15.3. ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ,

ПОЛУЧЕННЫЕ ПУТЕМ ОТБРАСЫВАНИЯ ОТДЕЛЬНЫХ ЧЛЕНОВ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЯ

В гл. 14 уравнение переноса излучения было проинтегрировано и получено изменение интенсивности вдоль оптического пути х [уравнение (14.10)1. Запишем еще раз это уравнение через действительное расстояние вдоль пути распространения излучения S

гЦ-) = гЦО) ехр [ - J ai{S*)dS*

-f J ax {S*) Hb (S*) exp

-]ax{S**)dS** s*

dS*. (15.1)

Интенсивность излучения ix (S) зависит от ix (0) в начале пути (например, на границе) и от распределения температуры, поскольку локальная температура определяет изменение ixb и ах- Как следует из (14.20), уравнение сохранения энергии, необходимое для получения распределения температуры, содержит интеграл от интенсивности падающего излучения по всем телесным углам. В резу.тьтате уравнения сохранения энергии и переноса излучения должны рассматриваться совместно, что является довольно сложной задачей. Часто оказывается возможным использовать некоторые приближения, приводящие к существенным упрощениям. Рассмотрим три таких приближения, указанных в первых трех строках табл. 15.1.J

15.3.1. Приближение прозрачного газа

В случае малой оптической толщины газа в направлении распространения излучения интегральное уравнение переноса можно упростить, поскольку оба экспоненциальных члена в (15.1) Стремятся к 1. Тогда (15.1) преобразуется к виду

а {S) = ix (0) + 5 ах {S*) ixb (S*) dS*. (15.2)

о

Вдоль оптического пути не происходит ни ослабления, ни собственного излучения газа, не поступает излучения и от границы iS = 0. В некоторых случаях можно сделать даже более сильное допущение. Если оптическая толщина достаточно мала и величина ix (0) конечна, интенсивность собственного излучения газа, описываемая интегралом в уравнении (15.2), становится прене-брежимой по сравнению с интенсивностью ири S = О, и уравне-

ние

(15.2)

преобразуется к виду

ix{S) = ix{0).

(15.3)

Это JJ JJgJ-J:ижeниe прозрачного газа (табл. 15.1). Интенсивность падающег излучения ири его распространении через газ остается nps(..[,yqg(. хи неизменной. Очевидно, что ири таком простом соот-HOiijgjjjjjj rf ля интенсивностей локальные балансы энергии намного прсццр в случае полного уравнения переноса излучения.

Да,1рцjjQji ажем на примере использование приближения прозрач-- ноГ(, раза

IjpjjiyjP 15.1. Две бесконечные параллельные черные пла-CTHjiy д^еющие температуры Ti и Тп (фиг. 14.5), отстоят друг от Друга малом расстоянии D, и пространство между ними saHfjvjjjgjj газом с коэффициентом ноглощения ах- Предполагая, что сипа * приближение прозрачного газа, выведем выра-же1,5ц jjTifi температуры газа в зависимости от координаты между нлйсцдуги. Предполагается, что газ находится в локальном epijQ ддмическом равновесии, хотя иногда для оптически тон-кого раз^ иредноложение может не удовлетворяться, как уж(> ,1валось в разд. 13.8.

у ение (14.20) представляет собой в общем виде уравнение coxpajjgjjjjfl энергии при наличии локального радиационного равновесия 0

ар (Г, Р) 07-4 = я j ах {К Т, Р) Тх, i (X) dX. (15.4)

о

В OoojBg-fCTBHH с определением (14.30) и по аналогии с уравнение) /< 32) ix, i определяется вкладами энергии, подводимой к ajjgjjgg-fapHOMy объему сверху и снизу, т. е.

4л

(0=0

HocijjQjjty стенки черные, то в приближении прозрачного газа в Л^юбой точке между пластинами

i%+{к, ) = iib(X, Tl) и ix-(К, ti>) = ixb{l, Tz).

Д'ее п^КОЛьку интенсивность излучения черного тела не зависит угЛа, то из (15.5) следует!

л/2 л/2

= 2п[Ць{К Ti) + ixb (Я, Т^)].

(15.6)

Подставляя (15.6) в (15.4), получим для любого сечения х между пластинами

= -2 J ) [ь {К Т,) + Цъ (Я, Т^)] dK (15.7) о

Уравнение (15.7) можно решить методом итераций относительно Т (х). Необходимость итераций обусловлена зависимостью а от локальной температуры.

Если не зависит от температуры газа, то, используя (14.19), получим

laUih{KT,)dX = -i:pI-

и

ар[Т{х)]=-

I Ч (Х) чь [Т (х)] dX

(15.8)

аТ (х)

Тогда уравнение (15.7) преобразуется к виду

= 2aplT(x)] () 1 + () П].

Распределение локальной температуры достаточно просто найти с номош,ью табулированных значений ар (Т), хотя по-прежнему для этого требуется метод итераций. Заметим далее, что в случае серого газа с не зависящими от температуры свойствами ар - величина постоянная и уравнение (15.8) преобразуется к виду

ТЧх)Щ^. (15.9)

Следовательно, в любой точке серого газа его температура в четвертой степени равна среднему арифметическому четвертых степеней граничных температур. Этот предельный случай также был рассмотрен в разд. 14.6.2в выводе, следующем за уравнением (14.41).

15.3.2. Приближение излучающей среды

В приближении прозрачного газа предполагалось, что газ является оптически тонким и локальная интенсивность излучения определяется интенсивностью излучения, падающего на слой газа со стороны границ. В приближении излучающей среды газ

опять предполагается оптически тонким н, кроме того, энергия, подводимая к газу от внешних источников, считается пренебрежимо малой. В этих условиях оба экспоненциальных члена в уравнении (15.1), учитывающие ослабление излучения, становятся

равными 1, поскольку i*) dS* мал и ii (0) = 0. Отсюда

следует

о

ii(S)= J а, (5*) iib(S*)dS\

(15.10)

Таким образом, интенсивность ii (S) представляет интегральный вклад собственного излучения газа, испускаемого вдоль всего оптического пути, поскольку оно проходит через газ без ослабления.

Уравнение (15.10) можно проинтегрировать но всем длинам волн н получить интегральную интенсивность излучения

i (S) =ii{S)dS[\a, (S*) a, (S*) dX

0 0 0

Если теперь используем определение (14.19) дляар, то получим

i{S)=jap{S*) -I*ldS\

(15.11)

В связи с тем что уравнение (15.11) содержит иланковский средний коэффициент поглощения и получено для оптически тонкой среды, иногда делают вывод, что иланковский средний коэффициент поглощения применим только для оптически тонкого газа. Однако планковское среднее было введено в общем случае при рассмотрении испускания излучения элементарным объемом в связи с выводом уравнения (14.18) и может быть исиользовано в членах, учитывающих собственное излучение газа любой оптической толщины.

ПРИМЕР 15.2. Используя приближение излучающего газа найти плотность потока излучения изотермического слоя газа толщиной D = 0,01 м с планковским средним коэффициентом поглощения 1,0 м~, ограниченного прозрачными неизлучающими стенками (фиг. 15.1, а).

Еслн г'(Р) - интегральная интенсивность излучения в направлении Р, то плотность потока излучения равна

2 л л/2

5= J г'(Р) COSрdco = 2л J j(P)co9p9inpdp.

(0=0 Р=0

Поскольку газ изотермический и имеет постоянный коэффициент ноглощения ар, то уравнение (15.11) можно проинтегрировать по всему оптическому пути в слое газа DIcos Р и получить

i (р) =ар--5.

я cos Р

Тогда

д = 2 J араГ4Д8шрйр = 2араГ4£). (15.12)

о

Подставляя числовые значения, получим

д = 0,02а7*.

Следует отметить, что выражение (15.12) в действительности не является точным, хотя рассматриваемый нами слой является

Среда с планноб ским средним коэффициентом поглощения Зр и темперотурой т

Фиг. 15.1. Иллюстрация к приближению излучающего газа. а - слой газа (к примеру 15.2); б - заполненный излучающим газом сферический спутник с прозрачной оболочкой (к примеру 15.3).

оптически тонким в том смысле, что его оптическая толщина, рассчитанная по значению D, мала (apD = 0,01 < 1). Излучение, достигающее границы слоя, проходит в газе путь Z>/cos р. При больших Р этот путь становится бесконечным, и приближение излучающего газа уже несправедливо. Более точное решение уравнения переноса излучения с учетом длин оптического пути дает следующий результат:

д=1,8араГ4Д (15.13)

который на 10% меньше, чем вычисленный по формуле (15.12) (разд. 17.5.4).

ПРИМЕР 15.3. Спутник Земли в виде сферического надувного баллона радиусом R находится на орбите в зоне земной тени.

Он имеет совершенно прозрачные стенки и наполнен серым газом € постоянным коэффициентом поглощения а, причем ai? < 1. Пренебрегая теплообменом излучением с Землей, вывести выражение для потока энергии, теряемого спутником в начальный момент, если первоначальная температура газа в баллоне Го-В соответствии с уравнением (15.11), полученным в приближении излучающего газа, можно записать следующее вьфажение для интенсивности излучения на поверхности (фиг. 15.1, б):

о

поскольку а и Го постоянные. Из геометрических соображений

S = 1R cos р.

Тогда плотность потока q, теряемого поверхностью, равна

я/2 я/2

g = 2я J i (р) cos р sin р dp = 4ааГ*Д ] cos р sin р dp = у аоГ^Й. о о

Чтобы найти поток энергии, теряемый всей сферой, следует q умножить на площадь поверхности сферы

Q = \ aaTlR (inR) = 4ааГ*У„

(15.14)

где Vs - объем сферы. Ранее было показано (разд. 13.6), что любой объем изотермического газа излучает в соответствии с этой формулой, если отсутствует внутреннее поглощение. Аналогичное выражение дает приближение излучающего газа - именно такого резу.льтата мы и ожидали.

15.3.3. Приближение холодной среды

Приближенный вид уравнения переноса излучения, который будет рассматриваться в данном разделе, по.лучен в предполо-женип, что локальное черное собственное излучение внутри среды мало. Такая ситуация может возникнуть при рассмотрении переноса излучения в холодной среде, например поглощающей криогенной жидкости. Интегральное уравнение переноса излучения (15.1) преобразуется к виду

Ц{3)Цф)ех]?\- ai{S*)dS*]. (15.15)

о

Таким образом, локальная интенсивность определяется исключительно ослабляемым падающим излучением.