Главная  Теории теплообмена излучением 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 [ 88 ] 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156

К виду ixbKT)

h 2л 2а (n - v)\ {v - s)\s\ \д:- ду1дхЧо

п=о 1)=0 8=0

(15.31)

Далее подставим это соотношение в (15.29), а телесный угол dAlS примем равным sin fiddB. Затем проинтегрируем результат по полупространству, соответствующему положительным значениям Z, и определим все излучение, падающее на dA, п распространяющееся в отрицательном направлении

= ак [Х) do 2 S 2 ( t;)l(i;-s)!sl

п=0 г;=0 8=0

2л п/2 оо

)о 5 1 J (5 cos р) - (5 sine sin Р) -*

6=0 p=0 s=0

X (S sin p cos 6) cos p sin p exp [ - (X) S] dS dp de, (15.32)

где изменена последовательность операций интегрирования и суммирования и использованы сферические координаты вида

а: - аго = <5 sin Р cos Э,

I/ -г/о = iS sin Psin Э,

z-Zd = S cos p.

Заметим, что интегрирование по полупространству в (15.32) было проведено при следующих допущениях: 1) коэффициент поглощения х постоянен в области, вносящей существенный вклад в поток излучения, падающий на do, 2) отсутствуют ограничивающие поверхности, вносящие существенный вклад в этот поток. Другими словами, можно было сохранить как переменную интегрирования, а интегрирование проводить по конечной области с заданной интенсивностью на ее границах.

Выполняя интегрирование в (15.32), получим

dz ду~ дх

) , (15.33)

?1=0 1)=0 8=0

где

Q (п, V, s) =

а Г - гамма-функция.

(15.34)

= 2 22(-1Г-(-..,.)(-

-)о- (15.35)

1 \ dz-B дх

п=0 v=05=0

Плотность потока результирующего излучения, проходящего черев dAo в положительном наиравлении оси z, равна dqi.z . dQi,,-dQx, , dl dAo dX

ОО п V

= -т S S 2 ii-(-ir](n,p,s).i,

(15.36)

Такие же соотношения можно получить для осей х и у.

В приближешщ диффузии излучения рассматривается такая область среды, в которой температура слабо меняется с оптической толщиной. Следовательно, такие производные, как (l/ax)(3 i>.b/5z ), становятся малыми с увеличением п и ряд в (15.36) может быть ограничен суммой первых членов. Если ограничить ряд членами, содержащими вторую производную, то громоздкое уравнение (15.36) сведется к виду

п=0 1)=0 8=0

dqx.

dk ~ Зах ( dz )о~ Зая,( dz)Q (15.37)

Это общее соотношение, в котором локальная плотность потока излучения выражена через градиент плотности потока черного излучения; оно согласуется с (15.25) и называется уравнением диффузии излучения Росселанда. Как и при выводе (15.25), сохраняя лишь первые производные, получим то же самое уравнение, поскольку члены второго порядка взаимно уничтожаются. Заметим, что уравнение (15.37) имеет тот же вид, что и уравнение Фурье для теплопроводности. Это позволяет решать некоторые задачи переноса излучения по аналогии с методами решения задач теплопроводности.

Чтобы получить плотность потока излученпя в интервале длин волн АХ, проинтегрируем (15.37) по длине волны (для упрощения записи опустим скобки и индекс 0):

4 дехъ Зах dz

4 д

Зад, Al dz

dX-±-\dX=.

Зод, Al J dz

4 dcAlb

- j eib dX =

Зад, Al dz

(15.38)

Аналогичное выражение можно получить для потока излучения, падающего на do снизу, т. е. распространяющегося в положительном направлении z:



Здесь введена величина ад,дх.

J а?.

ан,А>.

9eib dz

Умножая числитель и знаменатель на дг/де, перепишем это выражение в следующем виде:

J ах

деь

Яд, hk

деь

(15.39)

Коэффициент йд называется росселандовым средним коэффициентом поглощения по имени С. Росселанда, который первым применил теорию диффузии при исследованпн радиационных процессов в астрофизике [2]. Величину деь^де можно найти путем дифференцирования формулы Планка (2.11а), если принять Т = = {еь1<УУ-

деь

деь

ехр

/ а l/4-

ехр

г Сг / о \ 1/4 1 Vk \еь) J

(15.40)

Скачок поверхностной плотности потока черного излучения как граничное условие ). До сих пор рассматривалась область газа, достаточно удаленная от любой границы, поэтому влияние границы в полученных соотношениях не учитывалось. Рассмотрим теперь взаимодействие изл^гчающего газа с диффузной стенкой. Пусть стенка, ограничивающая газ сверху (фиг. 15.4), имеет полусферическую спектра.льную степень черноты Е^шг- Все величины, относящиеся к стенке, будут иметь индекс w, чтобы их можно было отличить от величин, относящихся к газу вблизи стенки. Рассмотрим площадку dlg в газе, расположенную параллельно стенке и непосредственно прилегающую к стенке. Монохроматический поток излучения, проходящий через dAB отрп-

) Нужно жметь в виду, что скачок поверхностной плотности потока излучения черного тела на границе по существу является скачком температуры в четвертой степени.- Прим. ред.

цательном направлении оси z, равен

{dQx, -z)2 = b.w2exbw2 dl dA + (1 -guz) {dQx, +г)г. (15.41)

где члены в правой части соответствуют собственному и отраженному стенкой 2 излучению. Плотность монохроматического потока

Непрозрачная граница 1

Непрозрачная гронии,о 1


Фиг. 15.4. К выводу граничных условий со скачком на непрозрачной границе.

результирующего излучения, проходящего через площадку dA в положительном направлении оси z, равна

(%, ,),(-я...)2-(0я.-).

.XW2

ebwi dl

Это выражение можно переписать следующим образом:

- exbw2 =

dA dk

(15.42)

(15.43)



Выражение для (сР(?х,+2)2 можно подставить из (15.35). При = О и dAo = dA первый ч.лен в (15.35) равен

4л1хь2 = dAexbi-

Тогда для площадки dA, расположенной в газе вблизи стенки, выражение (15.43) приобретает следующий вид:

са п V

S S S (-1)-(...,).( -Г;;, ,)., (15.44)

Ограничивая сумму членами второго порядка и используя (15.37), чтобы исключить первые производные в членах, содержащих плотность монохроматического потока излучения, получим выражение для скачка поверхностной плотности потока черного излучения на

еш b.,2---yj-j--

.....

- 2al \ dz 2 dy 2 ~d)2 ()

Bee величины, не имеющие индекса w, относятся к площадке dA, расположенной в газе вблизи стенки, а величины с индексом w - к стенке 2; dg, z - плотность потока результирующего излучения в положительном направлении оси z.

Аналогичным образом можно получить скачок поверхностной плотности потока черного излучения на (фиг. 15.4):

exbwi

д'ехь , 1

д'-ехь

2 ду

)г (15.46)

где величины с индексом и> относятся к стенке 1, а без индекса - к газу, прилегающему к ней.

Выражения (15.45) и (15.46) представляют собой граничные условия, которые связывают поверхностную плотность потока черного излучения в газе, непосредственно примыкающем к стенке (exb)i с поверхностной плотностью потока черного излучения при температуре стенки (е^ьш)- Очевидно, что на каждой границе имеется скачок поверхностной плотности потока черного излучения. . В разд. 15.4.3 даны некоторые примеры, поясняющие, как пользоваться этими соотношениями. Поскольку при их выводе использовалось выражение (15.35), то тем самым предполагалось, что пропорциональность локальной плотности потока излучениям гра-

диента плотности потока черного излучения справедлива даже в тех точках внутри газа, которые расположены непосредственно вблизи граничной поверхности. Хотя это допущение не вполне соответствует действительности, граничные условия со скачком дают -хорошее приближение для учета влияния стенок.

Чтобы испо.льзовать граничные условия (15.45) и (15.46) в уравнении (15.38) в некотором интервале длин волн АХ, необходимо их проинтегрировать в этом интервале. Для стенени черноты стенок берутся средние значения в этом интервале и интегрирование производится в соответствии с [1]. В результате получим

(1 1 \

77---y) (5

1 / Sexb , 1 дЧкь

{ 2аЬ,дх (

2 ду демь

I 1 д^е^хь Г 2 дх

дбАХЬ

2 Ь, д;

у) (ддх, z)i +

1 д -е^и

dz -

2 ду демь 2

1 д^АХЬ деАХЬ

где ддя

= \ dqx.

в этих уравнениях используются два средних коэффициента, введенные в работе 11]:

f J дехь 1 АХ

al деъ

а

D, x

I&X =

АХ 1

deib деь

(15.49)

(15.50)

в квадрате, деленной

Ве.личина 1ах имеет размерность длины на плотность потока излучения.

Скачок поверхностной плотности потока черного излучения между двумя областями поглощающего и излучающего газа. При

наличии внутренних источников или стоков в поглощающих и излучающих средах и отсутствии кондуктивного переноса тепла



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 [ 88 ] 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156

© ООО "Карат-Авто", 2001 – 2018
Разработчик – Евгений Андрианов