следующие соотношения:

fh = А , {Fi 2 + Ps, зР 1(3)- 2 + Ps, 4-f 1(4)- 2 -f

= 2 {F2-1 -f Ps, 32(3)- 1 + ps, AVi)- 1 +

+ Ps, 3ps, 41(3-4)-2+ . . + P 3ps, 41(зт 4П^ 2+ . . .), (9.9a)

+ Ps,3ps,4i2(4-3)-l+... + p::3ps 42(4n-3 )-l+- ) (9.96)

Сокращенное обозначение (3-4 ) означает m отражений на поверхности 3 и п отражений на поверхности 4. Уравнения (9.9) можно также записать следующим образом (для изотермической замкнутой системы (2i 2 = Q-i)-

аТ* ~ аП - i-fi-2 = 2-f2-b

(9.10)

где F - угловой коэффициент, равный величине, стоящей в круглых скобках в соотношении (9.9).

Теперь рассмотрим (9.9) более подробно. Так как AF = = 2-f2-i и из (9.4) для одного отражения следует

11(3,-2 = 2f2(3)-l и lii(4, 2 = li2(4)-l,

то равенство (9.10) принимает следующий вид:

(Ps,3Ps,4il(3-4)-2+. . .+Р зР 41(зт 4 , 2+. . .) == = (Ps.3Ps,4i2(4-3)-l+. . +РГзР?, 42(4П з .)-1+ )

Разделим обе части на ps, g ps :

1(Л(3-4) 2+ . . .-ЬрГз*Р А(3--4 )-2+ ) = = Л(2(4-3)-1+ . . +Ps lVr44(4 -3-)-l+ ). (9.12)

Это равенство должно выполняться в пределе, когда ps и Os стремятся к нулю, т. е.

11(3-4)-2 = 22(4-3,-1, (9.13)

что является геометрическим свойством системы. Продолжая это рассуждение, придем к обобщенному соотношению взаимности

Л(А-В-С-1)...)-2 = 2i2(...D-C-B-A,-l- (9.14)

Заметим, что комбинация (9.8) и (9.14) приводит к идентичным результатам

ll(A-B-C-D...,-2 = 2f2(...D-C-B-A,-l = Л-2(...0-С-В-А) (9-15)

или

l(A-B-C-D...,-2 - 1-2(...D-C-B-A)- (9.16)

Последнее соотношение можно вывести непосредственно из того факта, что систему изображений можно построить, начиная с действительной поверхности 1 и переходя далее к изображению 2 {...D - С - В - А) или начиная с изображения 1 (у1 - 5 - С - D. . .) и переходя далее к реальной поверхности 2; в любом случае геометрия построений будет идентичной. Таким образом, угловые коэффициенты между первоначальной и конечной поверхностями должны быть одинаковыми.

9.4. МЕТОД САЛЬДО ДЛЯ ЗАМКНУТЫХ СИСТЕМ, ИМЕЮЩИХ ЗЕРКАЛЬНЫЕ И ДИФФУЗНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ

9.4.1. Замкнутые системы с плоскими поверхностями

В этом разделе будет рассмотрен теплообмен излучением в замкнутой системе, состоящей из зеркально и диффузно отражающих поверхностей. В качестве введения в теорию теплообмена излучением в замкнутой системе с зеркальными поверхностями рассмотрим замкнутую систему, состоящую из трех плоских поверхностей при заданных постоянных значениях температуры на них (фиг. 9.8, а). В дальнейшем будет рассмотрено граничное условие с заданным тепловым потоком. Все поверхности являются диффузными излучателями, но две из них отражают диффузно, а третья отражает зеркально. Для простоты предполагается, что замкнутая система имеет достаточно большие размеры, так что краевыми эффектами можно пренебречь.

При использовапии метода сальдо уравнения теплового баланса (8.1) и (8.2) не зависят от типа отражения и, следовательно, будут применимы как для диффузных, так и зеркальных поверхностей. Тогда для всех трех поверхностей замкнутой системы справедливы уравнения

Qk = qkAk = {qo,k-qi,k)Ah, к=1,2,3, (9.17)

qo,kekOTt-\-{i-£u)qi,k, А;=1,2,3. (9.18)

В случае зеркальной поверхности распределение потока эффективного излучения Qo отличается от его распределения в случае диффузной поверхности. Для диффузного отражателя интенсивности собственного и отраженного излучений равномерно распределены по всем направлениям; следовательно, аТ* и (1-Qqi имеют одинаковый характер распределения по направлениям и для этих величин можно применять угловые коэффициенты диффузных

Поток, исходящий^от h. и отраженный

\ от зеркальной поверхности А]

1 Поток, искодящии от Аз и отраженный, от зеркальной поверхности Aj

А2, Гг.

диффузный излучатель, диффузный отражатель

Поток собственного и отраженного

излучений от диффузной поверхности Aj

Фиг/9.8. Замкнутая система, имеюп(ая одну зеркально отражающую и две

диффузно отражающие поверхности. а общая геометрическая схема; б - составляющие потока излучения, падающего на А.г, в - замкнутая система для примера 9.5. -

поверхностей. Однако для зеркального отражателя величина (1-€)? будет иметь распределение по направлениям, отличное от соответствующего распределения для диффузного собственного излучения £аГ*. Таким образом, если поверхность А; зеркальная, то зеркальная составляющая потока зффективного излучения Чо-к должна определяться не так, как диффузная составляющая.

Теперь выведем уравнения для плотности потока падающего излучения Qi, k при наличии зеркальных поверхностей в замкнутой системе, аналогичные уравнениям (8.3) и (8.5). Обратимся к фиг. 9.8, а; излучение, падающее на поверхность 1, непосредственно поступает от диффузных поверхностей 2 и 3 без промежуточных зеркальных отражений. Следовательно, применимо уравнение (8.5)

qi.i = Fi-2qo.2+ Fi-o,s- (9.19)

Для поверхности 2 поток падающего излучения состоит из четырех составляющих (фиг. 9.8, б). Первая - поток диффузного излучения As, падающий непосредственно яа А^ и равный qg, зАР^.. Остальные три составляющие относятся к поверхности А^ и состоят из потока диффузного собственного излучения гОТ^А^Р^. и двух зеркально отраженных составляющих. Зеркальные составляющие связаны с энергией излучения, исходящего от и А^, которое зеркально отражается на А^ я. поступает от изображений Л 2(1) и Л 3(1, (фиг. 9.8, а). Зеркальные составляющие равны

qo,2 Ps.i2-f2ii)-2 + qo. 3 Ps,iAsP3a)-2- Заметим, что при наличии

только одной плоской зеркальной поверхности не может быть многократных отражений. Выражение для потока падающего излучения на поверхность 2 имеет вид

Atqt, 2 = GoT\AiFi 2 + qo. 2ps, 22(1)-2 Ч-

+ qo, 3A3F3-2 + Чо, 3ps, lAzF3(1)-2.

После применения соотношения взаимности для угловых коэффициентов (7.25) и (9.8) это выражение преобразуется к виду

Qi, 2 = £iOT\P2-i + qo, 2ps, iP2-2(1) + Чо, 3 (2-3 + Ps, 12-3(1)). (9.20)

Аналогично для поверхности 3 получаем

qi,3 = GortF3 i + qo, 2 (3-2 -f Ps, 13-2(1)) + Чо, зР , i-f з-3(1)- (9-21)

Уравнения (9.20) и (9.21) образуют систему уравнений с неизвестными 0,2 п о, 3- Если исключить qi2 и qt с помощью (9.18), то получим

ЦХ = iT\P2.i -Ь qo, 2PS, 12-2(1, + qo. 3 ( 2-3 + Ps, 12-3(1)), lIgf = iOT\F3-i Ч- qo, 2 (P3-2 Ч- Ps, 13-2(1)) + Ч0, 3ps, 13-3(1).

После преобразования имеем

9o, 2 [1 - ps, 1 (1 - 62) 2-2(1,] - qo, 3 (1 - G) (2-3 + ps, 12-311)) =

= G(l-€2)2-ior7t + .e2orn, (9.22)

- Чо, 2 (1 - бз) {F3-2 + P 13-2(1)) -f ?0, 3 [1 - Ps, 1 (1 - 63) 3-3(1)] =

= €1 (1 - 6) F3-iOT\ Ч- UoT\. (9.23)

Уравнения (9.22) и (9.23) можно решить относительно qo, 2 и qo, з-После того как qo, 2 Qo, 3 найдены, с помощью уравнений (9.19)- (9.21) определяют значения qi на каждой поверхности и затем по уравнению (9.18) находят qo,i. Наконец, по уравнению (9.17) вычисляют поток результирующего излучения Q для каждой поверхности, который равен потоку тепла, подводимого к поверхности для поддержания ее при заданной температуре, или, другими словами, результирующей потере тепла излучением с каждой поверхности. Уравнения (9.22) и (9.23) аналогичны системе уравнений для диффузных поверхностей, определяемых уравнением (8.21).

ПРИМЕР 9.5. Замкнутая система состоит из трех поверхностей (фиг. 9.8, в). Длина L достаточно велика, так что влиянием торцов треугольного сечения в уравнениях теплового баланса можно пренебречь. Две поверхности черные, а третья - серый диффузный излучатель со степенью черноты £i = 0,05. Определить тепловой поток, подводимый на единицу длины (1 м) каждой поверхности, в двух случаях: 1) поверхность 1 является диффузным отражателем; 2) поверхность 1 является зеркальным отражателем.

Сначала вычисляются угловые коэффициенты. Из соображений симметрии Fi 2 = ii-g. Кроме того, F + Fi-з = 1, так что /1 2 = ii 3 = 2- Из соотношения взаимности F2-1 = 11-2/2 = = /2/2 = i3 i. Также F-i + Fs = 1 .j Следовательно, F = = 1 - ]А2/2 = Fs 2 = F-ia) = -з-зш- Наконец, F.a) =

= 2-3(1) = 1 - f3-2 - f 3-3(1) = 1/2 - 1.

Для случая 1) применяем уравнение (8.18) и получаем

а (О

-Щу W = (278)*- 4- (278).-1 (555)., У2 1-0,05 , Q2

а (0,3048 V2) 2 0,05 а (0,3048)

= (278) + (278)*-(l -3) (555)*, Qi 1-0,05 , 3

а (0,3048 V2) 2 0,05

а (0,3048)

V2

(278)*-(1--) (278)*+(555)*.

Решая эти три уравнения, получаем тепловые потоки на единицу длины (1 м) системы поверхностей <2i = - 55 Вт, = - 978 Вт, (2з = 1033 Вт. Тепло, подводимое к поверхности А^, отводится от А-п А^, тепловой поток, отводимый с поверхности А^, мал, так как эта поверхность является плохим поглотителем.

В случае 2) применяем уравнения (9.22) и (9.23) для вычисления qo,2 н qo, 3. Так как 62 = 63 = 11 из этих уравнений просто получаем qo, 2 = (Tl, qo, 3 = оТ*, что и следовало ожидать для потоков эффективного излучения от черных поверхностей. Тогда уравнения (9.19)-(9.21) позволяют получить плотности потока падающего излучения для кан^дой поверхности:

Qi,i

Qi, 2

=-f (278) + (555)*, = 0,05 (278)* + (278)* (1 - 0,05) (1 +

+ (555)* [ 1 + (1 - 0,05) (Y2-= 0,05 (278)* + (278)* Г1 - +(1-0,05) (12-1)

1)Ь

(555)* (1-0,05) (1 -

Уравнение (9.18) дает плотность потока эффективного излучения qo, 1

%. i

: 0,05 (278)* + (1 0,05) -j- (278)* + (555)

Если известны qi и qo для каждой поверхности, то для нахождения результирующего потока Q применяется уравнение (9.17). Это приводит к следующим результатам:

(?1 = -55 Вт, = -1072 Вт, Qs = 1127 Вт.

Сравнение случаев 1) и 2) показывает, что если - зеркальная поверхность, то теплопередача от А^ к А2 увеличивется от 978 до 1072 Вт, т. е. на 10%.

Существует неско.лько общих положений, которые необходимо отметить в связи с примером 9.5. Сначала рассмотрим уравнения (9.20) и (9.21). Потоки падающего излучения q, 2 и g, 3 для двух диффузных поверхностей выражены через диффузные величины 6i0t Чо, 2 и qo, 31 где £ioT*, - диффузный поток собственного излучения зеркальной поверхности А-, составляющий лишь часть потока эффективного излучения поверхности А^. Энергия излучения, отраженного от зеркальной поверхности, входит в уравнения (9.20) и (9.21) только через угловые коэффициенты. В результате уравнения (9.22) и (9.23) содержат только два неизвестных потока эффективного излучения qo, 2 и о, 3 Д^я диффузных поверхностей, и эти потоки можно найти без рассмотрения qo, 1 для зеркальной поверхности. Значение qo,, если требуется, находится с помощью уравнений (9.19) и (9.18). Число уравнений,