Главная  Теории теплообмена излучением 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 [ 84 ] 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156

На фиг. 14.7 приведены значения скачка температуры в сером газе с постоянным коэффициентом поглощения в функции от оптической толщины слоя. (Из условия симметрии следует, что Т\ - (x = 0) = Г* (х - хд) - п.)

14.6.3. Использование интегроэкспоненциальных функций

В соотноиюниях, полученных из уравненпя переноса для плоских слоев, полезно произвести некоторые замены переменных. Полагая р = cos р, преобразуем уравнения (14.36) и (14.41) к виду

d%*-[-T\ ехр

-(хр-х)

+ 1 J Г4 ехр [i] dx* } dp, (14.43)

и

g = arj-2 5p[arexp(-=i) +

о

в

+ f ( ГМ<*)ехр (*) dx*1dp. (14.44)

о

Теперь можно ввести интегроэкспонепциальиую функцию

/?Л?)=5 t -exp(-)dp.

(14.45)

Тогда (14.43) и (14.44) примут следующий вид:

Т{Е2 (x) + J Г4 (x*) Ei (x - x*) dx* +

о

+ Т\Е, (хд x) + J Г* (x*) El (x* - x) dx*

(14.46)

q = oT{-2\oT\E (Хв) + а j Г* (*) (*) (1447

о

Интегроэксноненциальные функции подробно рассмотрены в работах [1, 2]. Для удобства читателей некоторые важные соотношения

приведены в нриложении Е. Вводя переменные

где индекс b означает, что рассматривается система с черными границами, преобразуем уравнения (14.46) и (14.47) к безразмерному виду

н

(Рь (x) = I [2 ( <) + J Фь Е, (x - x*) dx* + о

-1-J Фь(х*)£1(х* -x)dx*] , (14.46а)

и

г|,ь=1-2 ( фь(x*)£з(x*)dx*. (14.47а)

о

Из этих уравнений видно, почему результаты, приведенные на фпг. 14.6, зависят только от оптических координат.

14.6.4. Плоский слой между серыми пластинами

Теперь рассмотрим случай, когда пластины с температурами Tl и Т.2 являются серыми, а не черными. Интегральные уравненпя имеют тот же вид, что и (14.46) и (14.47), за исключением того, что оТ\ и oTl надо заменить плотностями потоков эффективного излучения qo,i и до,2- Следовательно, в случае серых границ полагаем

tp()r4N-go,2 -Я-.

Qo, 1 - 90,2 ?о, 1 -?о,2

Уравнения относительно ф (х) и г|5 те же, что и (14.46а) и (14.47а), поэтому ф = фь и г|5 = г|5ь, а аГи q в случае серых границ определяются уравнениями

аГ4(и) = фь(х)(до,1 -?о,2)Н-?о,2. (14.48)

д = г|5ь(до,1-до,2). (ИЛд)

Следовательно, считая, что решение для случая с черными границами было получено, найдем только qo.i и qo,2- О™ могут быть определены из уравнения (8.6), справедливого для любой серой поверхности. Так как q = -да = то

qo.i = <yn-q, (14.50а)

qo,2-=on + q. (14.506)



Подставляя эти соотношения в (14.49) и решая последнее относительно д, найдем

g Фь

(14.51)

Подставляя qo, и qo, 2 из (14.50) в (14.48) и исключая q с помощью (14.51), получим

fc2

(14.52)

Эти соотношения совпадают с полученными в разд. 17.8.3 с помощью обобщенного углового коэффициента.

14.7. ВЫВОД ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СООТНОШЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ФОТОННОЙ МОДЕЛИ ПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЯ

Поле излучения и перепое излучения можно также описать с помощью фотонной модели. Она оказывается иногда полезной нри выяснении физики переноса, а также при использовании в методе Монте-Карло, который будет рассмотрен в гл. 18. Так как энергия фотона связана с частотой излучения, то далее будет использована частота, а не длина волны.

При рассмотрении излучения как набора фотонов условия в любой точке среды задаются с помощью функции распределения фотонов /. Пусть

t{v,T,S)dvdVd(ii (14.53)

- число фотонов, движущихся в направлении S в объеме dV с координатой г в интервале частот dv, включающем частоту v, внутри телесного угла d!(0, ось которого совпадает с направлением S (фнг. 14.8, а). Канодый фотон обладает энергией hv. Тогда энергия излучения в единице объема и единице интервала частот равна интегралу по всем телесным углам от величины hvfdfi>. Она называется объемной плотностью энергии монохроматического излучения и записывается в виде

f/(v, r) = /iv J f{v,v,S)d(M. (14.54)

Для определения интенсивности излучения необходимо знать поток излучения в направлении S, пересекающий площадку перпендикулярную направлению S (фиг. 14.8, а). Скорость фотонов равна с, а плотность потока фотонов, пересекающих площад-




Фиг. 14.8. К выводу энергетических характеристик излучения, а - к ВЫВОДУ интенсивности излучения; б - к выводу потока излучения; в - сферическая система координат для вектора плотности потока излучения.

излучения называется энергия излучения, переносимого в заданном направлении в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную этому нанравлению, в единице телесного угла и единице интервала частот. Тогда интенсивность излучения в точке г в направлении S записывается в виде

i:=hvcf (v, г, S).

(14.55)

Исключая из (14.54) / с помощью (14.55), найдем связь между объемной плотностью энергии излучения и интенсивностью излу-

ку dA в направлении нормали к ней, составляет fdvdxo. Тогда число фотонов, пересекающих в единицу времени площадку dA в направлении S, равно cfdvd(ddA. Энергия, переносимая этими фотонами, будет равна hvcf dvddA. Спектральной интенсивностью



fv(v, Г) =

(14.56)

(0=0

Этот интеграл встречался в уравнении для плотности потока интегрального излучения (14.31).

Теперь рассмотрим поток излучения, пересекающий некоторую площадку, расноложенную в среде. Пусть dA - произво.ль-ная элементарная площадка с единичным вектором в направлении нормалп и (фиг. 14.8, б). Через площадку dA переносится энергия со всех возможных наиравлении. Типичное направление S составляет угол р с нормалью п. Таким образом, энергия, переносимая через площадку dA, равна hvcfdvddndA cos р. Интегрируя это выражение по всем телесным углам падающего излучения, найдем ноток результирующего излучения, переносимого через dA. Тогда поток излучения, переносимого через единицу новерхности dA в направлении полонште.льных значений и (cos Р отрицателен ири Р > я/2, так что знак той части потока излучения, которая распространяется в сторону отрицательных п, учитывается автоматически), равен

4л 4л

dq = h\cdv j fcosd& = d\ cosрdco. (14.57)

(0=0

(0=0

Уравнение (14.57) получено с учетом (14.55).

Пусть S - единичный вектор в наиравлении движения фотонов S. Тогда cos Р = s-n и уравнение (14.57) можно представить в виде

dq,= d\ j ivS-ndco. (14.58)

(0=0

Таким образом, dq - составляющая в направлении вектора п плотности потока излучения, определяемого выражением

(14.59)

(0=0

Т. е. dq, = и-dqv.

Для более глубокого понимания природы вектора dy перейдем к сферической системе координат (фиг. 14.8, в). Тогда единичный вектор s записывается в виде

s = i cos 6 sin р Ц- j sin Э sin р -f к cos p.

(14.60)

Подставляя s и <а> = sin р dp d9 в (14.59), представимвектор dqv в В1ще трех составляющих

2Я я

dqv = dv

eio з=о

2я я

i 5 J iUP, e)cosesin2pdpde +

2л л

+ j 5 5 ц,(р, 9) sin e>in2p dp dOH-

6=0 3=0

2л л .

-f к J J i;(p, e)cospsinpdp;de]. (i4.6i)

6=0 6=0

Дивергенция вектора плотности потока излучения была определена при выводе уравнения (14.18а). При постоянном коэффициенте ноглощения она определяется следующим образом:

оо 4л

V-q = a {4аГ4- J [ J i; (v, со) dco] dv} (14.62)

0 0

или с учетом (14.56)

V q = я [4аГ4 с J (v) dv .

(14.62a)

Эти соотношения будут использованы в уравнении энергии гл. 19, где перенос излучения рассматривается совместно с теплопроводностью и конвекцией.

14.8. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Выведено уравнение переноса, определяющее изменение интенсивности излучения, распространяющегося в заданном направлении в поглощающей п излучающей среде. Уравнение учитывает ос.пабление интенсивностп пзлучения вследствие поглощения и ее увеличение вследствие собственного излучения, при этом рассеянием пренебрегается. Уравнение переноса было проинтегрировано и получено выражение, позволяющее определять интенсивность излучения в некотором направ.лении, если задана начальная интенсивность; обычно начальной интенсивностью излучения является интенсивность эффективного излучения на границе тела. Так как интенсивность излучения учитывает собственное излучение среды вдоль некоторого пути, а энергия собственного излучения зависит от температуры, то для определения интенсивности излучения необходимо знать распределенпе температуры в газе.

Распределение температуры в газе находится из уравнения сохранения энергии. Члены в уравнении энергнн получены из



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 [ 84 ] 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156

© ООО "Карат-Авто", 2001 – 2018
Разработчик – Евгений Андрианов