направления х. Тогда (14.31) можно записать в виде

оГ* (1) = J i+ ( , >t) ( + J i- ( , w. (14.32)

где I dco означает интегрирование по полусферическому пространству в направлении от поверхности 1, а j dco - интегриро-

вание по полусферическому пространству в направлении от поверхности 2.

Черная ,. .пластина 1

Фиг. 14.5. Бесконечные пара.члельные черные пластины, разделенные слоем

серого газа.

Интенсивность излучения в (14.32) находится из (14.25). Для излучения, распространяющегося от стенки 1 под углом р в сторону положительных значений cos р, получим

г, (x, р) = С (0) ехр {) + J ii, (x*) ехр , (14.33)

о

где i\ (0) - интегральная интенсивность излучения стенки 1, и, так как стенка 1 черная.

Уравнения переноса излучения в излучающем и поглощающем газе 501

Интегральная интенсивность излучения, входящая в подынтегральное выражение, связана с местной температурой газа соотношением

Подставляя это соотношение в (14.33), получим

i;( ,i)-i-{.T;exp() +

£Г^()-V[:]d.}. (14.34)

где О р 90°. Аналогично интенсивность излучения, распространяющегося под углом р (90° Р < 180°), со стороны пластины 2 (cos Р в этих пределах отрицателен) на оптической глубине x равна

:(-,Р)=4-Иехр()

-;fM<*)exp()dx*], (14.35)

где Хв = ja [х) dx. о

Подставляя выражй1ия для интенсивности излучения (14.34) и (14.35) в (14.32), получим следующее интегральное уравнение с неизвестным Т* (х):

= Jsinp{rxp() +

. cos р

dx* + Т\ ехр

cos р

+ JMx*)exp[llf)]dx*}dp, (14.36)

и

в котором сделана подстановка dco = 2л sin Р dp. Рассмотрим решения этого уравнения, дающие распределение температуры.

Поток излучения в положительном направлении х, пересекающий плоскость с координатой х (фиг. 14.5), состоит из двух частей: одна связана с i;, а другая с Так как интенсивность излучения

4�36

4992

B7�B

представляет собой поток излучения, отнесенный к единице телесного угла и единице площадки, перпендикулярной i\ то следует рассмотреть проекцию площадки dA, перпендикулярную либо к i+, либо к Г. Тогда плотность потока излучения- в положительном направлении х, связанная с равна

д^(и)= \ i;(x)cosp2nsinpdp. (14.37а)

13=0

Соответственно плотность потока излучения в отрицательном направлении X, связанная с равна

я-Р=л/2

д (и)= j Г (х)со8(я-P)2nsin(n -Р)й(я -р),

я-3=0

? (х)=-2л J J:(x)cospsinpdp. (14.376)

Плотность потока результирующего излучения в положительном направлении х равна

д(х) = ?+(<)-?-(> ) (14.38)

Подставляя уравнения (14.37) в (14.38), получим

я/2 Я

q{v.) = 2n j i; (х) cosрsinрdp + j il (к) cosрsin рф . (14.39)

в=о

Подставляя выражения для интенсивности излучения (14.34) и (14.35) в (14.39) и объединяя интегралы, получим

9(х) = 2 J sinPcosp{,ar*exp() +

cos р J

ехр

- Iv.-М*К

L cos

dx* -

- аЦвщ

-(Хд -Х) -COS р

-ЛТ (x*)

COS р J

ехр

=:i-i]dx*)dp.

COS р J i

(14.40)

При переносе энергии только излучением (радиационное равновесие) в рассматриваемой здесь геометрхгческой конфигурации q (х) не зависит от х, так как в газе нет ни источников, ни стоков

Плотность потока результирующего излучения можно вычислить после определения Г* (х) из (14.36).

В предельном случае, когда коэффициент поглощения среды между пластинами очень мал, Хд->0, (14.41) сводится к следующему выражению:

qU-.,=o{T\-T%

которое является точным решением задачи для случая черных бесконечных параллельных пластин, разделенных прозрачной средой. Кроме того, из уравнения (14.36) следует, что в этом предельном случае

ГМ)к^о = -,

т. е. четвертая степень температуры почти прозрачной серой среды равна среднему арифметическому граничных температур в четвертой степени.

Решения для распределения температуры в сером газе между бесконечными серыми пластинами, свойства которого не зависят от температуры, были получены многими исследователями. Некоторые методы решений будут описаны в следующих главах. Хислет и Уорминг [3] получили решения для величин [Г* (х) - Т\]1{Т\ - Tl) и q/[o {Т\ - TV)] с точностью до четырех значащих цифр. Их результаты для системы с черными границами представлены на фиг. 14.6, а значения безразмерной п.лотности потока результирующего пзлучения приведены в следующей таблице:

энергии. Тогда, вычисляя для простоты q ири х = О, найдем выражение для плотности потока результирующего излучения от стенки 1 к стенке 2

= 2 J sinPcosp[arj-ar.exp()-о

-c-TMx*)exp()dx*]dp = о

= аГ-2 J sinpcosp[arexp() + о

Безразмерная плотность потока результирующего излучения

При Ид 1 % = (4/3)/(1,42089 + Ид.

Из распределений температуры, представленных на фиг. 14.6, а, видно, что между температурами стенкИ и газа существует разрыв. Это явление называется скольжением или скачком температуры:. При отсутствии скачка все кривые сходились бы к 1 при и/ид = О и к О при х/хд = 1. Скачок температуры исчезает при учете теплопроводности. Для определения величины скачка вычислим температуру газа при х = 0. С использованием (14.36) получим уравнение

ГМ = 0) = 1 ] sin IP [Tt + 7 ехр ( ) -f

о

+ slpfM<*)exp(-=)dx*]dp,

о

которое можно переписать в виде

Tf-TI

2(Г^-Г|) 2

Опять видим, что при Хв-0 уравнение (14.42) сводится к

Г4 74(=0)

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

id Кг,

Фиг. 14.6. Распределение температуры н плотности потока результирующего излучения в сером газе, заключенном между бесконечными параллельными

черными пластинами [3].

а - распределение температуры; б - плотность потока результирующего излучения. (Pjj - безразмерная температура; ifj, - безразмерная плотность потока результирующего излучения; Ид - оптическая толщина; и/Ид - относительная оптическая толщина.

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

Фиг. 14.7. Скачок температуры на стенке (между температурами серого газа

и черной стенки) [3]. I [Г* - Г* (и = 0)]/(Г| - Т|) - безразмерный скачок температуры; Ид - оптическая

толщина.