Угловые коэффициенты для такой геометрии получены в примере 7.15. Плотность монохроматического потока результирук щего излучения, подводимого к поверхности 1, может быть записана в виде

-- 1и.Л'>; T,)d>.-dq,. ,\ (10.12)

(10.13)

Эти уравнения выведены но прямой аналогии с уравнениями для серой поверхности (8.6) и (8.7) с использованием условия Fi i = О, Необходимо подчеркнуть, что dq - плотность потока результирующего излучения поверхности в интервале длин волн dk, обусловленная подводом тепла извне к новерхности и преобразованием потоков энергии других интервалов длин волн.

Аналогичные уравнения записываются для поверхностей 2 и 3. В результате получается система из шести уравнений с шестью неизвестными dq. i, dqio, 2, dqo,3, dq, dq, и gx ,з- Решение отыскивается относительно dg в каждом волновом интервале dk.

Если свойства поверхностей постоянны в пределах некоторого достаточно большого интервала длин волн АЯ то уравнения могут быть решены в пределах всего этого интервала. В таком случае новерхностная плотность потока излучения е^ь,! {к, Т^) АЯ, может быть заменена сгГ1*;г, ( , дх)Т), поверхностной плотностью потока излученияабсолютно черного тела при температуре в интервале длин волн от Я до Я -(- АЯ. Окончательно плотность интегрального потока результирующего излучения g каждой поверхности определяется пнтегрированием dq для данной новерхности по всему спектру

- J dq,.

(10.14)

7.=о

Эта величина равна тепловому потоку, который должен подводиться извне к поверхности для поддержания ее температуры на заданном уровне.

ПРИМЕР 10.4. Рассмотрим геометрическую систему, изображенную на фиг. 10.5. Плотности интегральных потоков энергии, подводимых к трем бесконечно длинным пластинам, равны q, g2, gg. Определить температуры пластин.

Уравнения теплообмена точно такие же, как в примере 10.3. Однако в данном случае заданные граничные условия значительно усложняют решение задачи. Так как температуры поверхностей неизвестны, то степени черноты также неизвестны вследствие их зависимости от температуры. Выбирается следующий порядок

репшния: задается температура каждой поверхности и для каждой поверхности вычисляется плотность потока результирующего монохроматического излучения dg (Я, Т). Значения dq (Я, Т) затем интегрируются и определяются gj, q дз, которые сравниваются с заданными граничными условиями. Задаются новые температуры поверхностей, и процесс повторяется до совпадения вычисленных значений g с заданными значениями. Новые температуры для последующих итераций должны выбираться с учетом зависимости от них радиационных свойств и оценки на основании предыдущих итераций степени влияния изменения температуры Т на изменения тепловых потоков g во всей системе.

10.4. ПРИБЛИЖЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ ПОЛОС

При использовании метода решения, представленного в разд. 10.3 для поверхностей, свойства которых зависят от спектра излученпя, требуется проведение интегрирования по всему спектру, чтобы вычислить результирующий интегральный ноток энергии. Такое интегрирование затруднительно, что значительно усложняет расчеты для поверхностей, свойства которых зависят от длины волны, по сравнению с серыми поверхностями. Чтобы избежать утомительной процедуры численного интегрирования, которое необходимо для строгого решения этих задач, желательно использовать упрощенные методы. Некоторая потеря точности при интегрировании может оказаться приемлемой для практического применения, так как многие спектральные характеристики, используемые в расчетах, содержат неонределенность.

10.4Л. Многополосные модели

Один из методов приближенной оценки интегралов называется приближением спектральных полос. Этот метод является простым приближением, в котором один интеграл но всему спектру длин волн заменяется суммой интегралов но части спектра. Следующий пример служит иллюстрацией применения этого метода.

ПРИМЕР 10.5. Две бесконечные параллельные пластины из вольфрама имеют температуру 4000 и 2000 К. Используя фиг. 10.2, вычислить поток результирующего излучения между поверхностялш с помощью приближения спектральных полос.

В примере 10.1 поток результирующего излученпя между пластинами описывается точным выражением [уравнение (10.11)1

g. - - ?2 - J + r2)-i °

1/€,1+1/а,2-1 Это выражение можно записать в более простом виде:

Запишем теперь интегралы как приближенные суммы:

gi S iG}.ex, ьлЩг-Ъ {GAiex,b.2A)m, (10.15)

I т

где G и ед, ь - средние значения для интервала ЬХ. В зависимости от способа оценки Gt,x и et-.b уравнение (10.15) может

Фиг. 10.6. Применение приближения спектральных полос для полусферической спектральной степени черноты вольфрама.

№. 1) - полусферическая спектральная степень черноты; х - длина волны; Г

температура:- точное значение;----приближение спектральных полос.

иметь различные степени точности. В качестве простого приближения величины (?д^, ь могут быть взяты средние арифметические значения плотности потока излучения черного тела в интервале А^. Чтобы получить лучшую точность для больших интервалов ЬХ, значение et,-, можно вычислить с использованием функции F для черного тела согласно зависимости

ед,ьА= J ebd>=(Fo-(;+AX) -о-х)оГ*, (10.16) к

где] X и >t -- A>t - верхняя и нижний границы интервала А^. В приведенных ниже расчетах будет использовано уравнение (10.16). Оно уже применялось для оценки точных интегралов в примере 10.2. Самая простая формула для расчета величины Сд}(, в уравнении (10.15) имеет вид

ед; 1+1/едх,2-1

.(10.17)

где бдл - ириближенные средние степени черноты для интервала длин волн А^.

На фиг. 10.6 представлены необходимые данные по степени черноты вольфрама и средние арифметические значения для семи интервалов длин волн (седьмой интервал для > 20 мкм). Для температур 2000 и 4000 К функция е^ь имеет максимум нри 1,5 и 0,75 мкм соответственно. При больших значениях скажем X >> 4 мкм в этом примере, функция e-i, мала, и величина Gex будет вносить небольшой вклад в интегралы в этой области длин волн. Таким образом, точность средних величин при больших значениях % в этом примере не важна. Вычисления д^, проведенные для этих семи интервалов, представлены в следующей таблице.

Сумма

3,18-10в 0,145-106

Подстановка суммарных значений из таблрщы в уравнение теплообмена, полученное в приближении спектральных полос, дает

gi = (3,18-0,15). 10 = 3,03 lOe Вт/м^.

Бранштеттер [2] путем численного интегрирования получил для этого случая точный результат д^ = 3-10 Вт/м^. Таким обра-

При помощи подстановки

зом, приближенное решение с использованием семи интервалов дает небольшую ошибку. Из фиг. 10.3 следует, что решение, нолу-ченное в нриближении серого тела, которое можно рассматривать как однонолосное нриближение, дает ошибку почти 10%. (Заметим, что результаты, представленные на фиг. 10.3, отличаются от обычных результатов расчетов в приближении серого тела тем, что величина определялась прп температуре YtT, а не при Гг.)

При рассмотрении таблицы выясняется, что наиболее значительный перенос энергии в этом случае происходит в интервале длин волн от О до 2 мкм. При необходимости точность приближения спектральных полос можно улучшить делением этого интервала на большее число полос и повторением расчетов. Ошибки в приближении спектральных полос будут возрастать в интервалах спектра, где ву, и пмеют большие значения, поэтому весь волновой диапазон следует разделить таким образом, чтобы наибольшее число полос заключалось внутри указанных интервалов.

Приближение спектральных полос является не чем иным, как простой формой численного интегрирования, выполняемого прп относительно небольшом числе интервалов длин волн. С увеличением числа интервалов точность возрастает. Данкл и Бивэнс [4] приводят расчет, аналогичный вынолненному в примере 10.5. Результаты, полученные ими с помош,ью приближения спектральных полос, отличаются не более чем на 2% от результатов точного численного расчета, в то время как ошибка расчета в приближении серого тела составляет ~30%. Они приводят также другие примеры применения рассматриваемого метода для замкнутых систем с заданными температурами или результирующими потоками энергии.

В ряде работ приводятся результаты исследований теплообмена излучением между поверхостями с зависящими от длины во.лны свойствами [5-7]. В работе [5] результаты расчета сравниваются с экспериментальными данными для геометрической конфигурации, близкой к бесконечным параллельным пластинам.

10,4.2. Приближение полусерого тела

В некоторых практических случаях происходит естественное деление энергетического спектра на две четко определенные спектральные области, например, в замкнутой системе с отверстием, через которое поступает солнечное излучение. Энергия со.пнечного излучения распределена в спектре таким образом, что основная энергия сосредоточена в коротковолновом диапазоне, в то время как энергия излучения поверхностей внутри замкнутой системы.

имеющих более Н11зкую температуру, сосредоточена в диапазоне более длинных волн. Практический путь решения задачи в этом случае состоит в определении полусферической интегральной поглощательной способности относительно падающего солнечного излучения, а также полусферической интегральной поглощательной сиособности относительно падающего излучения, испускаемого поверхностями внутри замкнутой системы. Этот подход можно свести к вопросу определения / различных поглощательных способностей для поверхности А; относительно энергии падающего излучения от каждой поверхности / замкнутой системы.

В данном анализе содержится иредноложение о том, что каждая поглощательная способность {Т^, Tj) основана на спектральном распределении падающего излучения черного тела при температуре излучающей поверхности Tj. В действительности спектр падающего излучения может быть далеко сдвинут относительно кривой раснределенпя Планка, и в этом состоит недостаток метода. Часто зависимость а^, от Т^ слаба, так что основное влияние оказывает Tj, другими словами, спектральное распределенпе падающего пзлучения. Так как поглощательная способность Cfe (Th, Тj) и степень черноты {Т^) новерхности к в общем случае не равны, то этот подход часто называется теорией теплообмена излучением в замкнутой системе с полусерыми поверхностями. В работе [8] представлен анализ для общего случая замкнутой системы, содержащей нолусерые поверхности.

Пламондон и Лендрем [9] сравнили результаты расчета в приближении полусерой поверхности и точные решения для распределения температуры по поверхности несерой клинообразной полости, подверженной воздействию падающего солнечного излучения (фиг. 10.7). Клинообразная полость предполагается нетеплопроводной, помещенной в вакуум с температурой окружающей среды, равной нулю, за исключением участка, освещенного солнцем, и имеющей диффузные поверхности, свойства которых не зависят от температуры. В работе [9] приведены три метода решения задачи. Первый метод - точное решение интегральных уравнений, который называется точным решением. Первым нриближе-нием к точному решению, называемым методом I, является нриближение полусерого тела, в котором используется поглощательная способность Оеол,] относительно падающего солнечного пзлучения (неносредственно или после отражений) и другая поглощательная способность а ;: (равная степени черноты поверхности) относительно пзлучения, испускаемого поверхностями клинообразной полости. Наконец, метод II - это наихудшее нриближение, в котором применяются те же две ноглощательные способности: Осолн только к неносредственно падающему солнечному излучению, а 0 ко всей энергии отраженного излучения независимо от источника излучения. Результаты расчета этими мето-