К виду ixbKT)

h 2л 2а (n - v)\ {v - s)\s\ \д:- ду1дхЧо

п=о 1)=0 8=0

(15.31)

Далее подставим это соотношение в (15.29), а телесный угол dAlS примем равным sin fiddB. Затем проинтегрируем результат по полупространству, соответствующему положительным значениям Z, и определим все излучение, падающее на dA, п распространяющееся в отрицательном направлении

= ак [Х) do 2 S 2 ( t;)l(i;-s)!sl

п=0 г;=0 8=0

2л п/2 оо

)о 5 1 J (5 cos р) - (5 sine sin Р) -*

6=0 p=0 s=0

X (S sin p cos 6) cos p sin p exp [ - (X) S] dS dp de, (15.32)

где изменена последовательность операций интегрирования и суммирования и использованы сферические координаты вида

а: - аго = <5 sin Р cos Э,

I/ -г/о = iS sin Psin Э,

z-Zd = S cos p.

Заметим, что интегрирование по полупространству в (15.32) было проведено при следующих допущениях: 1) коэффициент поглощения х постоянен в области, вносящей существенный вклад в поток излучения, падающий на do, 2) отсутствуют ограничивающие поверхности, вносящие существенный вклад в этот поток. Другими словами, можно было сохранить как переменную интегрирования, а интегрирование проводить по конечной области с заданной интенсивностью на ее границах.

Выполняя интегрирование в (15.32), получим

dz ду~ дх

) , (15.33)

?1=0 1)=0 8=0

где

Q (п, V, s) =

а Г - гамма-функция.

(15.34)

= 2 22(-1Г-(-..,.)(-

-)о- (15.35)

1 \ dz-B дх

п=0 v=05=0

Плотность потока результирующего излучения, проходящего черев dAo в положительном наиравлении оси z, равна dqi.z . dQi,,-dQx, , dl dAo dX

ОО п V

= -т S S 2 ii-(-ir](n,p,s).i,

(15.36)

Такие же соотношения можно получить для осей х и у.

В приближешщ диффузии излучения рассматривается такая область среды, в которой температура слабо меняется с оптической толщиной. Следовательно, такие производные, как (l/ax)(3 i>.b/5z ), становятся малыми с увеличением п и ряд в (15.36) может быть ограничен суммой первых членов. Если ограничить ряд членами, содержащими вторую производную, то громоздкое уравнение (15.36) сведется к виду

п=0 1)=0 8=0

dqx.

dk ~ Зах ( dz )о~ Зая,( dz)Q (15.37)

Это общее соотношение, в котором локальная плотность потока излучения выражена через градиент плотности потока черного излучения; оно согласуется с (15.25) и называется уравнением диффузии излучения Росселанда. Как и при выводе (15.25), сохраняя лишь первые производные, получим то же самое уравнение, поскольку члены второго порядка взаимно уничтожаются. Заметим, что уравнение (15.37) имеет тот же вид, что и уравнение Фурье для теплопроводности. Это позволяет решать некоторые задачи переноса излучения по аналогии с методами решения задач теплопроводности.

Чтобы получить плотность потока излученпя в интервале длин волн АХ, проинтегрируем (15.37) по длине волны (для упрощения записи опустим скобки и индекс 0):

4 дехъ Зах dz

4 д

Зад, Al dz

dX-±-\dX=.

Зод, Al J dz

4 dcAlb

- j eib dX =

Зад, Al dz

(15.38)

Аналогичное выражение можно получить для потока излучения, падающего на do снизу, т. е. распространяющегося в положительном направлении z:

Здесь введена величина ад,дх.

J а?.

ан,А>.

9eib dz

Умножая числитель и знаменатель на дг/де, перепишем это выражение в следующем виде:

J ах

деь

Яд, hk

деь

(15.39)

Коэффициент йд называется росселандовым средним коэффициентом поглощения по имени С. Росселанда, который первым применил теорию диффузии при исследованпн радиационных процессов в астрофизике [2]. Величину деь^де можно найти путем дифференцирования формулы Планка (2.11а), если принять Т = = {еь1<УУ-

деь

деь

(15.40)

Скачок поверхностной плотности потока черного излучения как граничное условие ). До сих пор рассматривалась область газа, достаточно удаленная от любой границы, поэтому влияние границы в полученных соотношениях не учитывалось. Рассмотрим теперь взаимодействие изл^гчающего газа с диффузной стенкой. Пусть стенка, ограничивающая газ сверху (фиг. 15.4), имеет полусферическую спектра.льную степень черноты Е^шг- Все величины, относящиеся к стенке, будут иметь индекс w, чтобы их можно было отличить от величин, относящихся к газу вблизи стенки. Рассмотрим площадку dlg в газе, расположенную параллельно стенке и непосредственно прилегающую к стенке. Монохроматический поток излучения, проходящий через dAB отрп-

) Нужно жметь в виду, что скачок поверхностной плотности потока излучения черного тела на границе по существу является скачком температуры в четвертой степени.- Прим. ред.

цательном направлении оси z, равен

{dQx, -z)2 = b.w2exbw2 dl dA + (1 -guz) {dQx, +г)г. (15.41)

где члены в правой части соответствуют собственному и отраженному стенкой 2 излучению. Плотность монохроматического потока

Непрозрачная граница 1

Непрозрачная гронии,о 1

Фиг. 15.4. К выводу граничных условий со скачком на непрозрачной границе.

результирующего излучения, проходящего через площадку dA в положительном направлении оси z, равна

(%, ,),(-я...)2-(0я.-).

.XW2

ebwi dl

Это выражение можно переписать следующим образом:

- exbw2 =

dA dk

(15.42)

(15.43)

Выражение для (сР(?х,+2)2 можно подставить из (15.35). При = О и dAo = dA первый ч.лен в (15.35) равен

4л1хь2 = dAexbi-

Тогда для площадки dA, расположенной в газе вблизи стенки, выражение (15.43) приобретает следующий вид:

са п V

S S S (-1)-(...,).( -Г;;, ,)., (15.44)

Ограничивая сумму членами второго порядка и используя (15.37), чтобы исключить первые производные в членах, содержащих плотность монохроматического потока излучения, получим выражение для скачка поверхностной плотности потока черного излучения на

еш b.,2---yj-j--

.....

- 2al \ dz 2 dy 2 ~d)2 ()

Bee величины, не имеющие индекса w, относятся к площадке dA, расположенной в газе вблизи стенки, а величины с индексом w - к стенке 2; dg, z - плотность потока результирующего излучения в положительном направлении оси z.

Аналогичным образом можно получить скачок поверхностной плотности потока черного излучения на (фиг. 15.4):

exbwi

д'ехь , 1

д'-ехь

2 ду

)г (15.46)

где величины с индексом и> относятся к стенке 1, а без индекса - к газу, прилегающему к ней.

Выражения (15.45) и (15.46) представляют собой граничные условия, которые связывают поверхностную плотность потока черного излучения в газе, непосредственно примыкающем к стенке (exb)i с поверхностной плотностью потока черного излучения при температуре стенки (е^ьш)- Очевидно, что на каждой границе имеется скачок поверхностной плотности потока черного излучения. . В разд. 15.4.3 даны некоторые примеры, поясняющие, как пользоваться этими соотношениями. Поскольку при их выводе использовалось выражение (15.35), то тем самым предполагалось, что пропорциональность локальной плотности потока излучениям гра-

диента плотности потока черного излучения справедлива даже в тех точках внутри газа, которые расположены непосредственно вблизи граничной поверхности. Хотя это допущение не вполне соответствует действительности, граничные условия со скачком дают -хорошее приближение для учета влияния стенок.

Чтобы испо.льзовать граничные условия (15.45) и (15.46) в уравнении (15.38) в некотором интервале длин волн АХ, необходимо их проинтегрировать в этом интервале. Для стенени черноты стенок берутся средние значения в этом интервале и интегрирование производится в соответствии с [1]. В результате получим

(1 1 \

77---y) (5

1 / Sexb , 1 дЧкь

{ 2аЬ,дх (

2 ду демь

I 1 д^е^хь Г 2 дх

дбАХЬ

2 Ь, д;

у) (ддх, z)i +

1 д -е^и

dz -

2 ду демь 2

1 д^АХЬ деАХЬ

где ддя

= \ dqx.

в этих уравнениях используются два средних коэффициента, введенные в работе 11]:

f J дехь 1 АХ

al деъ

а

D, x

I&X =

АХ 1

deib деь

(15.49)

(15.50)

в квадрате, деленной

Ве.личина 1ах имеет размерность длины на плотность потока излучения.

Скачок поверхностной плотности потока черного излучения между двумя областями поглощающего и излучающего газа. При

наличии внутренних источников или стоков в поглощающих и излучающих средах и отсутствии кондуктивного переноса тепла