Глава 12

?о(Х) = €аП(Х) + (1-е qi {X).

(12.21)

Уравнения (12.20) и (12.21) решаются совместно, чтобы исключить qi- В результате получаем

qo {X) = {h [Т^ {X) - Tg (Х)] - q} + аГ (X). (12.22)

Процедура вывода уравнения (12.14) применима и для случая серых поверхностей, если в этом случае излучение поверхности oTw заменить на qo- Это дает

h[T{X)-TgiX)]+qo{X) = q+ J qiS) dFax-d3i\X-3\) +

+ oTt, iFax-1 (X) + oTr, Fdx-i{L-X). (12.23)

Уравнение (12.15) остается неизменным в случае серых стенок. S Таким образом, уравнения (12.22), (12.23) и (12.15) образуют систему уравнений с неизвестными (X), до (X) и Tg (X). В работе [23] приведены некоторые численные решения этой системы уравнений.

12.5. СОВМЕСТНОЕ ДЕЙСТВИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ, ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И КОНВЕКЦИИ

Основные элементы выводов, представленных в разд. 12.3 и 12.4, могут быть объединены при рассмотрении систем, в которых наряду с излучением перепое тепла осуществляется как теплопроводностью, так и конвекцией. Уравнения энергии становятся в этом случае более сложными, поскольку они содержат как разности телшератур (при описании конвекции), так и производные от температуры (при описании тенлопроводности). Они содержат также большое число независимых параметров, включающих коэффициент теплоотдачи, коэффициент теплопроводности стенки, характерные размеры системы, т. е. величины, определяющие конвекцию и теплопроводность. В результате таких усложнений не существует каких-либо классических решений или методов расчета, и, как правило, необходимо использовать чпслепные методы решения.

Основные принципы решений будут приведены ниже нри рассмотрении нескольких частных задач. Дополнительная информация по этому вопросу и некоторые результаты содержатся в работах [26-35].

ПРИМЕР 12.7. Вернемся вновь к рассмотренной в примере 12.5 трубе, которая равномерно обогревается, идеально изолирована

Теплообмен излучением при наличии других видов переноса энергии 441

С наружной поверхности и имеет черную внутреннюю поверхность. Через трубу подается газ. Коэффициент теплоотдачи h предполагается постоянным. Теперь будем учитывать перенос тепла теплопроводностью по стенке трубы в осевом направлении. Коэффициент теплопроводпости стенки трубы/Cju, ее тспщина 6, внутренний диаметр/);, наружный диаметр Do- Найти распределение температуры по длине трубы. Стенка трубы предполагается достаточно тонкой, поэтому температура по то.чщине стенки в каждом сечении постоянна.

В уравнении баланса энергии (12.14) следует учесть теплопроводность вдоль стенки трубы. Подвод тепла вследствие теплопроводности стенки к элементарному участку трубы описывается выражением]

n{Dl-D\) йТи,(Х)

Vc,i- -ш 4 f

а отвод тепла от него - выражением

г, I. n{Dl-D\) [йТЩ , dr(X)y-Vc, о- -4 I Jx- Jx Л

Результирующий подвод энергии вследствие теплонроводностн

стенки равен.

КшП-1---аХ .

Разделим этот член на площадь внутренней поверхности кольца nDidX и затем добавим его в правую часть уравнения (12.14). В результате будет получено уравнение баланса энергии

h [Т^ (X) - Tg (X)] -f oTi (X) =q + ka. +

+ \ aTi{E)dFax-d3{\X-E\) + s=o

-f oTr, iFax-i (X) -f oTt, 2Fdx-2 (L- X). (12.24)

Как и при выводе уравнения (12.16), приведем все длины к безразмерному виду путем деления на внутренний диаметр трубы, а также введем ряд безразмерных параметров. Новый параметр обусловлен дополнительным членом, учитывающим теплопроводность:

Длятонких стенок (D £),)/2 = b < 1, и тогда'этот член преобразуется к виду 1)

Этот>араметр используется в некоторых|работах.

2.8-

x = X/Di

Фиг. 12.7. Распределение температуры в стенке трубы с черной повевхногткт при течении в ней прозрачного газа с учетом совместного дейЗ им учения, конвекции и теплопроводности. / = 5; 8 = 0,005; iV = 0,316; я = 1,58; f, , = ; , = О 316-i -I

расчетаГслошного теплообмена; конвекц#4 и теплопров'одн^т>? -Р^У^ьтат

няющая кривая для сложного теплообменГТ/ ?эраТмер°н\ я трубы; (ц, (ж)/- безразмерная температура стенки.

S Уравнение энергии в безразмерном виде записывается следую-щим]образом:

-f j tUl)dFax-di(x-l)-{- \ ttil)dF, aiil-x) +

+ 4. iFax-i (x) + 4, 2Fdx-2{l~x). (12.25)

Уравнение энергии для объема газа внутри элементарного участка трубы остается таким же, как и уравнение (12.17):

-S[tu,{x)~tg(x)]. (12.26)

Эти уравнения можно рассматривать совместно, как это сделано при выводе уравнения (12.19).

Хоттель [26] решил эту задачу, используя несколько иные параметры. Он получил численное решение еще до того, как начали широко использовать быстродействующие электронные вычислительные машины. На получение решения для одного набора параметров и пяти кольцевых участков трубы потребовалось 10 ч ручного счета. Это свидетельствует о сложности рассматриваемой задачи. На фиг. 12.7 приведены результаты, выраженные через используемые в настоящем разделе параметры.

Рассматриваемая задача содержит еще граничные условия для тенлонроводности. Для решения уравнения (12.25) необходимо два граничных условия, поскольку при интегрировании члена, содержащего dtjdx, появляются две произвольные постоянные. Эти граничные условия зависят от физических условий на концах трубы, которые определяют количество тепла, передаваемого теплопроводностью. В работе [27] были получены некоторые результаты для задачи такого рода; ири этом для простоты предполагалось, что концы трубы теплоизолированы, т. е.

= 0.

(\/

X=o dX

в работе [27] был также рассмотрен более общий случай, когда коэффициент теплоотдачи меняется по длине трубы. При этом необходимо учитывать изменение h на начальном тепловом участке.

ПРИМЕР 12.8. В качестве второго примера задачи о совместном действии теплопроводности, конвекции и излучения рассмотрим ребро (фиг. 12.8). Газ с]температурой Те обтекает ребро и отводит тепло нутем|конвек-ции. Окружающая среда, в которую ребро излучает тепло, также имеет температуру Т^. Ребро имеет поперечное сечение площадью А и периметром Р.

Уравнение баланса энергии для элементарного участка длины dX имеет вид

Фиг. 12.8. Ребро постоянного сечения, от которого тепло отводится излучением и конвекцией (охлаждающий газ и окружающее пространст-[во имеют температуру т^.

dT dX

dX = еа (Г* - Ti) PdX + hP dX (Т -Те). (12.27)

Левая часть представляет собой результирующий подвод энергии вследствие тенлонроводности, члены в правой части соответствуют потерям вследствие конвекции и излучения. Теплообменом излу-

чением между ребром и его основанием пренебрегаем. Это уравне-

?Л%7 г^/Т. Рлч^?; функции Т{Х). Умножая (12.27) на [1/(Ы dX)\ dT/dX, получим

Интегрируя правую и левую части, получаем

МжТ=-{-ТТ.)+(1-ТТ.)+С. (12.28,

где С - постоянная интегрирования.

Для простоты примем Те О, а ребро будем считать очень длинным. 1огда при больших значениях X, Т (Х) О и dT/dX -0 и из уравнения (12.28) следует С = 0. Решая теперь (12.28) относительно dTldX, получим

Pea у5 I hP

к А }

5 Ы

(12.29)

Знак минус означает, что Т уменьшается с увеличением X. Переменные в уравнении (12.29) можно разделить и проинтегрировать его при граничном условии: Т (Х) = Гь при X = О

-{Реа/кА) T + hP/kA

После интегрирования получим

(СГ + Л/)1/2 д/1/2

{GT3+M)i!-M (G73 + A/)V2 j yl/2

(Gr+ 1/2 j 11/2

(12.30)

где G = y,{Po/kA) и M = hP/kA. Таким образом, для рассматриваемой упрощенной задачи можно получить аналитическое решение для распределения температуры в замкнутом виде.

Подробный анализ задачи такого рода с учетом отвода тепла от поверхности ребра путем конвекции и излучения приведен в работах [33-35].

12.6. ПРОГРАММЫ РАСЧЕТА ЗАДАЧ СЛОЖНОГО ТЕПЛООБМЕНА НА МАШИНЕ

За исключением простых с точки зрения геометрии случаев решение задач сложного теплообмена связано с большими трудностями. По этой причине в настоящей работе были решены только достаточно простые задачи. Вследствие математических трудно-

стей был разработан ряд обобщенных программ расчета задач сложного теплообмена на машинах с использованием метода конечных разностей; некоторые из них изложены в работах [36-42]. Такие программы содержат рецепты решений, удовлетворяющих вводимым в них ограничениям. Все эти программы позволяют учитывать совместное действие теплопроводности, излучения и конвекции, причем большинство из них позволяет также учитывать внутреннее тепловыделение, неустановившийся характер течения, переменность физических свойств, массообмен, изменение состояния, теплоемкость рассматриваемой среды, трехмерность задачи. Эти программы записаны на одном из языков Фортран, и в каждой используется метод электроаналогпи для математической формулировки задачи и нахождения значений параметров на входе. Хотя мы и отмечаем общий характер этих программ, они составлены при одном общем допущении о диффузно-серых поверхностях, и каждая из них имеет свои особенности и ограничения. Инженеру приходится решать, заняться ли ему изучением особенностей некоторой общей программы с ее ограничениями и подгонкой к ней своей задачи или вместо этого специально составить свою собственную программу.

12.7. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Нами рассмотрены задачи сложного теплообмена с учетом теплообмена излучением через прозрачную среду. По существу, их рассмотрение сводилось к выводу уравнений баланса энергии для элементарных площадок или поверхностей конечных размеров. Основная трудность связана с математическим решением этих уравнений.

Для решения таких задач с известным успехом применялись многие математические методы. Когда приходится решать задачу сложного теплообмена,-необходимо выяснить, какой метод оказался подходящим при решении аналогичных задач. Выбор очень широк: от приближенных методов конечных разностей до сложных аналитических методов. В прилагаемом списке литературы содержатся работы, в которых приведены характерные задачи для сложного теплообмена, методы их решения и описание специальных математических методов.

Литература

1. Chambers R. L., Somers Е. V., Radiation Fin Efficiency for One-dimensional Heat Flow in a Circular Fin, /. Heat Transfer, 81, № 4, 327-329 (1959).

2. Келлер Г. Г., Холдридж Э. С, Лучистый теплообмен кольцевых ребер трапенеидальной формы, Труды амер. о-ва инж.-мех., сер. С, Теплопередача, № 2, 118 (1970).

3. Ungar е. е., Mekler l. а., Tube Metal Temperatures for Structural Design, /. Eng. Ind., 82, № 3, 270-276 (1960).