь хорошее, как д.ля бесконечных параллельных нластин. Очень хорошее согласие получено для цилиндрической и сферической конфигураций во всей области возможных параметров при оптических толщинах более семи, причем это согласие улучшается с уменьшением степени черноты стенок и увеличением отношения диаметров (Г'внутр/Г'внешн)- Несколько ниже в связи с обсуждением фиг. 15.11 будет проведено сравнение точного и приближенного решений для ци.линдрической геометрии.

ПРИМЕР 15.5. Пространство между двумя диффузно-серыми сферами (фиг. 15.8) заполнено оптически плотной неподвижной средой, имеющей постоянный коэффициент ноглощения а. Рассчитать тепловой поток в промежутке между сферами 1 и 2 и распределение температуры Т (г) в газе, используя приближение диффузии излучения и граничные условия со скачком.

Из соотношения (15.37) можно получить следующее выражение для плотности результирующего теплового потока в положительном направлении г внутри серой среды с постоянным коэффициентом а:

4 deb За dr

(15.70)

Из условия сохранения энергии следует, что изменяется в зависимости от г по закону qr = QJim. Подставляя его в (15.70)



и интегрируя от i?i до i?2, получим

й2 ъ-г

Hi ej

-r(i-i)=i(b2-.M).

(15.71) (15.72)

Поверхностные плотности потока черного излучения и относятся к газу вблизи границ, а чтобы выразить их через значения плотности потока черного излучения на стенках, необходимо использовать граничные условия со скачком (15.47) и (15.48).


Фиг. 15.8. Теплообмен излучением между концентрическими сферами, пространство между которыми заполнено средой с постоянным коэффициентом

поглощения.

Эти выражения содержат вторые производные, которые нужно найти. Интегрируя (15.71) от до г, получим

.4r)-.M = (-i). (15.73)

Подставляя г = (ж^ -f- г/ + z) и дважды дифференцируя но х, получим

дЧь (г) За(?1 (a:2 + j/2z2) -Зх (x-f уЗ + г^)/

(x2 + j,2+z2)3

&2

(15.74)

Аналогичные выражения можно получить для вторых производных по г/ и Z.

В граничном условии (15.47) в качестве точки 2 удобно взять точку X = у = О, Z = R на фиг. 15.8. Тогда

д^еь (г) dyi J2

д^Ь (г) 1 L dzi jz

3aQi 1

3a(?i 1 8зг Л1-

Кроме того, ((7г)2 = QilnRl- Подставляя все эти выражения в (15.47), получим

/1 i \ Qi 3(?1 1

325 л-Г V-

Аналогично для внутренней сферической гранитды, согласно (15.48),

Слолсение (15.75) и (15.76) дает

62 - = йЬш2 - бьш! +

4jtL Uu,2 2)Щ\1 г)8а\Щ

После подстановки этого выражения в правую часть (15.72) решим полученное уравнение относительно Q, после чего можно рассчитать г|5, приведенное в табл. 15.2.

Чтобы получить распределение температуры, проинтегрируем уравнение (15.71) от R-i.o г

Суммируя результат с (15.75), чтобы исключить еь2> получим / n За(?1 /1 1 \ , / 1 1 \ <?1

Отсюда можно получить выражение ДЛЯ ф, приведенноев табл. 15.2.

15.4.4. Заключительные замечания относительно метода, основанного на приближении диффузии излучения

Приближение диффузии излучения оказа.лось весьма полезным, поскольку позволяет решать сложные задачи с помош,ью стандартных аналитических методов; оно может быть рекомендовано в тех случаях, когда использованные нри его выводе допущения выполняются.

Наиболее жестким яв.ляется допущение о том, что среда является оптически толстой, которое обычно ограничивает применение

35 - 0697 - - - .....



этого метода. Поскольку большинство газов пмеют полосатые спектры, в пределах этих полос возможны области, в которых газ является оптически толстым. В этом случае, если длина свободного пробега излучения в излучаюш;ей и поглощающей средах достаточно мала, допущение о том, что только локальные условия определяют монохроматический поток излучения, будет вно.лне оправданным. При других длинах волн газ часто можно считать прозрачным, и в этом случае нриближение диффузии излучения неприменимо. Таким образом, необходимо следить за тем, чтобы приближение диффузии излучения применялось только в тех областях спектра и для таких геометрических конфигураций, для которых справедливо допущение о том, что газ является оптически толстым.

Росселандов средний коэффициент поглощения не должен использоваться как критерий оптической толщины газа. Он может быть велик сам по себе, но спектральный коэффициент ноглощения, используемый при расчете Дд, в некоторых областях спектра может быть очень мал. Использование росселандова среднего в таких случаях может привести к большим ошибкам. В таких случаях необходимо выбирать спектральные интервалы, в которых коэффициент ноглощения всюду велик, и рассчитывать росселандово среднее для каждого из этих интервалов.

Хауэлл и Перлмуттер [6] использовали приближение диффузии излучения для реальных газов и сравнили ио.лученные результаты с точным решением задачи методом Монте-Карло. В общем случае соответствие оказалось не столь хорошим, как для серых газов.

15.5. ПРИБЛИЖЕНИЯ,

ОСНОВАННЫЕ НА ИСПОЛЬЗОВАНИИ СРЕДНИХ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПОГЛОЩЕНИЯ

Прежде чем продолжить обсуждение методов решения уравнения переноса излучения, необходимо сделать ряд замечаний относительно использования средних коэффициентов ноглощения, полученных в результате интегрирования по всем длинам волн. Использование средних коэффициентов поглощения позволяет отказаться от анализа монохроматического излучения с последующим интегрированием по всем длинам волн. Вопрос заключается в том, можно ли заранее установить, какой средний коэффициент ноглощения обеспечивает точное решение данной задачи. Рассмотрим подробно средние коэффициенты ноглощения, определение которых было дано ранее, и установим связь между этими коэффициентами.

ар {Т, Р) =

fax (Я, Т, Р) ехь{Х, T)dX

(15.78)

и среднего по падающему излучению коэффициента поглощения

lcix{X,T,P)li i(k)dX

а^{Т,Р)

(15.79)

В (15.39) был введен росселандов средний коэффициент поглощения, который для всего спектра имеет вид

ад (Г, Р)=.

Г дехь (Я, Т)

(15.80)

ах (Я, Т, Р) деь (Т)

Полезно рассмотреть эти раличные средние коэффициенты поглощения и их взаимосвязь.

Средний по падающему излучению коэффициент поглощения Удобно использовать только при определенных условиях, когда спектральное распределение интенсивности падающего излучения сохраняется неизменным, так что а^ можно рассчитать и затабули-ровать. Например, достаточно часто рассматривается падающее солнечное излучение, и для этого случая а; можно затабулировать. Коэффициент ai полезен при испо.льзовании приближения прозрачного газа, когда известно спектральное распределение интенсивности излучения на границах, поскольку оно сохраняется постоянным при распространении излучения в газе. Если средняя интенсивность ii пропорциональна интенсивности излучения черного тела при температуре в той точке, для которой рассчитывается а-к {К, Т, Р), т. е. ij,; с>о11ь{Т), то средний по падающему излучению коэффициент поглощения падающего пзлучения можно

15.5.1. Некоторые средние коэффициенты поглощения

До сих нор были даны определения трех основных средних коэффициентов поглощения. В (14.19) и (14.21) дано определение планковского среднего коэффициента поглощения



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 [ 90 ] 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156

© ООО "Карат-Авто", 2001 – 2018
Разработчик – Евгений Андрианов