разности между и di-4- Тогда

dF di-di = Fdi-z - Fdi-k = -

dl-D

di-n

Таким образом, если бы угловой коэффициент Fi-o между элементом в углу канала и квадратной площадкой в параллельном сечении был известен, то производная этого коэффициента по разделяющему их расстоянию могла быть использована для определения искомого коэффициента.

Угловой коэффициент между элементом в углу канала и параллельным равнобедренным прямоугольным треугольником можно найти, приняв tg 9 = 1 в выражении, выведенном для прямоугольного треугольника в примере 7.17. Это приводит к следующему выражению (в данном случае d = х):

2я ( 2 + 2)1/2 (а 2)1/2

Проверка показывает, что из соображений симметрии угловой коэффициент между элементом в углу канала и квадратом равен удвоенному коэффициенту F . Искомый угловой коэффициент

тогда будет равен

dFdi-d2 =

ах dx

{arctg

л дxlaJ .ii2

( X Г я 1 , а(а^ I arctg - - I

arctg

(а2ц а.2)1/2

а:2 + 2я2 (l+Z2)l/2

где X = х/а.

В общем случае начнем с углового коэффициента Fj 2 между двумя параллельными поверхностями At vi А^, которые являются сечениями цилиндрического канала с произвольной формой поперечного сечения (фиг. 7.29, а). Этот коэффициент зависит от расстояния I - x I между двумя поверхностями и учитывает затенение стенкой канала (т. е. этот коэффициент характеризует видимость 2 с поверхности Ai в присутствии стенки канала). Заметим, что для простых геометрических форм, таких, как круглая труба или прямоугольный канал, затенение стенкой равно нулю. Угловой коэффициент между и dA, на фиг. 7.296 определяется выражением

(7.63)

как в примере 7.19. Теперь можно использовать уравнение (7.63) для получения углового коэффициента между двумя элементарными площадками dFi-d- фиг. 7.29, в.

Цилиндрический канал с произвольной формой поперечного сечения

Фиг. 7.29. К выводу выражений для угловых коэффициентов между элементарными площадками с помощью .метода дифференцирования углового коэффициента между поверхностями конечных размеров.

о - две поверхности конечных размеров, fj-j; б - поверхность конечных размеров и элементарная площадка, dF-i = - {дР-/дХг) йжг; в - две элементарные площадки, dJ?cli d2 = - {Аг/dAi) (dFi-/dXidx.) dxdx.

Из соотношения взаимности имеем

rdi-i--тт:---z-ai-

Тогда, как и при выводе уравнения (7.63), получаем

dFdo-di =

SFd2-

- dxi.

Подстановка Fdi приводит к выражению

dFdi-d\ =

Аi 521,2

dA dXi

dxz dxi

(7.64a)

или после применения соотношения взаимности

(7.646)

Следовательно, для цилиндрической конфигурации угловой коэффициент dFdi-di получается путем двукратного дифференцирования Fi-2.

7.5.5. Метод сферы единичного радиуса

Экспериментальное определение угловых коэффициентов возможно при помощи метода сферы единичного радиуса, предложенного Нуссельтом [6].

Фиг. 7.30. Геометрическая схема для определения угловых коэффициентов методом сферы единичного радиуса.

Если над элементарной площадкой dA, построить полусферу единичного радиуса (фиг. 7.30), то угловой коэффициент между dA, и некоторой поверхностью А., согласно уравнению (7.13),

будет равен

COS Рг di

- = cos Pi йсо1.

Заметим, что dcoj - проекция так как

dcoi = -- = dAs =

2 на новерхность полусферы,

COS Pa dA-i

где r - радиус единичной полусферы. Угловой коэффициент тогда равен

Fdi-2 = j cosPids.

Однако dAs cos Pi - проекция dAs на основание полусферы. Следовательно, интегрирование cos р, дает проекцию Лноверхности на основание полусферы, или

idl.2 = 4- JcOSpidilT-

На этом соотношении основаны некоторые графические и экспериментальные методы определения угловых коэффициентов. В одном из таких методов зеркальная полусфера, отражающая наружной поверхностью, помещается над элементом dA. Фотография, сделанная камерой, расположенной над полусферой точно по нормали к dAi, дает проекцию А2, которую мы обозначили Л ь.) Измерение на фотографии дает возможность определить fdi-2 но формуле

Fdi-2=-

яг

2 Я

где Ге - радиус экспериментальной отражающей полусферы.

7.6. СПРАВОЧНЫЕ ДАННЫЕ

НО УГЛОВЫМ К0ЭФФИЦИЕНТА]У1

Многие угловые коэффициенты табулированы для конкретных геометрических конфигураций, и эти таблицы можно встретить в разных источниках. Вместо того чтобы пытаться собрать все коэффициенты здесь, мы поступили иначе. В приложении Б представлены геометрические конфигурации, для которых известны угловые коэффициенты, и указаны работы, в которых приведены эти коэффициенты. В нриложении В даны некоторые коэффициенты.

Это утверждение не точно.- Прим. ред.

7.7. ТЕПЛООБМЕН ИЗЛУЧЕНИЕМ В ЗАМКНУТОЙ

СИСТЕМЕ, СОСТОЯЩЕЙ ИЗ ЧЕРНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

В предыдущих разделах настоящей главы исследовался теплообмен между двумя отдельными поверхностями или элементами поверхностей и было введено понятие углового коэффициента. В данном разделе эти представления обобщены на случай теплообмена внутри замкнутой системы, состоящей из черных поверхностей, каждая из которых находится при постоянной температуре.

Фиг. 7.31. Замкнутая система, состоящая из N черных изотермических поверхностей (показана для простоты в сечении).

На практике внутренние поверхности стенок черной замкнутой-системы, например печи, могут быть неизотермическими. В таком случае неизотермические поверхности делятся на участки, которые можно будет считать изотермическими. Теория теплообмена в идеальном случае замкнутой системы, состоящей из черных поверхностей, будет служить введением в более общую теорию теплообмена, изложенную в последующих главах.

Запишем условие теплового баланса для типичной поверхности Л ft (фиг. 7.31). Тепловой поток, подводимый к Л^ от внешнего источника для поддержания ее при температуре Г^, равен Qj. Поток излучения, испускаемого Л^, равен оГЛ^. Поток излучения, падающий на Л^ от другой поверхности Aj, равен oTjAjFj f,.

Тогда условие теплового баланса записывается в виде

(7.65)

где сумма учитывает потоки излучения от всех поверхностей замкнутой системы, включая Лд, если Ау - вогнутая поверхность. Уравнение (7.65) можно записать в другом виде. Применяя соотношение взаимности к слагаемым, стоящим под знаком суммы,-получаем

Qu = oTiAu- S onAuFu-j. (7.66)

i=i\

Кроме того, для полностью замкнутой системы иэ (7.42) имеем

так что

Qk = onAu S Fk-j-oAk S TjFk-j = oAu 2 {n-T))Fu-j. i=i J=l i=l

(7.67)

Результирующий поток излучения представлен в виде суммы потоков между Ah ж каждой поверхностью.

ПРИМЕР 7.20. Замкнутая система из трех черных поверхностей, рассмотренная в примере 7.15, имеет температуры поверхностей соответственно Ti, Т^, Т^. Требуется определить потоки энергии, которые следует подвести к каждой поверхности для поддержания заданных температур поверхностей, что равносильно определению потока результирующего излучения с каждой поверхности.

Уравнение (7.67) записывается для каждой поверхности:

Qi = AF-iO {Tt - ft) + A2F2-3O (П ~П), (?з = AFa (TI -П) + ЛзРз-20 (П -П).

Угловые коэффициенты для этой геометрической конфигурации найдены в примере 7.15. Таким образом, все коэффициенты в правой части этой системы уравнений известны и значения Q могут быть вычислены непосредственно.

Проверка численного расчета следует из закона сохранения энергии, т. е. поток результирующего излучения Q, подводимый к замкнутой системе, должен быть равен нулю для поддержания постоянных температур поверхностей. Это можно также показать