Главная  Теории теплообмена излучением 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 [ 87 ] 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156

ПРИМЕР 15.4. Сферическая электрическая лампочка мощностью 100 Вт помещена внутри емкости, закрытой плоским стеклом (фиг. 15.2). Найти интенсивность излучения светильника в направлении, составляющем угол 60° относительно оси лампочки, если толщина стекла 0,02 м и оно поглощает ак серое тело с коэффициентом поглощения 5 м~Ч Диаметр колбы лампы 0,1 м. Пренебречь эффектами на поверхностях раздела, обусловленными различием показателей преломления стекла и окружающего воздуха.

Стеклянная пластина

Фиг. 15.2. Интенсивность нучка лучей, иснуокаемого светильником (пример 15.4).

Интегрируя уравнение (15.15) по к и S, получаем интегральную интенсивность

j(p) = i(0)exp(-a;S).

Чтобы определить i (0), рассмотрим лампочку как диффузно излучающую сферу. Плотность потока энергии (поверхностная плотность потока излучения) на поверхности сферы равна 100 Вт/(Площадь новерхности сферы), а чтобы получить интенсивность, нужно разделить эту величину еще на л:

(0) = ro4W( = 1010 Вт/(м^.ср).

Тогда t(P) = 1010exp

0,02 1

cos 60°

= 1010 ехр (- 0,20)=818 Вт/(м2. ср).

Заметим, что в данной задаче использовалось лишь простое решение для частично ослабляющей среды. Именно в том и заключается смысл приближения холодной среды, что пренебрегают собственным излучением среды вдоль оптического пути. В этой задаче предполагалось, что стекло слабо излучает, и поэтому следует рассматривать лишь излучение, испускаемое источником.

15.4. ПРИБЛИЖЕНИЕ ДИФФУЗИИ ИЗЛУЧЕНИЯ

В оптически плотной среде излучение может распространяться лишь па небольшие расстояния, прежде чем оно будет поглощено. Рассмотрим случай, когда длина свободного пробега излучения мала по сравнению с расстоянием, на котором существенны изменения температуры. Тогда локальная интенсивность излучения будет обусловлена лишь излучением соседних участков, температура которых близка к температуре рассматриваемой точки. Излучение от участков с существенно отличающейся температурой будет сильно ослаблено к моменту достижения данной точки.

Ниже будет показано, что в этом случае можно преобразовать интегральные уравнения баланса энергии излучения в уравнение диффузии излучения, которое аналогично уравнению теп.лонро-водности. Перенос энергии зависит только от условий в непосредственной близости к рассматриваемой точке и может быть выражен через градиенты параметров в этой точке. Приближение диффузии излучения очень сильно упрощает решение многих задач переноса излучения. Для решения полученных дифференциальных уравнений могут быть испо.тьзованы стандартные методы, в том числе хорошо разработанный метод конечных разностей. Эти методы более известны большинству инженеров, например, по опыту решения уравнения теплопроводности, чем методы решения соответствующих интегральных уравнений.

Как будет показано в последующем выводе, приближение диффузии излучения принимается нри условии, что излучение в среде близко к изотропному [это будет следовать из (15.23)]. Такое приближение справедливо для оптически толстой среды при небольших градиентах температуры, но не справедливо вблизи границ некоторых типов. Например, на границе с вакуумом, находящимся при абсолютном нуле температуры, излучение выходит из среды, но из вакуума не поступает. В результате такой анизотропии вблизи подобной границы приближение диффузии излучения будет несправедливо. В последние годы была показана возможность использования методов диффузии излучения на таких поверхностях раздела вследствие введения так называемого радиационного скольжения или скачка на границе.

У реальных газов существуют участки спектра, на которых они практически прозрачны. Приближение диффузии излучения может быть использовано только нри тех длинах волн или в тех полосах спектра, которым соответствует оптическая толщина среды, большая ~2, т. е. на участках оптически толстой среды; тот факт, что некоторая средняя оптическая толщина удовлетворяет этому критерию, является недостаточным. Так, для приближения спектральных полос применение метода диффузии излучения допустимо в оптически' толстых областях.



15.4.1. Упрощенный вывод уравнения диффузии излучения

Вначале приведем упрощенный вывод уравнения диффузии излученпя в одномерном слое, чтобы показать основную пдею данного приближения. Приближение диффузии излучения используется в тех случаях, когда рассматриваемая среда имеет достаточно большой коэффищгент поглощения, так что средняя длина

dS-J Среда

X с коэффии,иентом

поглош,ения


sin 0 dp dS

Фпг. 15.3. К выводу уравнений диффузии излечения. а - одномерный плоский слой газа; б - общий трехмерный случай.

свободного пробега в процессе поглощения Иа мала по сравнению с расстоянием, на котором происходит существенное изменение температуры.

Рассмотрим слой газа (фиг. 15.3, а). Уравнение переноса излученпя, согласно (14.7), имеет вид

(15.16)

--- + iUS)i,biS).

с использованием соотношения dS = dx/cos Р уравнение переноса излучения, описывающее изменение ii в зависимости от х при заданном значении Р, записывается в виде

cos Р di {X, Р)

(15.17)

где интенсивность излучения черного тела не зависит от угла. Пусть Я - длина, на которой происходит существенное измене-

ние температуры. С помощ^,ю Н, принимая, что l/a приведем уравнение (15.17) к безразмерному виду

1ш (13.16),

(15.18)

Теперь будем искать решение уравнения (15.18) в виде ряда. Согласно приближению диффузии излучения, длина свободного пробега излучения мала по сравнению с расстоянием, на котором происходит существенное изменение температуры. Следовательно, IjnlH<i, и интенсивность может быть представлена в виде ряда функций ix , умноженных на степени ImlH:

г х = гИО) + -Т+(-)ГЧ... . (15.19)

Подставляя этот ряд в (15.18), получаем (с точностью до членов, содержащих ImlH в первой степени)

1 дЦо^

-cosp-

= ir + i>:+ ...-ikb. (15.20)

Приравнивая члены нулевого порядка, получим

ir = iKb.

(15.21)

Приравнивая члены, содержащие 1т/Н, и используя затем (15.21),

чтоОы исключить 1х , получим

ix = -cosp-

diь

7w (i-)

Подставляя (15.21) и (15.22) в (15.19), получаем (с точностью до членов первого порядка относительно 1т/Н)

ix = ixb-cosp

или

COS Р dii ах dx

(15.23)

Этот результат обнаруживает основную особенность решения, полученного в приближении диффузии излучения, которая заключается в том, что локальная интенсивность излучения зависит только от величины локальной интенсивности черного излучения и ее градиента. Поскольку градиенты температуры малы, а коэффициент ах велик, последний член в правой части мал и интенсивность ii близка к изотропной.

Локальная плотность спектрального потока излучения в сечении X, распространяющегося в направлении х, получается путем умножения ii на cos р d?i и интегрирования по всем телесным углам..



= 2я J i, Р) cosp Sin MP = p=o

= 2я ix [x, cos P) cos p d(cos P).

j cos2pd(cosp) =

ax dx

cos B=-l

(15.24)

cos f3=- 1

Имея в виду, что ixb не зависит от р, и подставляя (15.23) в (15.24), получим

= 2nixb {X) J cos р d(cos р) -

cos р=- 1

4л dix 4 dexb CIS 251

~ ЗахИ dx Ъах(х) dx Л )

Это уравнение известно как уравнение диффузии излучения Рос-селанда. Оно связывает локальную плотность потока излучения только с локальными параметрами и не содержит интегралов, учитывающих излучение других облаете!!, что является существенным упрощением по сравнению с точной формулировкой уравнения переноса.

15.4.2. Общее уравнение диффузии излучения

В предыдущем разделе было выведено уравнение диффузии излучения для простого случая. В ряде (15.19) учитывались лишь члены первого порядка и, кроме того, рассматривалась неограниченная область газа. Выведем теперь общее уравнение диффузии излучения с учетом членов второго порядка. Включим в рассмотрение и граничные условия, чтобы можно было применить эти уравнения к огран!!ченным объемам газа. Как будет показано на npi!-мере плоского слоя (стр. 538), граничные условия должны уч!!ты-вать скачок поверхностной плотности потока излучения на границе раздела Л!ежду стенкой и газом в случае, когда теплообмен излучением является единственным механизмом переноса тепла. Вывод общего уравнения сделан в основном как у Дейслера [1]. Промежуточные выражения в последующем выводе будут иметь довольно сложный вид из-за их общего характера. Однако окончательные выражения [например, (15.37)1 относительно просты и очень полезны при расчетах.

Уравнение Росселанда для локального потока излучения. Рассмотрим схему, представленную на фиг. 15.3, б. Элементарный объем dFo с коорди!!аталш х^, у^ и Zq имеет площадь поперечного сечения dA ъ плоскости ху. Поток излучения, пересекающий

dA, исходит от всех окружающих элементарных объемов, например dV. Если dV испускает излучение интенсивностью dix (S), то интенсивность излучения, достигающего dV, определяется соотношением (13.21) [заметим, что используемая здесь система координат обратна той, в которой записано уравнение (13.21)1

dix (0) = dix (S) ехр [ - ах {Ц S]. (15.26)

Это выражение учитывает ослаблен!!е излучения на пути S, но не учитывает испускание на этом пути, которое будет учтено впоследствии интегрированием (15.26) по всем элементарным объемам. Заметим, что коэффициент поглощения принимался постоянным на всем пути S. Однако это допущение не вносит каких-либо ограничений, поскольку в приближении диффузии излучения температура газа существенно не изменяется в той области, которая вносит значительный вклад в излучение, дости-га!ощее некоторой точки. Телесный угол, под которым объем dV виден с площадки dA, равен dA/S, где dA - площадь проекции dV на плоскость, перпендикулярную направлению S. Поток излучения, падающего на dA, выраженный через иптенс!!вность, опреде.11яему!о (15.26), равен

dQi. i (0) = dix (S) ехр [ ax (X) 51 -g- dAo cos dl. (15.27)

Из (13.35) следует, что мопохромат!!ческий поток спонтанного излучения, испускаемого объемом dV, равен

diie{S)==ax{l, Т, P)iib{l, T)dS. (15.28)

Подставляя (15.28) в (15.27), получ!!м

dQx. i (0) = ах (1) ixb (l, Т) dS ехр [ - ах (1) S] dAo cos р dl. (15.29)

Поскольку газ оптически плотный, поле излучения в dVo определяется только близлежащими областями и тогда ib (т Т) в (15.29) можно разложить в трехмерный ряд Тэйлора в окрестности точки (Хо, г/о, Zo), полагая, что для адекватного представления ixb достаточно сохранить лишь несколько его членов. В общем случае трехмерный ряд Тэйлора можно записать в виде

71=0

+ (-o)(-)J iib(, Г)}. (15.30)

Часть последующих выкладок будет произведена с этим общим Выражением, а затем мы сохраним лишь несколько членов ряда. Используя дважды формулу бинома Ньютона, преобразуем (15.30)

34-0697

как в (14.39),



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 [ 87 ] 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156

© ООО "Карат-Авто", 2001 – 2018
Разработчик – Евгений Андрианов