излучения интенсивностью ii {X, со, х^), распространяющегося в пределах бесконечно малого телесного угла dco, равна

dQi,a = ax(dV)ix{l, со, Kx)dVdlddi. (14.11)

Интенсивность г£ (к, со, х^,) падающего излучения определяется на основании уравнения переноса (14.10)

гЦХ, со, хя,)-=г;,(?., со, 0)ехр( -хх) +

+ ilbiX, 3<0exp[-(x;,-x£)]dxU,

(14.12)

где ix (X, со, 0) - спектральная интенсивность излучения, распространяющегося в сторону элементарного объема dV от границы системы в пределах телесного угла dco.

Интегрируя уравнение (14.11) по со, найдем энергию излучения, поглощенного объемом dV ( истинное поглощение за вычетом индуцированного излучения) со всех направлений падающего на этот элемент излучения:

4я 4л

cPQ%,a= J d*Qxa = ax{dy)d:V d-k \ ix (К, со, X;,) dco. (14.13)

(0=0 01=0

Для более удобной и компактной записи уравнений вводится средняя интенсивность падающего излучения ix, t (к) в объеме dV

4л7; г(к)\ ix (К со, X;,) dco. (14.14)

Тогда (14.13) примет вид

dQx, а = ах (dV) ix, i (Х) dV dl. (14.15)

Интегрируя (14.15) по всем длинам волн, получим энергию интегрального излучения, поглощенного объемом dV из всей области излучения:

00 оо

dQa = J dQx, adV \ах (dV) h, dl. (14.16) *)

X=0 0

Энергия спонтанного интегрального излучения объема dV получается путем интегрирования по всем длинам волн уравнения (13.34) с использованием %:

d?Qe = J dQx, в = 4dF J ax (dF) ехь {К Т) dl. (14.17)

*) Заметим, что слева стоит дифференциал второго порядка, так как в принятых обозначениях dV - величина порядка dAdS.

ах {I, Т, Р) ехь (К Т) dk \ ах{к, т, Р) ехь {К Т) dk

ар{Т, Р)=.

I ехь (К T)d\

(14.19)

ар - осредненный по спектру коэффициент, в котором нормирующим множителем является спектральная поверхностная плот-

Это уравнение основано на предположении, что объем dF настолько мал, что все излучение, испускаемое dF, покидает его прежде, чем какая-либо его часть успевает поглотиться в этом объеме.

14.4.1. Радиационное равновесие

; В тех случаях, когда другие виды переноса энергии, как теплопроводность и конвекция, пренебрежимо малы в сравнении с излучением, а поле температур стационарно, энергия интегрального излучения, испускаемого объемом dF, равна энергии поглощенного им интегрального излучения. Такое состояние называется радиационным равновесием и представляет собой просто закон сохранения энергии применительно к стационарным условиям в отсутствие иных, кроме излучения, видов переноса. При радиационном равновесии из (14.16) и (14.17) получим

<PQe = dVa

ИЛИ

оо 00

J ах{1, Т, Р)ехь{1, T)dl = n j UxiK Т, P)lx,i{l)dl. (14.18)

о о

Воспользуемся теперь понятием дивергенции вектора. Энергик> результирующего излучения в единице объема можно рассматривать как дивергенцию вектора плотности потока излучения q. Следовательно, из (14.16) и (14.17) получим

V-q = 4 Ja;,(?., Т, Р)1ехь{1, Т) - nix. i (1)] dl о

и (14.18) в случае радиационного равновесия принимает вид

V.q = 0. (14.18а)

14.4.2. Некоторые средние коэффициенты поглощения

В связи с наличием интеграла, учитывающего излучение, в левой части уравнения (14.18) удобно ввести средний коэффициент поглощения по Планку ар {Т, Р), определяемый в виде

НОСТЬ потока излучения черного тела. Он полезен при рассмотрении излучения объема и в некоторых предельных случаях радиационного переноса.

Подставляя (14.19) в (14.18), получим уравнение сохранения энергии в виде

ар [Т, Р) аТ* = я aiK Т, Р) k, г (Ц dX.

(14.20)

Таким образом, если в некоторой точке газа известна интенсивность ix,i {X), то уравнение (14.20) можно решить относительно температуры Т в этой точке. Средний коэффициент поглош,ения по Планку ар удобен тем, что он зависит только от свойств объема dV. Его легко затабулировать, и он особенно полезен в тех случаях, когда давление в системе постоянно.

Другой осредненный коэффициент поглощения связан с наличием учитывающего поглощение интеграла в правой части уравнения (14.20). Это - средний по падающему излучению (или средний модифицированный по Планку) коэффициент поглощения Л; {Т, Р), определяемый в виде

ааТ, P) = --

ах {X, Т, Р) ix, I (X) dk

(14.21)

ix, i (к) dk

Однако в общем случае такое осреднение мало пригодно. Значения ai должны быть затабулированы для всех возможных очета-ний спектральных распределений падающего излучения и спектральных изменений локальных коэффициентов поглощения. Работа по составлению таких таблиц, за исключением некоторых специальных случаев, не оправдана. Подробнее физический смысл некоторых средних коэффициентов поглощения рассматривается в разд. 15.5.1.

14.5. УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА ДЛЯ ПЛОСКОГО СЛОЯ

Иногда в задачах по излучению газов для выяснения влияния отдельных переменных, общее число которых велико, удобно рассматривать системы простой геометрии. Часто во многих работах, как в технике, так и в астрофизике, используется модель плоского слоя. Интерес астрофизиков [1, 21 основан на том, что атмосферу Земли и внешние излучающие слои Солнца можно приближенно представить в виде плоского слоя.

Модель плоского слоя показана на фиг. 14.4. Температура и свойства газа изменяются только вдоль координаты х. Пусть некоторое направление распространения излучения S в газе

расположено под углом Р к направлению х. Тогда оптическая толщина X [х) вдоль координаты х определяется выражением

X (х) = j adx*. о

(14.22)

Связь между оптическими длинами в направлениях S и х дается соотношением

S ж/cos Э ж

.iS)]adS* I (lSF)=wb* = W- (1-)

0 0 о

Уравнение переноса (14.7) справедливо для любого направления, и, таким образом, х в (14.7) есть х {S). Используя (14.23), пере-

Фиг. 14.4. Модель плоского слоя, пишем уравнение переноса в функции х {х)

cosp

дКх {X)

iiliH, p] = ilb[xx(x)].

(14.24)

Частная производная означает, что ix зависит от х^ () и р. Интегральная форма уравнения переноса (14.10) имеет вид

ixiKx, р) = .-аО)ехр(-)ч-

л

ехр

cos р J cos р

;, (14.25)

где все х, входящие в (14.25), соответствуют х {х). Часто бывает удобно ввести новую переменную л = cos р. Тогда уравнение (14.25) записывается в следующем виде:

ix ix, l) = ixiO) ехр()ч-

+ j ixb {У<х) ехр

J [i

. (14.26)

14.6. СЕРЫЙ ГАЗ

Газ, коэффициент ноглощения которого не зависит от длины волны, называют серым газом. Из того, что говорилось об изменении свойств газа но спектру (в связи, например, с фиг. 13.2), очевидно, что газы являются далеко не серой средой. Однако в некоторых случаях в пределах отдельных участков спектра газы можно считать серыми. В других случаях, когда в газе содержатся или в него вводятся частицы сажи или другого вещества для увеличения поглощаемого или испускаемого газом излучения, коэффициент поглощения смеси газа с частицами таков, как если бы смесь была почти серым газом. Кроме того, исследование радиационных характеристик серых газов дает представление о многих особенностях действительных газов без некоторых осложняющих описание эффектов, присущих последним. Таким образом, серый газ представляет определенный практический и теоретический интерес и он рассматривался во многих работах. Ниже будут записаны уравнения локальной интенсивности излучения и температуры для серого газа.

14.6.1. Уравнения переноса

Для серого газа -Их не зависит от длины волны и будет обозначен через x. Тогда локальную интегральную интенсивность излучения газа можно найти интегрированием уравнения (14.10) по всем длинам волн. В результате получим

J ix(x)dX = exp(-x) J ix{0)dk + 0 о

-hj [{ехр[-(х-х*)]} 5 ixb{-*)dk\dv.*. (14.27) о о

Используя определение интегральной интенсивности излучения

ix(k) dX,

перепишем (14.27) в виде

t(x) = i(0)exp(-x)+ J exp[-(x-x*)]ib(>i*)d>c*. (14.28)

о

Для серого газа а^ не зависит от длины волны X, и из уравнения (14.19) следует ар = а^. Из условия радиационного равновесия в том виде, как оно сформулировано в (14.20), следует

равенство, справедливое на любой оптической глубине внутри среды:

аГ4(х) = л7г(х). (14.29)

I Как следует из (14.14), Т; в (14.29) и i в (14.28) связаны между собой интегралом по полному телесному углу падающего излучения

4лУ,-(х)= J г'(со, x) dco, (14.30)

(0=0

так что уравнение (14.29) принимает вид аГ4(х) = 1 J г'(со, x) dco.

(14.31)

0)=0

Из уравнений (14.28) и (14.31) следует ряд соотношений, связывающих i (х) и Т (х), которые могут;быть использованы для нахождения распределения температуры в сером газе при заданных граничных условиях. Граничные условия необходимы при задании i (0) в (14.28) для каждого направления. Приведенные здесь соотношения будут применены в следующих разделах к плоскому слою серого газа, заключенному между двумя бесконечными черными и серыми параллельными пластинами.

14.6.2. Плоский слой между черными пластинами

Рассмотрим две черные бесконечные параллельные пластины, разделенные серым газом с коэффициентом поглощения а (Т, Р). Газ находится в состоянии радиационного равновесия. Нижняя пластина имеет температуру Ti, а верхняя Т^, (фиг. 14.5). Пластины отстоят друг от друга на расстоянии D. Желательно получить выражения для распределения температуры в газе и потока Л)езультирующего излучения между пластинами. 1 Так как рассматривается система плоскопараллельных тел, то все x в дальнейшем представляют собой х (х), определенные Iho уравнению (14.22). Распределение температуры находится по уравнению (14.31). Интеграл от i по со удобно представить в виде двух частей: первая учитывает интенсивность излучения i, попадающего в dF с направлений положительного значения cos р (в данномСлучае с пластины 1, О < р < 90°), а вторая учитывает интенсивность излучения попадающего в dF с направлений отрицательного значения cos р (в данном случае с пластины 2, 90° < р < 180°). Эти интенсивности излучения показаны на фиг. 14.5, причем угол Р отсчитывается от положительного