Главная  Теории теплообмена излучением 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 [ 65 ] 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156

Кроме того, в марковском процессе величины, выбранные на каждом шаге, должны быть заданы случайным образом, чтобы каждый выбор в цепи был независимым.

В дальнейшем на примере стрелка из лука мы увидим, как это делается. Частотная кривая на фиг. 11.1 может быть аппроксимирована аналитическим выражением

/(Ю = ? (11.2)

в интервале О < g < 10 и / () = О за пределами этого интервала, поскольку все стрелы достигают мишени. Нормализуем уравне-

lOOf-


Фпг. 11.1. Распределение частоты попадания стрел на различные радиусы

мишени.

/ (б) - частота попаданий, - радиальная координата на мишени.

ние (11.2), разделив обе его части на площадь под частотной кривой (т. е. на общее число стрел). В результате получим

f{l)>

1000

(11.3)

Если исходя из частоты, с которой стрелы поражают мишень, оценить значения для стрел из следующей серии, то функция плотности вероятности, определяемая уравнением (11.3), есть то среднее распределение, которому должны удовлетворять значения определенные с помощью выбранной схемы моделирования. Функция плотности вероятности приведена на фиг. 11.2; физически

~От6рако6анные О 8- значения ,

0,6 0,4 0,2

1000

\ Принятые - \ значения ~


Фиг. 11.2. Функция плотности^ вероятности попаданиястрел в мишень.

Р (I) - функция плотности вероят- ности, I - радиальная координата на мишени.

она представляет собой долю от всех величин (стрел), которые-лежат в области в окрестности .

Чтобы определить значения I, можно поступить следующим образом: выберем два случайных числа i? и Rg из большого множества чисел, произвольно распределенных в пределах от О до 1. (Как выбирать эти числа в практических расчетах, будет показано в разд. 11.3.3.) Затем эти два случайных числа используют, чтобы выделить точку {Р (g), I) на фиг. 11.2, полагая Р (g) = R и = = (?макс - Imbu)Rb = 10 Rb- Полученное значение Р (1) сравнивают с Р (1) при значении I, вычисленном по уравнению (11.3)-Если случайно выбранная величина больше вычисленной величины Р (g), то случайно выбранная величина отбрасывается н выбираются два новых случайных числа. В противном случае найденное значение фиксируется как координата точки попадания стрелы. Обращаясь вновь к фиг. 11.2, видим, что такая процедура гарантирует, что после большого числа случайных выборок {Р (), I) в каждом интервале А^ будет заключена правильная доля отобранных для использования величин I.

Трудность, связанная с такой процедурой отбора событий, состоит

в том, что в некоторых случаях большая часть значений оказывается забракованной, так как точки лежат выше кривой Р (). Поэтому желателен более эффективный метод выбора .

Один из таких методов заключается в интегрировании функции плотности вероятности Р () с помощью общего соотношения

ва)= ] pa*)d*, (11.4)

где R (1) может принимать любые значения в пределах от О до 1, поскольку интеграл под всей кривой Р (g) равен 1 согласно (11.3). Уравнение (11.4) является общим определением кумулятивной функции распределения. График R в функции от полученной с помощью соотношения (11.4), определяет вероятность события, происходящего в пределах от -оо до . В рассматриваемом здесь-методе функция R задается как число, а получается выбором R наугад с последующим использованием функционального соотношения R (I) для нахождения соответствующего значения . Чтобы показать, что выбранная таким образом плотность вероятности



соответствует требуемой Р (g), можно в качестве примера рассмотреть приведенную на фиг. 11.2 функцию плотности вероятности. Подставляя Р (g) из уравнения (11.3) в уравнение (11.4) и учитывая, что Р (g) = О при - оо < g < О, получим

1000

0<i?<l.

(11.5)

Соответствующий график представлен на фиг. 11.3.

- 0,6

0,4

r- / 1000 j

-

у\ 1 / h---н

1 1

1 1 1

f{i,Q) = ga).h (9),

(11.7)

а величины Р (1) и Р (9) можно найти интегрированием по каждой переменной

I f а, 6) dQ

fil) I /(9)6

макс макс

I I f(l,Q)dQdi I f{l)dlj f{Q)dQ

мин ®мин

fil)

(11.8)

fiDdl

Фиг. 11.3. Кумулятивная функция распределения стрел на мишени. I - радиальная координата на мишени.

Покажем теперь, что случайный выбор R и определение соот-зетствующего значения g с помощью уравнения (11.5) эквивалентны дифференцированию кумулятивной функции распределения, причем из рассмотрения (11.5) и (11.3) следует, что производная просто равна Р (g). Разделим область g на ряд равных интервалов Ag. Предположим, в интервале от О до 1 выбраны М значений R и что эти М значений отстоят на равных расстояниях друг от друга вдоль R. Получаем М значений которые соответствуют этим М значениям R. Часть этих М значений которая приходится на данный интервал Ag, равна Ма/М = А R, откуда Следует, что

Р(9):

/ (i, 6) dl

макс ьмакс

/(9)

I f{l,Q)dldQ

/(9)

(11.9)

мин мин

Для вычисления величин и 9 независимо друг от друга Iиспользуются методы, приведенные выше в этом разделе. ,

Если функция / (1, 9) не может быть представлена в виде (11.7) У(т. е. g (Ь,) и /г (9) не являются независимыми), то значения I 9 можно определить, выбирая два случайных числа R и Rg \2, 7]. Заметим, что

Р{1, 0) = .

/ 9)

макс макс

fil, 9) dQdl

мин мин

Но AR/AI -> (dR/dl), если М достаточно велико, а достаточно малы. Как можно видеть из (11.5) и (11.3), dR/dl = Р (1). Таким образом, при выборе величин I с помощью уравнения (11.5) получается требуемое распределение вероятности.

Во многих физических задачах функция плотности вероятности зависит более чем от одной переменной. Например, если стрелок из лука в нашем примере страдает астигматизмом, то в распределении стрел на мишени может появиться зависимость от азимутального угла вдобавок к зависимости от радиуса. Если взаимное влияние переменных таково, что распределение событий можно представить в виде произведения, то можно записать



Тогда и 6 МОЖНО найти из уравнений

J Р{1*, Q)dQd*,

Де = j Р(0*, I фиксировано) d0*,

(11.10)

(11.11)

причем I в уравнении (11.11) - величина, полученная из уравнения (11.10). Эта процедура может быть распространена на любое число переменных. Уравнения (11.10) и (11.11) определяют соответственно частную (маргинальную) и условную функции распределения Р (g, 0).

11.3.3. Случайные числа

Что такое случайные числа? Случайным называется число, произвольно выбранное из большого множества чисел, расположенных на равных интервалах в пределах от О до 1. Если выписать числа О, 0,01, 0,02, 0,03, ... 0,99, 1,00 на полосках бумаги, а затем их перемешать и положить в шапку, то вытянутые несколько полосок будут содержать случайные числа. Если нужно сделать много выборок, то интервалы следует делать возможно меньшими (больше полосок). Каждую вытянутую полоску следует возвращать в шапку и тщательно перемешивать.

Для типичной вычислительной задачи нужно иметь 10 или более случайных чисел. Конечно, желательно иметь быстрый способ их получения и уверенность, что выбранные числа действительно случайные.

Как получать случайные числа? В современной цифровой вычислительной машине непрактично устанавливать механический манипулятор и оптическое читающее устройство для выбора и прочтения полосок, вытягиваемых из шапки. Чтобы получить истинно случайные числа, можно было бы использовать истинно случайный процесс. Были испробованы такие явления, как шумы в электронных цепях или подсчет числа распадающихся в единицу времени радиоактивных частиц, но оказалось, что эти способы слишком медленные для их непосредственного использования в вычислительной машине.

Второй способ состоит в получении таблиц случайных чисел [10, 11] возможно с помощью одного из процессов, приведенных выше, и последующем вводе этих таблиц в память машины. Это обеспечивает быстрый доступ к случайным числам, но для сложных задач, требующих большого числа случайных чисел, такой способ неприменим из-за недостаточной емкости памяти

вычислительной машины. Однако этот метод широко используется, когда нужно решить небольшую задачу.

В настоящее время наиболее широко практикуется метод получения случайных чисел для цифровой вычислительной машины путем генерации псевдослучайных чисел. Он представляет собой просто подпрограмму, в которой используется кажущаяся случайность групп цифр в больших числах. Простым примером такой подпрограммы является следующая процедура: берется восьмизначное число, возводится в квадрат и затем выбираются средние восемь цифр из полученного шестнадцатизначного числа, которые используются в качестве требуемого случайного числа. Когда необходимо получить новое случайное число, последнее случайное -число возводится в квадрат и средние восемь цифр результата =берутся как новое случайное число. Этот процесс, как отмечает Шрайдер [7], вырождается после нескольких тысяч циклов превра-,щением чисел в нули.

Более удовлетворительная программа, используемая в Льюис-ском исследовательском центре НАСА, основана на предполо-I женин, сделанном в работе [12]. Здесь для получения случайного г Числа берется 36 младших разрядов в произведении Rn-iK, где К = 5**, а Rn-i - предыдущее случайное число. Подпрограмма начинается с )?о = 1 или с любого числа Rg, заданного программистом. Начиная данную программу всегда с одного и того же числа Rq, можно проверить решения, проследив шаг за шагом несколько циклов решений.

Как удостовериться, что числа являются случайными? Принятый порядок генерирования псевдослучайных чисел вызывает : -опасения. Как проверить, достаточно ли случайна для наших целей такая псевдослучайность? Не приводит ли такая процедура к новаторам? Если да, то после скольких чисел? Некоторые стандартные тесты дают частичные ответы на эти вопросы. Более полно эти вопросы рассматриваются в работах [3, 12, 13]. Ни один из этих тестов не является достаточным для установления случайности, .хотя выполнение их необходимо. Кендалл и Смит [13] описали четыре таких теста. Названия их тестов соответствуют использованными в них методам: частотный тест, серийный тест, покерный тест и тест интервалов. Эти тесты рекомендуются как ...полезные и тщательные, но тем не менее недостаточные...

Возможно, самый надежный путь заключается в составлении стандартной подпрограммы, проверке ее свойств с помощью таких тестов и использовании только в тех пределах, в которых она проверена. Применимость данного генератора псевдослучайных чисел может быть до некоторой степени проверена генерированием средних величин из некоторых известных распределений, появляющихся в рассматриваемой задаче, и сравнением результатов с аналитически определенными средними величинами.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 [ 65 ] 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156

© ООО "Карат-Авто", 2001 – 2018
Разработчик – Евгений Андрианов