Главная  Теории теплообмена излучением 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 [ 47 ] 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156

ТОЧНЫХ или приближенных математических методов расчета интегральных уравнений. Когда аналитическое решение получить невозможно, интегральные уравнения можно решить численно. Метод численного решения подобен методу, используемому при расчете теплообмена между поверхностями конечных размеров.

Рассмотрим, как и ранее, замкнутую систему из N поверхностей конечных размеров. Эти новерхности обычно являются

геометрическими зонами замкнутой системы или поверхностями, на которых поддерживаются постоянными заданные граничные условия.Каждая из этих поверхностей делится на элементарные площадки (фиг. 8.7). Как и ранее, будем предполагать, что поверхности диффузно-серые. Здесь делается также дополнительное предположение, что радиационные свойства поверхностей не зависят от температуры.

Условпе теплового баланса для элемента dA, положение которого определяется радиусом-вектором r,j, записывается следующим образом:

Чк (rft) = qo,h (Tft) - ft (Tft). (8.30)

Поток эффективного излучения состоит из потоков собственного и отраженного излучения

Чо, к Ы бйОГ (Га) + (1 - 6ft) 4i, h (rft).

(8.31)

Поток падающего излучения в (8.31) равен сумме частей потоков эффективного излучения от других элементов поверхностей замкнутой системы. Обобщая выражение (8.3) путем интегрирования по каждой поверхности конечных размеров для определения суммарного вклада локальных потоков эффективного излучения этой поверхности в величину д, получаем

dAu4i, h (Ч) = \ 4o,i (ri) dFai-dk (гь гд) dAi + . . .

+ j ffo, ft (Гй) dFdhduit, Tft) dAl-\- ...

. + J 4o, Л- (r.v) dFaT,-ak (r.v, v) dA,. (8.32)


Фиг. 8.7. Замкнутая система, состоящая из jV отдельных новерхностей конечных размеров, разделенных на бесконечно малые элементы.

Второй интеграл в правой части представляет собой вклад излучения всех других элементарных площадок dAt на поверхности А^, в поток падающего излучения на элементарную площадку dA.

С учетом соотношения взаимности dAj dFj-dk = dA dFdu-dj типичный интеграл в уравнении (8.32) может быть преобразован в следующий:

J qo, J (vj) dFdj-dh {rj, rft) dAj = J q, j {vj) dFdu-di (гу, rft) dA-

A. A,

Преобразуя подобным образом все интегралы в (8.32), выделим dAh из уравнения и в результате получим

ft (rft) = 2 J / <i>-il (-

i=l Aj

Уравнения (8.31) и (8.33) дают два различных выражения для qi ft (Tft). Каждое из этих выражений подставляем в (8.30) и получаем два выражения для q (rft), аналогичные (8.6) и (8.7):

(8.34)

gfti

Ы = т^. (J-h) - Чо. k (rft)],

(rft) - Чо, ftXrft) - 2 1чо, J (rj) dFdk-dj (r,-, rft). (8.35)

i=l Aj

Как показано с помощью уравнения (7.10), элементарный угло- вой коэффициент dFdu-dj содержит элементарную площадку dAj. Чтобы переменная интегрирования в уравнении (8.35) участвовала в явном виде, удобно ввести величину К {Vj, г^)-

, , dPdh-dj (rj, Tft)

(rj.rft)-- (-36)

Тогда (8.35) принимает вид интегрального уравнения

(fft) = qo, ft (rft) - 2 i ( ) ( y (8-37)

3=i A,

Величина К {Vj, r,) под знаком интеграла с зависимой переменной, как в уравнении (8.37), называется ядром интегрального уравнения.

Как и в предыдущем анализе для новерхностей конечных размеров, существуют два способа решения задачи:

1. При определении температуры и подводимых тепловых потоков из уравнений (8.34) и (8.35) можно исключить неременные q. Это позволяет получить систему уравнений, непосред-



ственно связывающих температуры поверхностей Т и плотности потоков результирующего излучения (или плотности подводимых тепловых потоков) q. В пределах каждой поверхности Т или q заданы с помощью граничных условий. Остальные неизвестные температуры Т и тепловые потоки q находят решением данной системы уравнений.

2. При определении величины qo можно исключить неизвестные q пз системы уравнений (8.34) и (8.35) для каждой поверхности, на которой плотность подводимого теплового потока q не задана в качестве граничного условия. Для поверхности, на которой плотность потока q задана, уравнение (8.35) может быть использовано для вывода соотношения между величинами qo- Это дает систему уравнений относительно qo, выраженных через известные q и Т, которые заданы граничными условиями. После решения полученной системы уравнений относительно qo с помощью уравнений (8.34) можно при необходимости определить значения q я Т на поверхностях, где заданы либо q, либо Т из граничных условий. Рассмотрим каждый из этих методов.

Соотношения между температурой поверхности Т и плотностью подводимого теплового потока q. Чтобы исключить qo, согласно первому методу решения, уравнение (8.34) решается относительно

Qo,h{rh) = oTi (Ffe)-

(8.38)

Уравнение (8.38), записанное для /с-й и у-й элементарных площадок, подставляется в (8.35), чтобы исключить qo и qo, j-

j=i а.

= оП Ы - S J сгП (Г;) dFu-di (Г/, Tfe). (8.39)

3=i Aj

Уравнение (8.39) непосредственно связывает температуры поверхностей с подводимыми к ним тепловыми потоками.

ПРИМЕР 8.8. Замкнутая система, общий вид которой показан на фиг. 8.5, состоит из трех плоскостей и является бесконечно протяженной в одном направлении, так что величины, характеризующие теплопередачу, не изменяются по длине. Поверхность 1 равномерно нагревается, а новерхность 2 имеет постоянную температуру. Поверхность 3 черная и имеет нулевую температуру. Вывести основные уравнения для определения распределения температуры по периметру поверхности 1.

Благодаря условиям Гд = О, бз = 1, а также dFiij iij* = О (dFdj-dj* - угловой коэффициент излучения площадки на саму себя) уравнение (8.39) можно записать для двух плоских поверхностей 1 и 2 с постоянными qi и в следующем виде:

Я2 (гг)

j 52 (Г2) dFdi~d2 (Г2, ri) =

= aTt (ri) - on J dFai-d2 {2, п), (8.40a) A2

= or*- J art (ri) dFa2-di [п, r). (8.406)

Ai у

Подобного уравнения для поверхности 3 не требуется, так как (8.40) не содержит неизвестной величины q (гз) вследствие условий £з = 1 и Гд = 0. Из определения угловых коэффициентов следует

\dFai-d2=Fdi-2 и I dFa2-di=Fd2-i.

Аг Ai

Уравнения (8.40) приводятся к следующим соотношениям, в которых известные величины перенесены в левую часть:

Q2 (Г2) dFai-d2 (Г2, ri) = arFdi 2 (rj) , - ,

(8.41a) Fd2-i(r2). (8.416)

1-et

art (n) dF,. (n, Г2) + ilsL = or* + gi

Систему уравнений (8.41) можно решить относительно неизвестных распределений (г^) и q, {х^. В разд. В А.2 будут рассмотрены некоторые методы решения такой системы интегральных уравнений.

Метод решения относительно плотности потока эффективного излучения q . Во втором методе решения величины q {v) исключаются из уравнений (8.34) и (8.35) для поверхностей, на которых 4h (ffe) неизвестны. Это позволяет получить соотношение между Чо и температурой Т, изменяющейся в пределах поверхности,

?o,ft(rft) = Gon(rfe)-f (l-6fe)2 i Чо. ){ri)dFau-di{h J-fe). (8.42)

i=l A,



Если известен тепловой поток (г^), подводимый к поверхности к, то уравнение (8.35) можно использовать непосредственно для установления связи между д^ и до- Таким образом, уравнения (8.42) и (8.35) образуют полную систему уравнений с неизвестными д^, выраженными через известные температуры Т и тепловые потоки д.

Теперь запишем систему уравнений для до- В общем случае замкнутая система может состоять из поверхностей 1, 2, . . ., т с заданными распределениями температуры. Для этих поверхностей применяются уравнения (8.42). Для остальных N - т поверхностей m -f 1, m -f 2, . . ., заданы распределения тепловых потоков. Для этих поверхностей применяются уравнения (8.35). В результате получаем систему из N уравнений для распределений неизвестных потоков эффективного излучения до-

до, k (Г)г) - (1 -6ft) 2 ( 3°. j ij) dFdh-di (fj. Tft)

j=l A,

= efton(rft) i<fc<m,

Чо, h Ы - 2 l o,J (Гу) dFdh-dj {rj, rft) = ?ft (rft)

(8.43a) 1</с<Ж.

}=i A

(8.436)

После определения no уравнению (8.34) находят неизвестные распределения потоков результирующего излучения д или температур Т

[оТЦги)-до,иЫ] 1<А:<т,

Qk (rft) -=

1-а

go, ft (rft) m+lkN.

(8.44a) (8.446)

Частный сл-чай, когда плотность потока результирующего излучения q задана для всех поверхностей и требуется определить распределения температуры по этим поверхностям. В этом Случае метод, в котором сначала определяются плотности потоков эффективного излучения до, имеет преимущество перед методом, в котором используется уравнение (8.39) и температуры Т выражаются непосредственно через заданные потоки результирующего излучения. Это преимущество связано с тем, что уравнение (8.436) не зависит от радиационных свойств поверхностей, т. е. для системы с заданными тепловыми потоками g величины до нужно определять только один раз, записывая уравнения (8.436) для каждой новерхности. Затем вычисляются распределения температур по уравнениям (8.446), в которых учитывается зависимость от степени черноты. Такой подход предпочтителен при исследовании влияния изменения температуры для различных значений степени черноты при заданных значениях д.

Когда все поверхности черные, gft == 1, и уравнение (8.446) принимает вид

с1П{ги)ь = до,кЫ-

Так как величины д^, не зависят от степеней черноты поверхностей, то они действительны также для поверхностей с f 1. Тогда решение (8.446) можно записать в следующем виде:

~ -?йЫ + оП(Гй)ь.

0П(Гй) =

(8.45)

Это соотношение связывает распределения температуры в замкнутой системе с f 1 с распределениями температуры в замкнутой системе, образованной черными поверхностями нри одинаковых подводимых тепловых потоках. Таким образом, после определения распределений температуры для замкнутой системы, образованной черными поверхностями, распределения температуры

Таблица 8.1

Соотношения между потоками излучения и температурой для диффузно-серых замкнутых систем

тип поверхности

Граничные условия

Определяемые величины

Уравнение

Поверхности конечных размеров

Th на всех поверхностях

1 < А: < Л?

(8.19)

Чо,к

(8.23)

Qh на всех поверхно-

(8.19)

стях

Яо,к

(8.7)

Th для 1 < А < m Qu для m-bl<A<iV

Qk для 1<А:<;т Tk для m+l<:A;<iV

(8.24) и (8.6) или (8.19)

Яо.к

(8.24)

Бесконечно малые новерхности

Tfe на всех поверхно-

(8.39)

стях

1 < А- < iV

9o,ft

(8.42)

Qh на всех поверхно-

(8.39)

стях

(8.35)

Tfe для 1 < А: < m qu для m +1 <; А <

Qk для 1 <: Ac <: m

Tk для m +1 <; A: < TV

(8.39) или (8.43) и (8.44)

(8.43а) и (8.436)

qo,h для 1 <А:<Л^ Тп для 1 < А: < m qu для m-\-i<kN

qk для l<A:<m

Tk тят+ l<A:<yV

(8.44а) (8.446)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 [ 47 ] 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156

© ООО "Карат-Авто", 2001 – 2018
Разработчик – Евгений Андрианов