Заметим, что если ряд ребер является бесконечным, то нельзя получить никакой выгоды, присоединяя ребра к черной поверхности основания, нескольку никакая поверхность не может испускать больше энергии, чем черная. Однако направленные характеристики такой поверхности делают ее привлекательной для некоторых приложений, как это уже отмечалось в гл. 5.

В работах [10-20] приводятся решения других задач с учетом взаимного влияния ребер.

Приведенные в настоящем разделе примеры содержат упрощающее предположение о постоянстве физических свойств. В случае переменных свойств основные понятия остаются такими же, что и в рассмотренных примерах, однако вид уравнений несколько усложняется. При рассмотрении сложного теплообмена в некоторых случаях диффузно-серое приближение становится несправедливым.

При использовании метода конечных разностей для решения задач радиационно-кондуктивного теплообмена уравнение энергии заменяется системой нелинейных алгебраических уравнений. При постоянных физических свойствах члены, учитывающие теплопроводность, будут содержать температуру в первой степени, а члены, учитывающие излучение, будут содержать температуру в четвертой степени. Для решения такой систелп ! уравнений Несс [21] предложил быстро сходящийся итерационный метод расчета на ЭВЦМ, основанный на методе Ньютона - Рафсона. Предположим, что записанная в конечных разностях система уравнений для задачи радиационно-кондуктивного теплообмена имеет вид

{anti -f aj\) + (ai2h -Ь aj -]- + {aiJn + - = 0,

{anU + a;,itt) -b -b {ацЬ + а'ф)) -Ь -Ь {amtn + аУп) -

-bi = 0, (12.10)

{aniti + aiit) + + {anjtj + anjtf) -\r + {anntn + а'ппИ) -

-Ь„ = 0.

Через tj обозначена /-я температура, а через ац и а'ц - коэффициенты при линейном и нелинейном относительно температуры членах.

В методе Ньютона - Рафсона сначала задается приближенное значение для каждой температуры (о)- Затем вычисляется поправка су, так что tj = tja + Cj. Исправленное значение температуры используется для расчета новой поправки Cj, и процесс продолжается до тех нор, пока Cj не станет меньше некоторой заданной величины. Значения Cj находят путем решения следующей

Системы линейных уравнений:

iiiCi + /i2C2 -f .. + fmCn -Ь /i = О,

fiiCi -Ь .. + iijCj + .. -Н finCn -Ь /г = О,

fniCi -Ь /п2С2 -]- .-[- /ппСп -Ь /п = 0. Коэффициенты определяются по формуле

а jij равен

/;= S iai]tjo + aijtio) - bi, fij = aij + Aaist%.

(12.11)

(12.12) (12.13)

12.4. СОВМЕСТНОЕ ДЕЙСТВИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ И КОНВЕКЦИИ

Подход к рассмотрению задач о совместном действии излучения и конвекции точно такой же, как и в случае совместного действия излучения Ид теплопроводности. Только вместо производных от температуры при описании теплопроводности теперь появляются разности температур при описании конвекции; другими словами, основные уравнения энергии остаются нелинейными и зачастую практически нерешаемыми.

Задачи о совместном действии излучения и конвекции приходится решать при рассмотрении конвективных завихрений и их влияния на излучение звезд; при проектировании печей, в которых перенос тепла от нагретых поверхностей осуществляется одновременно излучением и конвекцией; ири анализе взаимодействия солнечного излучения с земной поверхностью, в результате которого возникает сложная картина свободных конвективных токов, что затрудняет прогнозирование погоды; при расчетах свободных конвективных течений^ океанах и озерах.

В качестве примера использования принципов сложного теплообмена в технических приложениях рассмотрим задачу о течении газа в нагретой трубе. Решения такого рода задач представлены в работах 22-25].

ПРИМЕР 12.5. Прозрачный газ поступает в круглую трубу с черной внутренней поверхностью (фиг. 12.5). Труба имеет тонкие стенки, наружная поверхность которых идеально изолирована. Стенки трубы обогреваются с помощью электрического нагревателя, обеспечивающего равномерное распределение плотности теплового потока q. Найти распределение местной температуры стенки по длине трубы. Коэффициент теплоотдачи к газу на внутренней поверхности трубы А, предполагается постоянным. Средняя скорость газа и^, теплоемкость Ср и плотность р/.

Если не учитывать излучение, то местный тепловой ноток, подводимый к газу, был бы равен местному выделению тепла от электрического нагревателя (поскольку снаружи труба изолирована) и, следовательно, был бы одинаков в любой точке X вдоль оси трубы. Вследствие этого как температура газа, так и температура стенки изменялись бы по линейному закону по длине трубы.

Отвод газа при

Равномерный побВов энергии к стенке трубы изолированной снаружи

Фиг. 12.5. Течение газа в трубе с равномерным распределением плотности теплового потока на стенке и изолированной наружной поверхностью.

С другой стороны, если не учитывать конвекцию, то единственным способом отвода тепла было бы излучение торцов трубы, как в примере 8.9. В этом примере при одинаковой температуре окружающей среды на обоих концах трубы температура стенки имеет максимум в центре трубы и постепенно уменьпгается к торцам. Можно предполагать, что решение задачи при совместном действии излучения и конвекции до некоторой степени будет отражать обе тенденции указанных предельных случаев.

Рассмотрим уравнение баланса энергии для кольцевого элемента внутренней поверхности трубы длиной dX в точке X (фиг. 12.5). Энергия, подводимая к кольцевому элементу в единицу времени, равна

qu,nDdX+ 5 оГ* (S)dfds-dx(l 3-ХDitDdS-h

+ оП, 1 dFi-ix (X) + оП,2 dF2-ax (L-X).

я02 Г

Qo,g = UmPfCp-T- Tg(X)

dTgjX) dX

Приравнивая подведенную и отведенную энергии, получим уравнение баланса энергии

UmPfCp

dTg (X)

= h[T {X)-TgiX)].

(12.15)

Это уравнение содержит члены, учитывающие энергию, выделяемую нри обогреве стенки трубы электрическим нагревателем, энергию, подводимую к элементу dAx вследствие излучения других э.11ементов внутренней поверхности трубы (разд. 8.4.1), и энергию, подводимую к dAx вследствие излучения окружающей среды (на входе и выходе из трубы). Предполагается, что окружающая среда оказывает такое же действие, как черные диски, имеющие температуру окружающей среды на входе и выходе, которая должна быть задана. Обычно предполагается, что окружающая среда на входе и выходе имеет температуру входящего и выходящего газа. Энергия, отводимая конвекцией и излучением от кольцевого элемента, расноложенного на расстоянии X от входа, равна

hnD dX [Т^ (X) - Tg (X)] + аП (X) лП dX.

Если пренебречь теплопроводностью в осевом направлении, поток энергии, подводимый к кольцевому элементу, должен быть равен потоку отводимой от него энергии. Приравнивая эти потоки, получим следующее выражение (с использованием соотношения взаимности для углового коэффициента F, чтобы исключить из результирующего уравнения dX, разделив на эту величину левую и правую части):

h [Т^ (X)-Tg (X)] + oTt, (X) = g ; + j oTt (H) dFx-aE ( X - S ) +

+ oTi, iFax-i {X) + oTr, 2Fdx-2(L-X). (12.14)

Это уравнение содержит два неизвестных Т^ (X) и Тg (Х); следовательно, для получения решения необходимо второе уравнение. Для этого запишем уравнение баланса энергии для объема газа на участке трубы длиной dX. Энергия, иодведенная к этому объему входя1Й;им газом, равна

Qi,g = Urr,PfCpTg{X).

Дополнительная энергия, подведенная вследствие конвекция от стенки, равна

dQi,g = nDh [Т^ (X) - Tg (X)] dX. Энергия, отведенная с уходящим газом, равна

После введения безразмерных величин

4А 4Nu

5 = -

mP/Cp ~ RePr

fe / Clu, \ V4 1/4

и X = = Н/ Z), Z = LID уравнения баланса^ энергии

на стенке и в элементарном объеме газа будут иметь соответственно вид

4 {X) Аг Н [t (X) -fg (X)] = 1 + J 4 il) dZ-dx-di (х-1) +

+ J 4 (I) d/dx-dl (-X) iZ-d.i (X) + tr, 2dx-2 (г-х), (12.16)

dtg (x)

= S[t{x)-tgix)].

(12.17)

Таким образом, получено два уравнения с'двумяеизвестными tu, (х) И (х), содержащие пять параметров: S, Н, I, tr.x и tr,2-Угловые коэффициенты можно получить с помощью известных выражений для угловых коэффициентов двух дисков (метод их определения приведен в примере 7.19, они описываются уравнением (7.64), а значения приведены в примере 8.9).

Заметим, что (12.17) является линейным дифференциальным уравнением первого порядка, которое можно решить в общем виде с помощью метода интегрирующего множителя. В качестве граничного условия при X = О задана температура газа tg. В общем виде решение записывается следующим образом:

ж

tg 1х) = J е^К (1) dl + tg, le-s-.

(12.18)

Его можно подставить в уравнение (12.16), чтобы исключить tg (х) и получить следующее интегральное уравнение относительно температуры стенки трубы:

= 1-Ь J ti{l)dFa. ai(x-l)+ \ ti{l)dFa,-al(l-x) +

+ tr. iFd.-I (X) + 4, 2Fdx-2 {1-х).

(12.19)

Решения уравнения (12.19) были найдены Перлмуттером и Зи-гелем [22], и некоторые характерные результаты, полученные методом численного интегрирования, приведены на фиг. 12.6. Заметим, что расчетные значения температуры стенки в случае совместного действия излучения и конвекции лежат ниже расчетных кривых, соответствующих только конвекции или только излучению. Для короткой трубы влияние излучения существенно но всейдлине, и для приведенных на фиг. 12.6 параметров 2,90р

2, ТурИзменение масштаба

6,0-----

4 о Изменение I масштабе у \ 3,6

10 20 30 40 50 X/D 6

Фиг. 12.6. Распределение температуры в стенке равномерно. обогреваемой трубы с черной поверхностью при течении в ней прозрачного газа с учетом

совместного действия излучения и конвекции. S = 0,02; Н = 0,8; t. j = t j = 1,5; l. = g, 2 a - hji = Ь\б - L/d = 50;-сложный теплообмен; - - - только излучение;-----только конвекция; tw - безразмерная температура стенки; X/d - безразмернаякоордината вдоль оси трубы.

распределение температуры при совместном действии конвекции и излучения такое же, как и в случае одного только излучения. Для длинной трубы распределение температуры в средней части при совмес1:дом действии конвекции и излучения очень близко к распределению температуры в случае одной только конвекции. Теплообмен при совместном действии конвекции и излучения происходит интенсивней, чем при каком-либо одном виде теплообмена. Это означает, что кривая распределения температуры при сложном теплообмене всегда лежит ниже кривых, соответствующих одному только виду переноса тепла.

ff ПРИМЕР 12.6. Какой видТ будут иметь уравнения энергии, если внутренняя поверхность трубы, рассмотренной в примере 12.5, диффузно-серая, а не черная?

Используя метод сальдо, получим из условия теплового баланса на элементарной поверхности, расположенной на расстоянии X от входа, следующее уравнение:

{X) + qi {X) = q, {X) + h [Т^ {X) - Tg (X)], (12.20)

где g, и go - плотности потоков падающего и эффективного излучений. Для плотности потока эффективного излучения можно запи-