i I

ВОЗМОЖНО появление разрыва плотности потока черного излучения на границе раздела двух таких сред. Рассмотрим элементарный объем на границе раздела сред. Нижняя область имеет коэффициент поглоп1,ения ai, а верхняя а^ч- Тогда плотность потока результирующего излучения, проходящего через этот объем в направлении Z, может быть определена с помощью (15.33) и (15.35) для сред 2 и 1:

(dqx, z)g-g {dQx,1 -{dqk,-z)2 dk dA dk

( l)n-i>

deib

n=0 v=0 5=0

<2 {

д'elЬ

u-j2 \ dzn-v dy-s dx? /2Jg-.g

Пренебрегая членами порядка выше второго, получим выражение для скачка плотности потока черного излучения:

\eib2-eibi)g-g = -

I 3laxi\ dz ai2 \ dz ji}

\ dz 2 dy 2 dx Ii

dz 2 dyi 1 dexb , 1 дЧхь

2 dyi

2 dxi

Выражение для скачка, соответствующее интервалу длин волн, можно получить интегрированием (15.52) [3].

Как будет показано на стр. 542, значение скачка е^ьг - е^ы будет ненулевым при определенных условиях.

Выводы. Получено общее уравнение диффузии монохроматического излучения [уравнения (15.36) и (15.37)1 и в полосе длин волн [уравнение (15.38)]. Получены также общие выражения для граничных условий при наличии твердой стенки для монохроматического излучения [уравнения (15.45) и (15.46)] и для полосы длин волн [уравнения (15.47) и (15.48)]. Наконец, сформулировано граничное условие для границы раздела между двумя поглощающими и излучающими средами в случае отсутствия теплопровод-ностп [уравнение (15.52)].

15.4.3. Применение решения,

полученного в приближении диффузии излучения

При использовании уравнения диффузии излучения предполагается, что оно будет применимо для всей среды, включая область, прилегающую к границе. Влияние границы учитывается граничными условиями со скачком.

При рассмотрении реального газа необходимо рассчитать три коэффициента, описываемые выражениями (15.39), (15.49) и (15.50). Однако каждый из них зависит только от локальных условий, поэтому они не могут быть затабулированы.

Неподвижный серый газ между параллельными пластинами.

Свойства большинства газов в сильной степени зависят от длины волны, и уравнение диффузии излучения необходимо решать для нескольких интерва.лов длин волн. С целью иллюстрации пет

Нижняя пластина

Фиг. 15.5. Теплообмен между бесконечными параллельными серыми пластинами, разделенными серой средой.

смысла рассматривать полное решение сложной задачи монохроматического излучения. В ряде предельных случаев, например для пламен, содержащих частицы сажи, или для высокотемпературных паров урана, можно использовать приближение серого газа. В этом случае приведенные в разд. 15.4.2 уравнения существенно упрощаются. Рассмотрим для примера серый газ между двумя бесконечными нараллельными серыми пластинами, имеющими различные температуры (фиг. 15.5).

Коэффициент поглощения серого газа не зависит от длины волны. Тогда пределы интегрирования в (15.39), (15.49) и (15.50) могут быть взяты от О до оо. Обозначим ах через а и вынесем

его за знак интеграла. В результате получим

1 J J ац~ аг)~ а

и

или

ехь J дЧь

О

Уравнение (15.38) преобразуется к виду

= 0.

(15.53)

4 deb

За dz

Поскольку в газе нет источников или стоков тепла, поток qz постоянен для рассматриваемой геометрии и полученное уравнение можно проинтегрировать. Сделав дополнительное предположение, что а не зависит от температуры и, следовательно, от z, получим в результате интегрирования от О до z

(15.54)

/ ч За eb(z) -еы=--T-qzZ

При z = Z)

еы ~ еы 4z

4 ЪаО

(15.55)

Значения и относятся к газу вблизи стенок. Чтобы связать эти неизвестные величины с заданными условиями на стенках, необходимо использовать граничные условия со скачком. Двойное дифференцирование (15.54) но z показывает, что содержащие вторые производные члены в уравнениях (15.47) и (15.48) равны нулю. Эти уравнения преобразуются к виду

- (15.56)

еЬ2 - еыу2 4z

6u)2 1

(15.57)

Чтобы исключить неизвестные величины е^х и е^з, сложим (15.56) и (15.57):

Qz Qz €ш1 €ш2

Подставив затем - из (15.55), получим

bwl - еыи2 t 1

-1 +

(15.58)

ebwl- ebw2

(15.59)

Это выражение определяет плотность потока излучения через слой серого газа как функцию произведения коэффициента поглощения газа, расстояния между пластинами (т. е. оптической толщины) и степени черноты пластин. Она отнесена к разности плотностей потоков черного излучения, которая определяет максимально

Фиг. 15.6. Сравнение решения, полученного в приближении диффузии излучения, с точным решением для плотности потока результирующего излученпя

в сером газе между параллельными серыми пластинами. - точное решение [4];----уравнение (15.59). 92(ej ,j - е^,) - безразмерная плотность потока результирующего излучения; Ид = ад - оптическая толщина.

ВОЗМОЖНЫЙ перенос тепла между черными пластинами, разделенными прозрачной средой. На фиг. 15.6 данное решение сравнивается с точным аналитическим решением интегральных уравнений для той же самой задачи 4] при одинаковых степенях черноты стенок. Получено очень хорошее соответствие для всех оптических толщин рассматриваемой системы.

Используя выражение (15.54), можно найти распределение поверхностной плотности потока черного излучения еь{г), если исключить неизвестную величину с помощью (15.57). Результаты приведены в табл. 15.2.

Разрыв поверхностной плотности потока черного излучения на границе раздела двух газов. Рассмотрим две прилегающие друг к другу полубесконечные области газа (фиг. 15.7). Определим величину разрыва штотности потока черного излучения, если он

Таблица 15.2

Расчетные соотношения для потока peзyльтиpyюнeгo излучения н распределения температуры в сером газе между серыми поверхностями, полученные с помощью приближения диффузии излучения

Геометрическая конфигурация

Соотношения 1)

Бесконечные параллельные пластины

Бесконечные концентрические цилиндры

Концентрические сферы

1-hl

ф(2) =

(3aZ)/4)-f £i + £2--l

1 +Ei

i[.....(u).i-].(., + ).g(.. + l)

1 + El

lw--§;)*==4+(..i)+(.+;)

4f)=T{-lh.(M)

2DI 1

может существовать на границе раздела этих сред нри отсутствии теплопроводности. Сначала рассмотрим случай отсутствия внутренних источников или стоков тепла в газах. Обе среды серые и неподвижные, нижняя область имеет постоянный коэффициент поглощения а^, верхняя aj. Скачок плотности потока черного

Фиг. 15.7. К выводу выражения для разрыва плотности потока излучения на границе раздела двух сред.

излучения на границе раздела между двумя средами можно получить интегрированием (15.52) по всем длинам волн. Заметим, что ai = ui и ая,2 = <2 производные по х и у равны нулю.

поскольку рассматривается одномерный слой. Тогда

2Jg-g

(15.60)

Вторые производные по z равны нулю, поскольку для каждой области из (15.38) следует

5- За dz

(15.61)

Величина должна быть постоянной вследствие отсутствия псточ-ников и стоков тепла. Следовательно, в обеих областях

- = 0.

(15.62)