Главная  Теории теплообмена излучением 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 [ 82 ] 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156

излучения интенсивностью ii {X, со, х^), распространяющегося в пределах бесконечно малого телесного угла dco, равна

dQi,a = ax(dV)ix{l, со, Kx)dVdlddi. (14.11)

Интенсивность г£ (к, со, х^,) падающего излучения определяется на основании уравнения переноса (14.10)

гЦХ, со, хя,)-=г;,(?., со, 0)ехр( -хх) +

+ ilbiX, 3<0exp[-(x;,-x£)]dxU,

(14.12)

где ix (X, со, 0) - спектральная интенсивность излучения, распространяющегося в сторону элементарного объема dV от границы системы в пределах телесного угла dco.

Интегрируя уравнение (14.11) по со, найдем энергию излучения, поглощенного объемом dV ( истинное поглощение за вычетом индуцированного излучения) со всех направлений падающего на этот элемент излучения:

4я 4л

cPQ%,a= J d*Qxa = ax{dy)d:V d-k \ ix (К, со, X;,) dco. (14.13)

(0=0 01=0

Для более удобной и компактной записи уравнений вводится средняя интенсивность падающего излучения ix, t (к) в объеме dV

4л7; г(к)\ ix (К со, X;,) dco. (14.14)

Тогда (14.13) примет вид

dQx, а = ах (dV) ix, i (Х) dV dl. (14.15)

Интегрируя (14.15) по всем длинам волн, получим энергию интегрального излучения, поглощенного объемом dV из всей области излучения:

00 оо

dQa = J dQx, adV \ах (dV) h, dl. (14.16) *)

X=0 0

Энергия спонтанного интегрального излучения объема dV получается путем интегрирования по всем длинам волн уравнения (13.34) с использованием %:

d?Qe = J dQx, в = 4dF J ax (dF) ехь {К Т) dl. (14.17)

*) Заметим, что слева стоит дифференциал второго порядка, так как в принятых обозначениях dV - величина порядка dAdS.

ах {I, Т, Р) ехь (К Т) dk \ ах{к, т, Р) ехь {К Т) dk

ар{Т, Р)=.

I ехь (К T)d\

(14.19)

ар - осредненный по спектру коэффициент, в котором нормирующим множителем является спектральная поверхностная плот-

Это уравнение основано на предположении, что объем dF настолько мал, что все излучение, испускаемое dF, покидает его прежде, чем какая-либо его часть успевает поглотиться в этом объеме.

14.4.1. Радиационное равновесие

; В тех случаях, когда другие виды переноса энергии, как теплопроводность и конвекция, пренебрежимо малы в сравнении с излучением, а поле температур стационарно, энергия интегрального излучения, испускаемого объемом dF, равна энергии поглощенного им интегрального излучения. Такое состояние называется радиационным равновесием и представляет собой просто закон сохранения энергии применительно к стационарным условиям в отсутствие иных, кроме излучения, видов переноса. При радиационном равновесии из (14.16) и (14.17) получим

<PQe = dVa

ИЛИ

оо 00

J ах{1, Т, Р)ехь{1, T)dl = n j UxiK Т, P)lx,i{l)dl. (14.18)

о о

Воспользуемся теперь понятием дивергенции вектора. Энергик> результирующего излучения в единице объема можно рассматривать как дивергенцию вектора плотности потока излучения q. Следовательно, из (14.16) и (14.17) получим

V-q = 4 Ja;,(?., Т, Р)1ехь{1, Т) - nix. i (1)] dl о

и (14.18) в случае радиационного равновесия принимает вид

V.q = 0. (14.18а)

14.4.2. Некоторые средние коэффициенты поглощения

В связи с наличием интеграла, учитывающего излучение, в левой части уравнения (14.18) удобно ввести средний коэффициент поглощения по Планку ар {Т, Р), определяемый в виде



НОСТЬ потока излучения черного тела. Он полезен при рассмотрении излучения объема и в некоторых предельных случаях радиационного переноса.

Подставляя (14.19) в (14.18), получим уравнение сохранения энергии в виде

ар [Т, Р) аТ* = я aiK Т, Р) k, г (Ц dX.

(14.20)

Таким образом, если в некоторой точке газа известна интенсивность ix,i {X), то уравнение (14.20) можно решить относительно температуры Т в этой точке. Средний коэффициент поглош,ения по Планку ар удобен тем, что он зависит только от свойств объема dV. Его легко затабулировать, и он особенно полезен в тех случаях, когда давление в системе постоянно.

Другой осредненный коэффициент поглощения связан с наличием учитывающего поглощение интеграла в правой части уравнения (14.20). Это - средний по падающему излучению (или средний модифицированный по Планку) коэффициент поглощения Л; {Т, Р), определяемый в виде

ааТ, P) = --

ах {X, Т, Р) ix, I (X) dk

(14.21)

ix, i (к) dk

Однако в общем случае такое осреднение мало пригодно. Значения ai должны быть затабулированы для всех возможных очета-ний спектральных распределений падающего излучения и спектральных изменений локальных коэффициентов поглощения. Работа по составлению таких таблиц, за исключением некоторых специальных случаев, не оправдана. Подробнее физический смысл некоторых средних коэффициентов поглощения рассматривается в разд. 15.5.1.

14.5. УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА ДЛЯ ПЛОСКОГО СЛОЯ

Иногда в задачах по излучению газов для выяснения влияния отдельных переменных, общее число которых велико, удобно рассматривать системы простой геометрии. Часто во многих работах, как в технике, так и в астрофизике, используется модель плоского слоя. Интерес астрофизиков [1, 21 основан на том, что атмосферу Земли и внешние излучающие слои Солнца можно приближенно представить в виде плоского слоя.

Модель плоского слоя показана на фиг. 14.4. Температура и свойства газа изменяются только вдоль координаты х. Пусть некоторое направление распространения излучения S в газе

расположено под углом Р к направлению х. Тогда оптическая толщина X [х) вдоль координаты х определяется выражением

X (х) = j adx*. о

(14.22)

Связь между оптическими длинами в направлениях S и х дается соотношением

S ж/cos Э ж

.iS)]adS* I (lSF)=wb* = W- (1-)

0 0 о

Уравнение переноса (14.7) справедливо для любого направления, и, таким образом, х в (14.7) есть х {S). Используя (14.23), пере-


Фиг. 14.4. Модель плоского слоя, пишем уравнение переноса в функции х {х)

cosp

дКх {X)

iiliH, p] = ilb[xx(x)].

(14.24)

Частная производная означает, что ix зависит от х^ () и р. Интегральная форма уравнения переноса (14.10) имеет вид

ixiKx, р) = .-аО)ехр(-)ч-

л

ехр

cos р J cos р

;, (14.25)

где все х, входящие в (14.25), соответствуют х {х). Часто бывает удобно ввести новую переменную л = cos р. Тогда уравнение (14.25) записывается в следующем виде:

ix ix, l) = ixiO) ехр()ч-

+ j ixb {У<х) ехр

J [i

. (14.26)



14.6. СЕРЫЙ ГАЗ

Газ, коэффициент ноглощения которого не зависит от длины волны, называют серым газом. Из того, что говорилось об изменении свойств газа но спектру (в связи, например, с фиг. 13.2), очевидно, что газы являются далеко не серой средой. Однако в некоторых случаях в пределах отдельных участков спектра газы можно считать серыми. В других случаях, когда в газе содержатся или в него вводятся частицы сажи или другого вещества для увеличения поглощаемого или испускаемого газом излучения, коэффициент поглощения смеси газа с частицами таков, как если бы смесь была почти серым газом. Кроме того, исследование радиационных характеристик серых газов дает представление о многих особенностях действительных газов без некоторых осложняющих описание эффектов, присущих последним. Таким образом, серый газ представляет определенный практический и теоретический интерес и он рассматривался во многих работах. Ниже будут записаны уравнения локальной интенсивности излучения и температуры для серого газа.

14.6.1. Уравнения переноса

Для серого газа -Их не зависит от длины волны и будет обозначен через x. Тогда локальную интегральную интенсивность излучения газа можно найти интегрированием уравнения (14.10) по всем длинам волн. В результате получим

J ix(x)dX = exp(-x) J ix{0)dk + 0 о

-hj [{ехр[-(х-х*)]} 5 ixb{-*)dk\dv.*. (14.27) о о

Используя определение интегральной интенсивности излучения

ix(k) dX,

перепишем (14.27) в виде

t(x) = i(0)exp(-x)+ J exp[-(x-x*)]ib(>i*)d>c*. (14.28)

о

Для серого газа а^ не зависит от длины волны X, и из уравнения (14.19) следует ар = а^. Из условия радиационного равновесия в том виде, как оно сформулировано в (14.20), следует

равенство, справедливое на любой оптической глубине внутри среды:

аГ4(х) = л7г(х). (14.29)

I Как следует из (14.14), Т; в (14.29) и i в (14.28) связаны между собой интегралом по полному телесному углу падающего излучения

4лУ,-(х)= J г'(со, x) dco, (14.30)

(0=0

так что уравнение (14.29) принимает вид аГ4(х) = 1 J г'(со, x) dco.

(14.31)

0)=0


Из уравнений (14.28) и (14.31) следует ряд соотношений, связывающих i (х) и Т (х), которые могут;быть использованы для нахождения распределения температуры в сером газе при заданных граничных условиях. Граничные условия необходимы при задании i (0) в (14.28) для каждого направления. Приведенные здесь соотношения будут применены в следующих разделах к плоскому слою серого газа, заключенному между двумя бесконечными черными и серыми параллельными пластинами.

14.6.2. Плоский слой между черными пластинами

Рассмотрим две черные бесконечные параллельные пластины, разделенные серым газом с коэффициентом поглощения а (Т, Р). Газ находится в состоянии радиационного равновесия. Нижняя пластина имеет температуру Ti, а верхняя Т^, (фиг. 14.5). Пластины отстоят друг от друга на расстоянии D. Желательно получить выражения для распределения температуры в газе и потока Л)езультирующего излучения между пластинами. 1 Так как рассматривается система плоскопараллельных тел, то все x в дальнейшем представляют собой х (х), определенные Iho уравнению (14.22). Распределение температуры находится по уравнению (14.31). Интеграл от i по со удобно представить в виде двух частей: первая учитывает интенсивность излучения i, попадающего в dF с направлений положительного значения cos р (в данномСлучае с пластины 1, О < р < 90°), а вторая учитывает интенсивность излучения попадающего в dF с направлений отрицательного значения cos р (в данном случае с пластины 2, 90° < р < 180°). Эти интенсивности излучения показаны на фиг. 14.5, причем угол Р отсчитывается от положительного



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 [ 82 ] 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156

© ООО "Карат-Авто", 2001 – 2018
Разработчик – Евгений Андрианов