И уравнение (7.606) можно записать в виде

2п

Так как элемент dAi расположен в начале системы координат, то

Фиг. 7.26. Угловой коэффициент между плоской элементарной площадкой и прямоугольным треугольником в параллельной плоскости.

Хх = Ух --= О ж выражение для di-a имеет вид

Расстояние S между dA и любой точкой (xyi) на поверхности А2 равно

= х1 + у\Л- z\ х\у\ d\ Теперь в уравнении для углового коэффициента должно быть выполнено интегрирование по контуру прямоугольного тре-

угольника. Чтобы сохранить положительный знак при F интегрирование выполняется вдоль граничных линий I, II и III в определенном наиравлении. Это направление совпадает с направлением движения, шагающего вдоль граничных линий человека, голова которого обращена в направлении нормали п^, а поверхность Л 2 всегда расположена слева от него. Вдоль граничной линии I = О, dx = О, О г/2 а. На линии II у^ = а, dy = = 0, О Х2 Ъ. На линии III интегрирование производится от точки g = О до точки с, где - координата вдоль гипотенузы треугольника, так что

2 = (с - \) sin 0 и dx = - sin G й^, г/з = (с - \) cos 0 и dy = - cos 0 dl,. Подстановка этих величин в интеграл, определяющий 1-21 Д^т

I, II, ш

xl + yi-d

2nF,

dl-2=0+ f

X2=0

x-]-a2-l-d2

, f - (c - I) cos e sin e d -f (c - g) sin 6 cos 9 dg

J (c -g)2sin2 9-f (c-)2C0S2 9-f d2

или

и

Используя табличные интегралы, получаем

Fdi-2 =

2я(а24-2)1/2 (а2-й2)1/2

или в безразмерном виде

где

X = a/d, lgQ = b/a.

Угловой коэффициент между поверхностями конечных размеров. Для угловых коэффициентов между поверхностями конечных размеров подставляем (7.606) в (7.23)

И получаем уравнение AiFi.2 = AF-i = J Fdi-2 dAy =

(У2 -yt) i -(2 -l) mi

2я L J

C2 Ai

(Z2 -Zl)Zl-(X2-Xl)Wl

C2 Ai

(Хз -xi)mi -(г/2 - 52

dz2, (7.61)

C2 Ai

В котором интегралы перегруппированы и dx, dy, dz вынесены за скобки, так как они не зависят от поверхности Ai, по которой производится интегрирование.

Теорема Стокса применима к каждому из трех интегралов по поверхности. Рассмотрим первый из них

{У2 - У1) 1 -(Z2 -Zl) il

52 .

И сравним его с интегралом по поверхности в уравнении (7.52), что дает

дН dQ

ду1 dzi дР OR - (Z2 -zi)

dzi dxi S-

dQ dP У2~У:

dxi dui 52

Решением этой системы уравнений в частных производных является Р = In S, Q = Q, R = О [5], и интеграл по поверхности с по-мош;ыо уравнения (7.52) можно преобразовать в интеграл по контуру

J (2-.Vl)ni-(Z2-Z,) ii , In й^.

Применяя аналогичным образом теорему Стокса к двум другим интегралам в (7.61), можем записать

AiFi 2 = -§(§lnSdxi)dx2 + (]nSdyi)dy2 +

С2 Ci

C2 С)

C2 Cl

или в более компактном виде

Fi 2 = 2nAi § + In 5 dy2 dyi -Ь In 5 dz2 dzi). (7.62)

Cl C2

Таким образом, интегрирование по двум поверхностям, или по четырем переменным, заменено интегрированием но двум контурам, ограничиваюш;им эти поверхности, что значительно сокращает расчеты при выполнении численных оценок и позволяет иногда проводить аналитическое интегрирование, которое невозможно при четырехкратном интегрировании но новерхности.

ПРИМЕР 7.18. Используя метод интегрирования по контуру, найти выражение для углового коэффициента системы параллельных прямоугольников (фиг. 7.27).

(<2,У2,С)

Фиг. 7.27. Интегрирование по контуру для определения углового коэффициента между двумя параллельными прямоугольниками.

Заметим, что на обеих поверхностях dz = 0. Выражение (7.62) сначала интегрируем по контуру С2- Величина S, используемая в (7.62), измеряется от произвольной точки (xi, у^, 0) на новерхности Л i до точки на рассматриваемой части контура С2. В результате интегрирования получаем выражение ь

-2 = - §{ J ln[xf-f (1/2-г/,)2 + с2] 1/21/2-Ь

Ci U2=0

+ j \n[(a-xir + {y2-yif + cfdy2}dyi +

Ci xz=0

и

x2=a

Затем, выполняя интегрирование по контуру Ci, получим для этого случая восемь интегралов. Первые четыре, соответствующие первым двум интегралам предыдущего уравнения, имеют следующий вид:

ь ь

2nabFi 2 J J \n[a + iy2-yi) + cVdy2dyi +

!/l=0 f/2=0 0

b о

+ J J \n[{y2-yif + c] dy2dyi +

yi=0 У2=Ь 0 0

+ J J \n[a+{y2-yif + c Uy2dyi +

yi=b У2=Ь

-Ь (4 интеграла по х) =

У1 = 0 У20

а а

Ж1=0 Ж2=0

(г/2-г/1Р-1-с2 J

dyi +

{Хг-чГ + Ь^ + с^

dx2 dxi.

Угловой коэффициент теперь равен сумме двух интегралов, которые могут быть вычислены аналитически, если представить каждую подынтегральную функцию в виде разности двух логарифмических функций и допустить, что г/2-!/i и - xi будут новыми переменными для снижения порядка интегралов и приведения их к известному виду. Окончательный результат можно найти в приложении В.

Дифференцирование известных угловых коэффициентов. Дальнейшим расширением алгебры угловых коэффициентов является вывод выражений для угловых коэффициентов системы элементарных площадок путем дифференцирования известных коэффициентов системы элементов конечных размеров. Этот метод

очень ценен в некоторых случаях и наилучшим образом иллюстрируется с помощью следующего примера.

ПРИМЕР 7.19. При определении теплообмена излучением в канале квадратного сечения, температура которого изменяется

Фиг. 7.28. К выводу выражения для углового коэффициента между элементом поверхности канала квадратного сечения и элементарной площадкой,

расположенной в углу торца канала, о - угловой коэффициент между dA, и стенкой канала элементарной длины dAj; б - угловой коэффициент между dA, и поверхностями а, и А4.

В продольном направлении, необходимо найти угловой коэффициент dFdi-d2 между элементарной площадкой dAi, расположен-ной^в углу торца канала, и элементом поверхности канала (фиг. 7.28, а).

Для нахождения этого коэффициента можно использовать алгебру угловых' коэффициентов и дифференцирование. Обратимся к фиг. 7.28, б. Так как доля энергии испускаемого dA излучения, падающая на dA, равна разности между долями энергии излучения, падающими на и А^, то коэффициент dFt-di равен