С ПОМОЩЬЮ соотношений взаимности, примененных к системе уравнений

+ , 20 {Т\ - ft) + 22-зО {Т\-Т\)\

ПРИМЕР 7.21. Замкнутая система, рассмотренная в примере 7.15, имеет две поверхности при температурах и Т^ соответственно. Третья новерхность адиабатическая: (з = О- Определить

(?2 и Гз.

Уравнение (7.67) для каждой поверхности имеет вид ?1 = Л1Л.2О {Т\ - П) + AiFi ,a (Т\ - Ц), Q2 = AF-iO (П -Т\) + AF.o (П-Ц), О = AsF.iO -Tt) + A,F,20 (П -П).

Последнее уравнение решается относительно Г3, единственного неизвестного в этом уравнении. Это значение Г3 затем подставляется в первые два уравнения для определения и Q..

ПРИМЕР 7.22. Очень длинная черная подогреваемая труба А- длиной L окружена концентрическим черным цилиндром, состоящем из двух частей (фиг. 7.32). Диаметр цилиндра в два раза

Фиг. 7.32. Теплообмен излучением в полом цилиндре, состоящем из двух

частей, L > Л,.

а - геометрия замкнутой системы; б - вспомогательное построение для определения Р^-г-

больше диаметра трубы. Половина потока излучения отводится от верхней части цилиндра з и столько же от нижней А2- Чему равны Т2, Тз, Q2 и Q, если Т, = 1666 К и плотность теплового

потока, подводимого к трубе, равна QJAi = 3,154-10 Вт/м^? Влиянием концов трубы пренебречь.

Уравнение (7.67) для каждой поверхности имеет вид

?1 = AiFi.20 {Т\ - П) + ..-зО {Т\ -П),

<?2 = 22-10 {П-Т\) + А^Р^-г^ (П-П),

Q, = A.F.iO {Tl - rt) + Лзз 20 {Т' - Ti).

Из геометрических соотношений получаем

Ау Ау nDL .

так как = 2Z)i. Из условия теплового баланса следует

(?i -Ь (?2 + ?з = О и, так как А, - А^ = А.,

Из условия задачи

3 1 2

2 4= 2,1.105 Вт/м2, : -4-т^= -1,05.10 Вт/м2.

3 д Ai

Из соображений симметрии и алгебры угловых коэффициентов известно, что

1-2 = 1-3 = о 1

F2-I = 3-1 =

AiFi s 1

Аг ~ 2

2-3 = 3-2-

Определить fg-s можно из соотношения

2-1 -Ь 2-2 -Ь 2-3 = 1

Используя условие i2-i = V2, получаем

2-3 = 2~2-2-

Из вспомогательного построения на фиг. 7.32, б имеем

2-2 = 1 - F 2-Е-

Эффективная площадь А^ использована с целью сохранить неизменной проекцию новерхности 2 на себя и упростить геометрию.

чтобы можно было использовать метод натянутых нитей для определения F-e- Непересекающиеся нити, проходящие от а - а' и Ъ - Ъ', имеют нулевую длину. Пересекающиеся нити проходят от а - Ъ' ж а' - Ъ ж каждая имеет длину 2 ]ЛЗ i?i + яi?l/3. Тогда из разд. 7.5.4 (метод Хоттеля) и равенства - Ai = 2яi? получим

1Л/-дН1+пЕф Уз , 1 гг-Е = ---- ~----

откуда следует

2-3 - \- 2-2 = 4 ~ (1 ~ Рч-в) =

= J-y = 0,218.

С учетом этих данных уравнения теплового баланса принимают следующий вид:

3,154.10 = -J (16664 -Т1) + (1666* - Г*), - 2,1.10 = у {Т1 - 16664) + 0,218ст {Tt - Tf), -1,05.10 = у {TI -1666*) + 0,218ст {TI ~Т\).

Сложение второго и третьего уравнений дает первое уравнение, так что только два уравнения являются независимыми. Решение первого и второго уравнений дает Т^ = 1050 К, Т^ = 1330 К.

7.8. ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА

ОБ УГЛОВЫХ КОЭФФИЦИЕНТАХ

Первое опубликованное утверждение о том, что геометрические факторы в уравнениях теплообмена излучением могут быть отделены от энергетических факторов, не было очевидным. Конечно, Нуссельт понимал, что такое разделение содержалось в его выводе с использованием метода сферы единичного радиуса, опубликованном в 1928 г. [6]. Он применяет угловой коэффициент в статье и дает современное определение этого коэффициента как части энергии излучения, испускаемого одной поверхностью, которая падает на другую поверхность.

Один из первых расчетов теплообмена излучением между двумя поверхностями был проведен Христиансепом в 1883 г. [7]. Он исследовал теплообмен излучением между концентрическими цилиндрами, рассматривая цилиндры как с диффузной, так и с зеркальной поверхностями. С помощью метода многократных отражений он получил соотношение для теплообмена излучением между цилиндрами с диффузными поверхностями, приводимое

(7.68)

в большинстве учебников:

Ai l/6i4-(l/62-lHi/42

В таком выводе понятие углового коэффициента не является ни необходимым, ни очевидным, и Христиансен не упоминает о нем.

Сампнер в 1894 г. обсуждал справедливость закона Ламберта в связи с некоторыми экспериментами в фотометрии [81. Он также был близок к определению углового коэффициента, но не сделал последнего шага. Он высказал замечание, которое остается справедливым и сегодня: Терминология в светотехнике используется неоднозначно, и ее применяют в зависимости от контекста ).

Только в 1907 г. Гайд проанализировал геометрическую теорию излучения [91. Он еще не выделил геометрические величины, и не дал четкого определения углового коэффициента, хотя продвинулся дальше при вычислении интегралов, появляющихся в уравнениях теплообмена. Он исследовал некоторые достаточно сложные геометрические конфигурации, например он рассмотрел теплообмен излучением между эллипсом и элементарной площадкой.

Саундерс продолжил работу Христиансена и опреде.пил угловой коэффициент, который он обозначил К [10]. По его определению К - это часть энергии излучения, испускаемого поверхностью, которая возвращается на нее путем отражений от других поверхностей и затем ею же поглощается. Такое определение эквивалентно 5ггКоэффициентам Гебхарта [И]. Саундерс применил это понятие к простым геометрическим системам из двух тел, но не развил его дальше. И только в 1920-1930 гг. понятие об угловых коэффициентах вводится во многих работах, например в статье Нуссельта, эти же идеи используются в статьях Бакли и Ямаути [6, 12, 13]. С другой стороны, работа Шака ничего нового не содержит, хотя автор и ссылается на статью Нуссельта [14] ).

7.9. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

В этой главе были представлены и развиты методы расчета теплообмена для изотермических черных поверхностей и замкнутых систем, состоящих из отдельных изотермических черных

) Распределение излучения по направлениям для реальных тел по законам Ламберта [29*} или Эйлера [60*] связано с физическими особенностями излучения вещества, обусловленными тем, что излучает не поверхность, а слой вещества, как это показано в работе Сапожникова [17*, стр., 65-66].- Прим. ред.

2) Из наиболее ранних работ, в которых используются угловые коэффициенты для тел различных конфигураций, следует также упомянуть работы Гербеля [26*] и Поляка [44*-46*].- Прим, ред.

поверхностей. Теплообмен излучением между отдельными изотермическими черными поверхностями можно рассчитать довольно простыми методами. Основные трудности в задачах такого рода связаны не с теорией, а с геометрическими и алгебраическими расчетами, а также с интегрированием, которое необходимо проводить при вычислении угловых коэффициентов для различных геометрических конфигураций. Эти трудности сводятся к минимуму благодаря наличию достаточного числа формул, графиков и таблиц уже рассчитанных угловых коэффициентов. Ссылки на работы, в которых приведены эти коэффициенты, даются в приложении Б, а некоторые коэффициенты можно найти в нриложении В.

Для практических расчетов теплообмена излучением нред-положение о черных поверхностях является приближенным. Следовательно, приведенные здесь результаты имеют ограниченное неносредственное применение. В ряде случаев, например при расчете теплообмена внутри некоторых печей, использование предположения о черных поверхностях позволяет получить приемлемые результаты. Теория теплообмена излучением внутри замкнутой системы, состоящей из черных поверхностей, несмотря на ее ограничения, выполняет две важные функции. Во-первых, это предельный случай, с которым можно сравнивать характеристики нечерных поверхностей и соответствующие вычисления. Этот случай обеспечивает хороший численный контроль для задач, в которых проводится параметрическое исследование и в которых радиационные свойства изменяются в широком диапазоне. Во-вторых, предположение о черных поверхностях является основой для более общих теорий теплообмена и более сложных замкнутых систем. Рассмотренное в этой главе нриближение будет использовано в следующих главах применительно к задачам, в которых рассматриваются более сложные системы, имеющие нечерные и неизотермические поверхности.

Литература

1. Feingold А., Radiation-interchange Configuration Factors between Various Selected Plane Surfaces, Ртос. Roy. Soc. (London), ser. A, 292, № 1428, 51-60 (1966).

2. Мак-Адамс В. X., Теплопередача, Металлургиздат, 1961, 87-175.

3. Moon P., The Scientific Basis of Illuminating Engineering, rev. ed., Dover Publications., Inc., New York, 1961.

4. Спэрроу Э. M., Cecc P.Д., Теплообмен излучением, изд-во Энергия , 1971.

5. Спэрроу Э. М., Новый упрощенный расчет угловых коэффициентов излучения. Труды амер. общ-ва инж.-мех., сер. С, Теплопередача, № 2 (1963).

6. Nusselt W., Graphische Bestimmung des Winkelverhaltnisses bei der Warmestrahlung, VDIZ., 72, 673 (1928).

7. Christiansen C. II, Absolute Bestimmung des Emissions- und Absorptions-vermogens fiir Warmes, An7i. Physik, Wied. 19. 267-283 (1883).

8. Sumpner W. E., The Diffusion of Light, Proc. Phys. Soc. (London), 94, 10-29 (1894). V .

9. Hyde E. P., Geometrical Theory of Radiating Surfaces with Discussion of Light Tubes, Natl. Bur. Std. Bull., 3, 81-104 (1907).

10. Saunders O. A., Notes on Some Radiation Heat Transfer Formulae, Proc. Phys. Soc. (London), 41, 569-575 (1928-1929).

11. Gebhart B. Heat Transfer, McGraw, New York, 117-122, 1961.

12. Buckley H., Radiation from the Interior of a Reflecting Cylinder, Phil. Mag., 4, 753-762 (1927).

13. Yamauti Z., Geometrical Calculation of Illumination, Res. Electrotech. Lab (Tokyo), 148 (1924).

14. Шак A., Промышленная теплопередача, 5-е переработанное и расширен-нное издание, Металлургиздат, М., 1961.

1. Вывести выражение для углового коэффициента 1-2 между элементарной площадкой, расположенной над центром диска, и диском единичного радиуса. Ответ: 1/{Н^ + 1).

- - dA, [параллельна Aj)

2. Каков поток результирующего излучения между двумя черными поверхностями dAi и'2? Ответ: dQg- = ДО Вт.

dA 12,7xl2,7MM

Т, =1666к .----Тг =555к

152,4 мм

3. Угловой коэффициент между двумя бесконечно длинными расположенными против друг друга параллельными пластинами конечной ширины L равен Fj.g. Расстояние между пластинами D.

а. Вывести выражение для Fy 2 путем интегрирования углового коэффициента между элементарными полосами.

б. Вывести выражение для Еу 2 методом натянутых нитей. Ответ: Yi + [DILf - DIL.