Глава 11

бросу результатов для углов, расположенных вблизи оси конуса, где sin р -> 0.

0,4 0,3 0,2 0,1

0,2 0,3 0,4

Фиг. 11.11. Ожидаемое стандартное отклонение результатов расчетов двунаправленной отражательной способности конической полости с диффузной

стенкой [19].

fir - угол отражения в плоскости падения; р двунаправленная отражательная способность.

Применение результатов к поверхностям с селективными и направленными свойствами. Известно небольшое число работ, посвященных задачам теплообмена излучением между иоверхностями с направленными и селективными свойствами. По-видимому, это обусловлено двумя причинами. Во-иервых, не часто в литературе можно найти точное и полное описание спектральных и особенно направленных свойств новерхностей. Поэтому может не оказаться необходимых данных для решения задачи с учетом этих свойств. Во-вторых, задачи такого рода обычно весьма специфичны и представляют небольшой интерес для широких кругов читателей и поэтому не публикуются в открытой литературе. Как указывали Данн и др. [22], теперь, когда появились данные о радиационных свойствах поверхностей, существуют методы решения задач о теплообмене излучением между такими иоверхностями, и одним из наиболее подходящих является метод Монте-Карло.

Тур, Висканта и др. [23-26] успешно использовали метод Монте-]карло для решения некоторых задач с учетом направленных и селективных свойств поверхностей. Некоторые из этих результатов были рассмотрены в гл. 10.

Применение метода Монте-Карло к задачам теплообмена излучением 417

11.4.6. Трудности, связанные со статистическим характером метода Монте-Карло

Расчеты по методу Монте-Карло дают результать!, которые колеблются около действительного значения, поскольку этот метод представляет собой повторяющийся эксперимент, использующий математическую модель вместо реальной физической задачи. Для определения погрешности можно использовать стандартные статистические тесты; ее можно уменьшить такими же способами, как и ошибки эксперимента, т. е. путем осреднения большого числа проб (историй пучков) и (или) путем уменьшения вариации отдельных проб.

Не существует строгих критериев, гарантирующих сходимость результатов, полученных методом Монте-Карло, к действительным решениям. Однако до сих пор сходимость не вызывала трудностей при решении задач теплообмена излучением. Часто становится очевидной сходимость к ошибочным решениям, которая связана с предельными решениями и физическими ограничениями для большинства радиационных задач.

Наибольшая трудность при исиользовании метода проб связана с определением оптимального размера выборок проб. Такие трудности свойственны многи.м процессам переноса, которые в математическом отношении сродни процессам переноса излучения, поэтому для получения адекватного размера выборок проб были разработаны методы взвешивания длин свободного пробега пучков. С помощью этих методов ценой дополнительных сложностей удается сократить машинное время и повысить точность.

11.4.7. Заключительные замечания

В данной главе был рассмотрен метод Монте-Карло, применяемый для решения сложных задач радиационного обмена. Были приведены два примера, показаны преимущества и недостатки метода с соответствующими ссылками на источники.

Из изложенного следуют некоторые выводы. Во-первых, метод Монте-Карло по-видимому имеет определенное преимущество перед другими методами расчета обмена излучением, когда трудности решения рассматриваемой задачи выше некоторого неопределенного уровня. Этот уровень обычно не может быть установлен, поскольку он зависит не только от данной частной задачи, но, возможно, от опыта, квалификации и привычек отдельного программиста. Метод Монте-Карло несколько уступает в общности другим методам, поскольку для каждой задачи требуется своя методика и часто нелишней оказывается изобретательность исследователя. Это возлагает дополнительное бремя на программиста, требует мобилизации его опыта и интуиции, в то время как стандартные методы, если они вообще применимы, позволяют программисту руководствоваться обычным справочником программ.

27-0697

Во-вторых, в современных задачах теплообмена излучением параметры и математические соотношения обычно заключены в пределах, позволяющих составлять программы расчета по методу Монте-Карло без использования более экзотических схем, как это обычно бывает при исследовании других явлений переноса методом Монте-Карло.

В-третьих, несмотря на все свои преимущества, метод имеет ряд недостатков. Худшие из них - статистический характер результатов и отсутствие гарантированной сходимости к истинному среднему значению. Следует заметить, что последний недостаток присущ многим методам решения сложных задач, поскольку строгие математические критерии, гарантирующие сходимость решения, известны в редких случаях.

Наконец, при использовании метода Монте-Карло часто облегчается понимание физической сущности рассматриваемых задач, поскольку анализируемая модель проста, а ее математический аппарат менее сложен. Напротив, при использовании, скажем, матрицы интегральных уравнений достигаются довольно бедные физические представления и весьма скудные результаты.

Литература

1. Хауэл.т Дж. р.. Применение метода Монте-Карло к задачам теплопередачи, сб. Успехи теплопередачи , изд-во Мир , М., 1971, стр. 7-67.

2. Kahn Н., Applications of Monte Carlo. Rep. № RM-1237-AEG (AEQ № AECU-3259), Rand Corp., Apr. 27, 1956.

3. Hammersley J. M., Handscomb D. C, Monte Carlo Methods, Wiley, New-York, 1964.

4. The Bible, 1 Kings 7 : 23; 2 Chron. 4 : 2.

5. Metropolis N.. Ulam S. The Monte Carlo Method, /. Am. Statist. Assoc. 44, № 247, 335-341 (1949).

6. Cashwell E. D., Everett C. J., A Practical Manual on the Monte Carlo Method for Random Walk Problems, Pergamon Press, New York, 1959.

7. Schreider Yu. A. (ed.). Method of Statistical Testing-Monte Carlo Method, American Elsevier Publishing Company, Inc., New York, 1964.

8. Brown G. W., Monte Carlo Methods, in Modern Mathematics for the Engineer, E. F. Bechenbach (ed.), pp. 279-307, McGraw-Hill, New York, 1956.

9. Meyer H. A. (ed.), Symposium on Monte Carlo Methods, Wiley, New York, 1956.

10. Rand Corp., A Million Random Digits with 100,000 Normal Deviates, The Free Press of Glcncoe, 111., Chicago, 1955.

11. Kendall M. G., Smith B. В., Tables of Random Sampling Numbers, 2d ser., Cambridge University Press, London, New York, 1954.

12. Taussky 0., Todd J., Generating and Testing of Pseudo-Random Numbers, Symposium on Monte Carlo Methods, in H. A. Meyer (ed.), 15-28, Wiley, New York, 1956.

13. Kendall M. G., Smith B. В., Randomness and Random Sampling Nupibers, Roy. Statist. Soc. J., pt. I, 147 - 166 (1938).

14. Двайт Г. Б., Таблицы интегралов и другие математические формулы, изд-во Наука , М., 1964.

15. Янке е., Эмде Ф., Таблицы функций с формулами и кривыми. Физмат- гиз, 1959. (третье издание),

16. Howell J. R., Calculation of Radiant Heat Exchange by the Monte Carlo Method, Paper № 65-WA/HT-54, ASME, November 1965.

17. Корлет P. K., Непосредственное применение метода Монте-Карло к расчету лучистого теплообмена в вакууме, Труды амер. об-ва инж.-мех., сер. С, Теплопередача, № 4, 43 (1966).

18. Weiner М. М., Tindall J. W., Candell L. M., Radiative Interchange Factors by Monte Carlo, Paper X 65-WA/HT-51, ASME, Nov. 1965.

19. Polgar L. G., Howell J. R., Directional Thermal-radiative Properties of Conical Cavities, NASA TN D-2904, 1965.

20. Polgar L. G., Howell J. R., Directional Radiative Characteristics of Conical Cavities and Their Relation to Lunar Phenomena, in Thermophysics and Temperature Control of Spacecraft and Entry Vehicles, G. B. Heller (ed.), 311-323, Academic Press, Inc., New York, 1966.

21. Sparrow E. M., Jonsson V. K., Radiant Emission Characteristics of Diffuse Conical Cavities, /. Am. Opt. Soc, 53, № 7, 816-821 (1963).

22. Dunn S., Richmond T. J. C, Parmer J. F., Survey of Infrared Measurement Techniques and Computational Methods in Radiant Heat Transfer, /. Spacecraft Rockets, 3, № 7, 961-975 (1966).

23. Toor J. S., Radiant Heat Transfer Analysis among Surfaces Having Direction Dependent Properties by the Monte Carlo Method, M. S. thesis, Purdue University, 1967.

24. Viskanta R., Schornhorst J. R., Toor J. S., Analysis and Experiment of Radiant Heat Exchange Between Simply Arranged Surfaces, Purdue University (AFFDL-TR-67-94, DDC № AD-655335), June 1967.

25. Toor J. S., Viskanta R., A Numerical Experiment of Radiant Heat Exchange by the Monte Carlo Method, Int. J. Heat Mass Transfer, 11, JV 5, 883-897 (1968). j , , ,

26. Toor J. S., Viskanta R., Effect of Direction Dependent Properties on Radiant Interchange, /. Spacecraft Rockets, 5, Ki 6, 742-743 (1968).

1. Элементарная площадка dA, имеет направленную степень черноты (Р) = 0,8 cos р. Используя метод Монте-Карло, найти для приведенной ниже геометрической конфигурации долю энергии излучения, испускаемого dAi, которая и поглощается черным диском А2. Сравнить полученный результат с аналитическим решением. Ответ: 0,35.

Глава 11

2. Составить блок-схему расчета методом Монте-Карло углового коэффициента Fмежду элементарной площадкой и перпендикулярным ей диском из примера 7.6.

3. Составить полную блок-схему решения методом Монте-Карло задачи 8.7 для случая серых новерхностей.

4. Составить программу и решить задачу 11.3 при L = 1, = = 2 = 1 и при L = 1, 1 = 2 = 0.5. Сравнивая эти два результата, проверить результат решения задачи 8.7,6.

5. Методом Монте-Карло получить решение задачи о теплообмене между несерыми бесконечными параллельными пластинами, рассмотренной в примере 10.2.

6. Методом Монте-Карло получить решение второй части примера 9.5, когда поверхность А, отражает зеркально.

ТЕПЛООБМЕН ИЗЛУЧЕНИЕМ НРИ НАЛИЧИИ ДРУГИХ ВИДОВ ПЕРЕНОСА ЭНЕРГИИ

12.1. ВВЕДЕНИЕ

В предыдущих главах рассматривался перенос тепла только излучением. Во многих реальных системах, однако, значительное количество тепла может переноситься также путем теплопроводности и (или) конвекции, поэтому необходимо учитывать совместное действие всех видов переноса тепла. Их взаимодействие в некоторых случаях достаточно простое. Например, диссипация тепла вследствие излучения и конвекции может быть, по существу, независимой, и поэтому ее можно рассчитывать по отдельности, а затем суммировать. .В других случаях взаимодействие весьма сложное.

Рассмотрим некоторые примеры такого сложного теплообмена. В энергетических установках с паровым циклом, действующих в открытом космосе, сброс тепла осуществляется излучением. В приведенном на фиг. 12.1,а космическом радиаторе пар, являющийся рабочим телом, конденсируется, и при этом выделяется скрытая теплота парообразования. Затем тепло вследствие теплопроводности через стенки конденсатора отводится в ребра, которые излучают его в космос. Распределение температуры в ребрах и их эффективность зависят от совместного действия теплопроводности и излучения.

Ири одном из способов охлаждения стальных полос на сталеплавильных заводах (фиг. 12.1, б) лист горячего металла перемещается мимо пакета холодных труб и теряет тепло вследствие излучения. Поверх листа продувается охлаждающий газ. Для нахождения распределения температур вдоль стальной полосы необходимо рассмотреть совместное действие излучения и конвекции.

В ядерном ракетном двигателе (типа приведенного на фиг. 12.1, е) газообразный водород нагревается нри прохождении через высокотемпературную активную зону ядерного реактора. Затем горячий газ истекает через ракетное сонло. К внутренней новерхности ракетного сопла тепло подводится излучением от выходного сечения активной зоны реактора, а также конвекцией от потока рабочего газа ракетного двигателя. Оба эти потока энергии отводятся теплопроводностью через стенки сопла и затем снимаются потоком охляпителя.