где соответствующие каждой поверхности индексы к принимают значения 1, 2, . . ., N, а - символКронекера, определяемый равенствами

1 при к = j, О при kj.

Когда температуры поверхностей заданы, правая часть уравнения (8.19) известна. В этом случае получается система из N уравнений для неизвестных тепловых потоков Q.

Тепловые потоки к некоторым поверхностям могут быть заданы, п тогда требуется определить температуры этих поверхностей. Получается совокупность из N неизвестных Q и Т, а система (8.19) обеспечивает необходимое число уравнений. Так как величины f зависят от температуры, на начальном этапе решения необходимо задаться неизвестными Т. Тогда можно выбрать значения f и решить систему уравнений. Полученные в результате значения Т используются для выбора новых g и процесс повторяется до тех пор, пока величины g и Г не перестанут изменяться ири последующих итерациях. Еще раз заметим, что результаты, полученные этим методом, будут приближенными, так как предположение об однородном потоке эффективного излучения строго не выполняется в пределах каждой поверхности конечных размеров.

ПРИМЕР 8.6. Рассмотрим замкнутую систему из трех поверхностей (фиг. 8.5). Поверхность 1 поддерйгивается при температуре Tl, поверхность 2 равномерно нагревается при плотности теплового потока q, а третья поверхность теплоизолирована. Составить уравнения для определения Qi, Т^ и Тд.

В соответствии с условиями задачи (з/Лд = (?2 Qs = Из уравненпя (8.19) получаем следующие три уравнения, в которых неизвестные сгруппированы в левой части:

-17 (ТГ - ) + - + -з^з =

1-62

= (1-Fi i) art+ 521-2-

= -F2 iart-<?2(---F.

(8.20а)

1-62

.) , (8.206)

i-ei

-F,2oTt-(i-F,.,) oTl =

1-62

(8.20b)

Если f 2 зависит от температуры, то необходимо использовать метод итераций, в соответствии с которым выбирается температура Г2, затем определяется 2 (2) и уравнения решаются относи-

тельно Т2, причем процесс итераций продолжается до тех пор, пока f 2 (2) и Г2 не перестанут изменяться при последующих итерациях. (Заметим, что для рассматриваемой простой геометрической схемы и условий задачи решение можно упростить с помощью закона сохранения энергии Qi = -Q-)

Метод решения с использованием илотности потока эффективного излучения Qo. В этом варианте расчета теплообмена излучением внутри замкнутой системы определяется плотность потока эффективного излучения qo для каждой поверхности, а затем вычисляются потоки результирующего излучения Q и температуры Т. Когда поверхность освещена источником излучения, плотность потока эффективного излучения qo представляет собой сумму плотностей потоков собственного и отраженного излучения. По этой причине желательно в некоторых случаях определить исходные величины, составляющие поток qo- Конечно, в предыдущем методе (стр. 277) плотности потоков эффективного излучения можно было найти при помощи уравнения (8.6), если известны Q и Т.

При заданных температурах поверхностей, если исключить из уравнений (8.6) и (8.7), получается система уравнений относительно qo- Тогда уравнение для плотности потока эффективного излучения от к-ж поверхности имеет вид

до,-(1-ы S Рп-йо,! = епоТ1 (8.21)

Поясним это на примере системы из двух поверхностей. Из уравнения (8.21) следует

до, 1 - (1 -еО Fi-igo, 1 - (1 - Ы Fi 2go, 2 = Ь^Т\, (8.22а) до. 2 - (1 - €2) F-iQo, 1 - (1 - €2) 2-2go. 2 - eoTl (8.226) Уравнение (8.21) можно записать в другом виде

S [6fej-(l-6ft)fe-7]go,; = €ftCTn- (8.23),

При заданных значениях температур Т плотности потоков эффективного излучения qo можно определить пз уравнения (8.23). При этом можно использовать уравнение (8.6) для вычисления потоков результирующего излучения каждой поверхности Q.

Если для некоторых поверхностей заданы величины Q, а для других Т, то уравнения (8.23) для поверхностей с известными Т в сочетании с уравнениями (8.7) для поверхностей с известными Q образуют систему уравнений для расчета неизвестных до. После определения qo для некоторой новерхности по известному значению Q (или Т) из уравнения (8.6) можно определить неизвестное значение Т (или Q). В общем виде, если замкнутая система имеет

поверхности 1, 2, . . ., тс заданными температурами и поверхности m-fl, т4-2, iVc заданными тепловыми потоками, из выражений (8.23) и (8.7) получается система уравнений относительно qo, которая имеет вид

l\[\j~{i~n)Fn-j]qo,j = kn 1</с<т, (8.24а)

2 {buj-Fu-j)qo,j = -

Qk Ah

m+ 1<А;<Л'.

(8.246)

Заметим, что д.ля черной поверхности с температурой из (8,24а) следует до, и = Т{, так что плотность теплового потока до, и в этом случае известна, и число уравнений системы может быть сокращено на одно.

ПРИМЕР 8.7. Усеченный конус имеет подогреваемое нижнее основание (фиг. 8.6). Верхнее основание поддерживается при

Поверхность 3 О.а мм Тз = 555К

Поверхность 2 {идеально изолиро6ана~)

101,6 ММ

Поверхность 1 Ql -3154Вт/м2 1-0,6

Фиг. 8.6. .Замкнутая система (пример 8.7).

температуре 555 К, в то время как боковая поверхность идеально изолирована. Поверхности 1 и 2 предполагаются серыми и диф-фузнылги, а поверхность 3 черной. Какова температура поверхности 1? Какова роль

Используя угловой коэффициент для двух параллельных дисков (конфигурация 18, приложение В), получаем Fgj = 0,33. Тогда F 1 - Рз 1 ---- 0,67. Из соотношений взаимности iFi. 3 = ЛзРз 1 и Лгг-з = ЛзРз 2 находим Fi 3 = 0,147 и F2-3 = 0,13. Тогда Fj 2 = 1 - Fi 3 = 0,853. Из соотношения Л 11-2 = Л22-1 находим F2-1 = 0,372. Наконец, 2-3 = 1 - - F-i - F2-3 = 0,498. Из уравнения (8.19) с учетом (?2 = О

И 1 3 = О получаем три уравнения, в следующем виде:

3154 0,6

= а (rt- 0,853Г*- 0,147.555*),

-3154-0,372

I -0,6 0,6

= а [ - о,ШТ\ + (1 - 0,498) Г* - 0,13 555*],

-3154-0,33-0: + = а [-0,33rt-0,67rH555 ].

Эти три уравнения можно решить относительно неизвестных Tj, 2 и (?з- (Заметим, что для этого частного случая тепловой поток Q3 можно также получить из уравнения сохранения энергии, т. е. Q3 = -(?1-) Решением задачи является = 728 К. Так как С'2 = О, то все величины, содержащие f., равны пулю, так что £2 не появляется в уравнениях системы. Следовательно, в случае диффузно-серых поверхностей степень черноты изолированной поверхности не влияет па результаты ренгения.

8.3.2. Обращение матриц

Для замкнутой системы, состоящей из большого числа поверхностей, по.лучается большое число уравнений, как (8.19) или (8.24). Эти уравнения можно решить на ЭЦВМ с помощью стандартных программ, которые позволяют ре1пать системы из нескольких сотен уравнений.

Систему уравнений, подобную (8.24), можно записать в компактном виде. Обозначим известные величины в правой части уравнения через С^, а величины в скобках в левой части уравнения через aj. Тогда система из к уравнений может быть записана в виде

2j 0,hj4o, j == Ch, J-1

где

- ==1 6ft,-Fft ,

(8.25a)

l<A;<m,

m.4 l<A;<iV.

(8.256)

Для замкнутой системы из N поверхностей эта система уравнений имеет вид

аи?о, 1 Г 12?о, 2 + - + aijqo, j+ .. . + aiqo, n = Су, aiqo, 1 + 220,2 + - - - + 20. j + . + ayqo, n = С 2,

Qh An

а-мЧо, 1 + h2?o, 2 +

(8.26)

ЯачЯо, 1 + о-учЧо, 2

liii

пГ? ФФЦ/и^ J образует матрицу коэффициентов, которая часто обозначается квадратными скобками

а = [auj] =

ац ai2 .. . aij . .. aix

21 22 27 2Л^

ы Ойг . й^ . . . Яйл, L ivi Ял2 aj . . , a Y.vJ

(8.27)

Метод решения системы уравнений, подобной (8.26), зак в получении другой матрицы а-\ которая называется о

ся в

матрицей а, т. е.

11 #12 ... Лij, I .21 .22 ...Jii----2Л-

L>,V1 X2 Nj c/lNX

заключает-братной

(8.28)

В обратной матрице содержатся члены Jij, соответствуюш,ие каждому ufj в первоначальной матрице. Коэффициенты J- определяют путем преобразования а способом, кратко сводящимся к следующему. Если /с-я строка и /-й столбец, которые содернот элемент в квадратной матрице а, вычеркнуты, то определитель остав|(ейся квадратной матрицы называется минором элемента aj п обозначается Mj. А.тгебраическое дополнение элемента aj определяется как ( - 1)+ Mj- Чтобы получить матрицу, обратную квадратной матрице [a,jjl, каждый элемент о^; сначала заменяется своим алгебраическим дополненпем. Строки и столбцы полученной матрицы затем взапмозаменяются. Каждый пз элементов полученной таким способом матрицы делится на определитель I aj I первоначальной матрицы [а^]\- Элементы, полученные подобным образом, являются коэффициентами А^г Более подробное описание обратного преобразования матриц содержится в учебниках по математике, например [6]. Существуют стандартные программы для ЭЦВМ, с помощью которых можно вычислить коэффициенты обратной матрицы Jpfj пз матричных элементов а^у После того как получены коэффициенты обратной матрицы, неизвестные величины в (8.26) находятся как суммы произведений J п С:

Яо. 2 = .#211 + .222 + . .. + Jo.jCj +...+ J.nCx, (8.29а)

go,ft=ftlCi + ./b2C2-t- . . +Jhfj +АкхСк

или

(8.296)

Таким образом, решение для каждого значения до, ь получается в виде суммы значений goT* и Q/A (обозначенных символом С), каждое из которых взвешено с помощью коэффициента

Для данной замкнутой системы угловые коэффициенты в уравнении (8.256) остаются постоянными. Если к тому же постоянны и jj, то элементы й^у, а следовательно, п элементы обратной матрицы J- j остаются постоянными. Этот факт используется при вычислении потоков излучения внутри замкнутой системы со многими различными значениями температур Т и тепловых потоков Q на поверхностях. Достаточно только одного обращения исходной матрицы, и затем уравнение (8.296) можно применять для различных значений С. Эти замечания также применимы к системе уравнений (8.19). После обращения матрицы коэффициентов можно определить потоки результирующего излучения Q как взвешенную сумму величин Г*.

8.4. ТЕПЛООБМЕН ИЗЛУЧЕНИЕМ

МЕЖДУ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫМИ ПЛОЩАДКАМИ

8.4.1. Обобщенный метод сальдо

для бесконечно малых площадок

В предыдущем разделе замкнутая система была разделена на поверхности конечных размеров. Точность выполненных расчетов ограничена предположениями о том, что температура, а также падающее и эффективное излучения каждой поверхности постоянны в пределах данной поверхности. Если эти величины непостоянны в пределах части границы замкнутой системы, то граничная поверхность должна быть дополнительно разделена на участки таким образом, чтобы изменение этих величин в пределах каждой зоны было не слишком большим. Может понадобиться при проведении расчетов уменьшать размеры используемых участков (и соответственно увеличивать число уравнений) до тех пор, пока размеры площадок не уменьшатся настолько, что резу.льтаты расчета перестанут существенно изменяться . В пределе граница замкнутой системы или часть ее может быть разде.тена на бесконечно малые элементы. Это позволит учитывать существенные изменения величин Т, q, qi и go-

При формулировке задачи с использованием бесконечно малых участков поверхности уравнения теплового баланса имеют вид Системы интегральных уравнений. Иногда можно получить аналитическое решение этой системы в замкнутом виде при помощи