Главная  Теории теплообмена излучением 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 [ 50 ] 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156

Приближенное решение с помощью вариационного метода.

Как показано в работе [6], интегральное уравнение вида

о

(8.57)

можно решить вариационными методами при условии, что ядро К (Е, Г]) должно быть симметричным, т. е. оно не изменяется при обмене местами и т]. Ядро выражения (8.546) является примером симметричного ядра, так как очевидно, что К {\-(\ - ) =! = К{\1

Вариационный метод предусматривает применение вспомогательной функции, которая особым образом связана с интегральным уравнением (8.57). Эта вспомогательная функция определяется выражением

/ = J J й: (, т1) ф () Ф (т1) dld- [ф + 2 J ф il) G {I) dl.

a a

(8.58)

Ее особенность состоит в том, что при отыскании правильного решения относительно ф {I) функция / будет минимальной.

Для получения приближенного решения функцию ф (1) представляют в виде полинома с неизвестными коэффициентами

Ф {I) = То + Tl? + yl + ... + УпГ. (8.59)

Этот полином подставляется в (8.58) и затем выполняется интегрирование. Если К имеет настолько сложное алгебраическое выражение, что невозможно выполнить интегрирование аналитически, то этот метод непрактичен. После выполнения интегрирования получается аналитическое выражение для / в виде функции от 7о, Tl, Тг, > Тп- Эти неизвестные коэффициенты затем определяются дифференцированием / по каждому из коэффициентов и приравниванием каждого результата нулю, т. е. дЛдуо = О, дЛдух = 0, . . ., дЛдуп = 0. В результате получается система из ?г -[- 1 уравнений с ?г + 1 неизвестными коэффициентами. Путем дифференцирования / указанным способом и приравнивания производных нулю определяются коэффициенты, которые обеспечивают минимум /;; следовательно, находится наиболее точное решение интегрального уравнения в виде зависи-

п

мости ф (Е) = 2 yjl.

Этот метод был применен для исследования теплообмена излучением в цилиндрической трубе [7] и между параллельными пластинами конечной ширины и бесконечной длины [12].

Приближенное решение путем разложения в ряд Тейлора. Применение метода, основанного на разложении функции в ряд Тейлора, для решения интегрального уравнения теплообмена излучением показано в работах [13, 14]. Физическая идея, заложенная в этом методе решения, состоит в том, что угловой коэффициент во многих случаях достаточно быстро уменьшается с увеличением расстояния между двумя элементами, обменивающимися излучением. Это означает, что на теплообмен излучением данного элемента поверхности могут в значительной степени повлиять только потоки излучения, исходящие от других элементов поверхности, расположенных в непосредственной близости от него.

В качестве примера рассмотрим интегральное уравнение типа (8.54). функция К -I \) быстро уменьшается с увеличением расстояния г\ - I (фиг. 8.11). Тогда, если предполагается, что величина г| будет оказывать основное влияние, когда она находится в непосредственной близости от I, функция до, а (л)/д2 разлагается в ряд Тейлора относительно I:

Чо, 2 (л) ?0, 2 (I)

d (go. 2/g2)

d (Зо, 2/?2)

(8.60)

Производные в разложении Тейлора вычисляются при значении аргумента, равном I, и, следовательно, не содержат переменную г\. Это означает, что при подстановке (8.60) в (8.54а) производные могут, быть выведены из-под знака интеграла, что дает I

Яо ,аШ---Чо, 2 (g) J K{\y\-l\)dy\~

dl Ь

?0, 2 [D 1

J (n-E):(ri-)dti-

Ti=0

1 cP

2! dl L 92

Чо, 2 (В

J {r-lfK{\,\-l\)dT\-... = \.

(8.61)

Затем выполняется интегрирование. Если оно не может быть выполнено аналитически, то метод не будет иметь практического применения, так как легче получить численное решение точного интегрального уравнения, чем уравнения (8.61). Если интегралы могут быть вычислены аналитически, уравнение (8.61) становится дифференциальным относительно до, 2 (1)/д2 и может быть решено аналитически или численно, если заданы граничные условия. Граничные условия можно вывести из физического описания задачи, например симметрии или общего теплового баланса [14].



гк1{,сферичесная крышка, закрывающая отверстие полости^

Этот метод, вероятно, не представляет интереса для замкнутых систем, содержащих более одной или двух поверхностей.

В последних четырех разделах рассматривались численные н некоторые приближенные аналитические методы решения одного

или системы интегральных уравнений. Аналитические методы, вероятно, только тогда представляют интерес, когда интегральные уравнения относительно просты. В большинстве практических случаев необходимо прибегать к численным методам. Существует несколько случаев, когда не требуются приближенные или численные решения, так как интегральное уравнение теплообмена нзлучением имеет точное аналитическое решение. Рассмотрим один из таких случаев.

Точное решение интегрального уравнения теплообмена излучением внутри сферической полости. Излучение внутри сферической полости (фиг. 8.12) было исследовано Йенсеном [15], обсуждено Якобом [3] и позднее рассмотрено Спэрроу и Джонсоном [16]. Интегральное уравнение в задаче со сферой имеет относительно простое решение в связи с тем, что в этом случае угловой коэффициент излучения между элементами внутри сферической полости имеет особенно простой вид. элементарными площадками


-Фиг. 8.12. Геометрическая схема для иллюстрации теплообмена излучением

внутри сферической полости, а - сферическая полость с диффузным падающим излучением qe при переменной температуре Г, поверхности; б - элементарные площадки на сферической поверхности.

Угловой коэффициент между двумя dAj и dAk (фиг. 8.12, б) равен

dFdj-dh =

cos ?>j cos я52

dA..

(8.62)

Так как радиус сферы перпендикулярен к обеим площадкам dAj и dAji, расстояние между ними равно

S = 2R cos = 2R cos P.

Тогда соотношение (8.62) принимает вид

dj-dk

(8.63)

Если вместо бесконечно малой площадки dA элемент dAj обменивается излучением с площадкой конечных размеров Л^, то (8.63) превращается в следующее уравнение:

Fdi-h

\dA =

(8.64)

Уравнение (8.64) не зависит от площади элемента dAj. Следовательно, элемент dAj можно заменить площадкой конечных размеров Aj, так что

Fj.k==-

(8.65)

где As - площадь поверхности всей сферы.

Рассмотрим сферическую полость (фиг. 8.12, а). На поверхности полости общей площадью А^ задано распределение температуры {dA]). Сферическая крышка, которой можно было бы закрыть отверстие полости, имеет площадь А 2. Предположим, что из окружающей среды через отверстие полости падает диффузный ноток излучения с поверхностной плотностью q. Поток qe может изменяться в пределах А 2- Требуется вычислить интенсивность излучения i {dA*), исходящего через отверстие полости от заданного элемента поверхности полости в заданном направлении, как указано стрелкой на фиг. 8.12, а. Из фиг. 8.12, а следует, что искомая интенсивность излучения будет определяться потоком эффективного излучения элемента dA* я будет равна 4o,i{dA*)/n, где коэффициент я появляется из соотношения между плотностью потока излучения qo и интенсивностью излучения i. Плотность потока до i {dA*) можно найти при помощи уравнения (8.43а):

?о, 1 (dAt) - (1 - G) J qo. i {dAi) dFdi*-di -

-(l-6i) J qe{dA2)dFdi*-d2 = ei<ymdA*). (8.66)



ПОДС..В.ЯЯ к ,ффи„и.н F из (8.63) . УР-не , полу

l-6l

где известные величины сгруппированы в правой части уравнения. Решение уравнения (8.67) ищем в виде go,i{dA*)=f{dA*) + C, где / - неизвестная функция положения площадки dA*, а С константа. Подстановка этого решения в (8.67) дает

fidAt) + C-\f{dAi)dA-

1-е

СД, = \ Че {dA) dA + ectt {dAt).

В этом уравнении только два члена зависят от положения площадки на поверхности полости: первый и последний, так что f {dA*) =xaT\{dAt)- Приравнивание остальных членов позволяет тогда определить С. Это приводит к следующему выражению для 0,1 (dAl): go,i{dAt)==SoT\{dA*) +

\ ilOTf (dAi) dAl + J (dA) <

4яД2 L

) dAi

(l-€l).4

(8.68)

Искомое решение будет иметь вид

8.5. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

В этой главе были представлены методы исследования теплообмена излучением в замкнутых системах тел, имеющих диф-фузно-серые поверхности конечных или бесконечно малых размеров. На поверхностях могут быть заданы плотности результирующих потоков энергии, подводимых к ним извне, или температуры поверхностей, или некоторая комбинация этих условий. Был описан ряд методов решения интегральных уравнений, которые следуют из общих формулировок задач теплообмена

излучением. Показано, что большинство практических задач становятся настолько сложными, что для решения основных уравнений можно воспользоваться только численными методами.

В следующих главах рассмотренные методы будут распространены на неидеальные поверхности, а также будут представлены методы решения задач сложного теплообмена с учетом переноса энергии конвекцией и теплопроводностью.

Литература

6. 7. 8. 9. 10.

И. 12. 13.

15, 16.

Мак-Адамс В. X., Теплопередача, Металлургиздат, 1961, стр. 87-175. Поляк Г. Л., Исследование теплообмена излучением между диффузными поверхностями, ЖТФ, 1, № 5, 6, 555-590 (1935). Якоб М., Вопросы теплопередачи, ИЛ, М., 1960.

Gebhart В. Unified Treatment for Thermal Radiation Transfer Processes - Gray, Diffuse Radiators and Absorbers, paper № 57-A-34, ASME, December 1957.

Sparrow E. M., On the Calculation of Radiant Interchange between Surfaces, in W. Ibele (ed.), Modern Developments in Heat Transfer*, Academic Press, Inc., New York, 1963, 181-212.

Hildebrand F. В., Methods of Applied Mathematics Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1952.

Usiskin C. M., Siegel R., Thermal Radiation from a Cylindrical Enclosure with Specified Wall Heat Flux, /. Heat. Transfer, 82, № 4, 369-374 (1960). Buckley H., Radiation from the Interior of a Reflecting Cylinder, Phil. Mag., 4, 753-762 (1927).

Buckley H., Radiation from Inside a Circular Cylinder, Phil. Mag., 6, 447-457 (1928).

Eckert E., Das Strahlungsverhaltnis von Flachen mit Einbuchtungen und von zylindrischen Bohrungen, Arch. Wdrmewirtschaft, № 5, 135-13& (1935).

Sparrow E. M., Albers L. U., Apparent Emissivity and Heat Transfer in a Long Cylindrical Hole, /. Beat Transfer, 82, № 3, 253-255 (I960). Sparrow E. M., Application of Variational Methods to Radiation Heat-transfer Calculations, /. Heat Transfer, 82, № 4, 375-380 (1960). Krishnan K. S., Sundaram R., The Distribution of Temperature along Electrically Heated Tubes and Coils, I. Theoretical, Proc. Roy. Soc. (London), ser. A, 257, № 1290, 302-315 (1960).

Перлмуттер M., Зигель P., Влияние зеркально отражающе!! серой поверхности на теплообмен излучением в трубе, Труды амер. общ-ва инж.-мех. сер. С, Теплопередача, 85, № 1, 55-62 (1963).

Jensen Н. Н., Some Notes on Heat Transfer by Radiation, Kgl. Danske Videnskab. Selskab. Mat.-Fys. Medd., 24, № 8, 1-26 (1948). Sparrow E. M., Jonsson V. K., Absorption and Emission Characteristics of Diffuse Spherical Enclosures, NASA TN D-1289, 1962.

1. Две бесконечные параллельные серые пластины разделены тонким серым экраном. Чему равна температура экрана Tsf Какова плотность потока результирующего излучения от пластины 2 к пластине 1? Каково отношение потоков излу-



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 [ 50 ] 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156

© ООО "Карат-Авто", 2001 – 2018
Разработчик – Евгений Андрианов