В единицу времени, равна ixh,n (к) dAs с1Х. Поскольку излучение испускается по нормали к элементу dAs черной стенки сферической зад1Кнутой полости, будем рассматривать спектральную интенсивность излучения абсолютно черного тела в направлении нормали. Количество энергии излучения, падающего в единицу времени на dA, зависит от телесного угла, который занимает элемент dA,

г-Абсолютно черная Сферическая замкнутая полость

Фнг. 2.4. Обмен энергией пзлзчошм между элементом поверхности аамкну-

той полости и элементарной площадкой внутри этой полости, а - абсолютно черная элементарная площадка dA внутри абсолютно черной сферической замкнутой полости; б - перенос энергии от dAs к dA ; в - перенос энергии от dAp к dAs.

если на него смотреть пз положения dAg. Этот телесный угол численно равен площади проекции элемента dA, перпендикулярной направлению (Р, 6), деленной на Л^. Площадь проекции равна

dАр -dA cos (2.2)

а энергия излучения, поглощаемого элехментом dA, равна

) = глб, (А)ЙЛЛ^(

(2.3)

Энергия излучения, испускаемого элементол( dA в направлении (Р, 9) и падающего на элемент dA (фиг. 2.4, й), должна быть равна энергии ноглоп1;аемого излучения от элемента dAs, или в противном случае нарушится равновесие. Следовательно,

{К р, Э) dAp dk = dQ,b (Я, р, 9) =

= H.b,nmdA.-dk. (2.4)

С учетом (2.2) получаем

Ч.ь (К 0) = i>.b, п (к) Ф функция (р, 9). (2.5)

Равенство (2.5) означает, что интенсивность излучения абсолютно черного тела, которая была определена в данном случае относительно площади проекции, не зависит от направления излучения. Ни индекс п, ни обозначение (Р, 9) на салюм деле не нужны для полного описания интенсивности излучения абсолютно черного тела. Так как абсолютно черное тело является всегда идеальным поглотителем и излучателем энергии, эти свойства абсолютно черного тела не зависят от окруи;ающей среды. Следовательно, полученные результаты не зависят от сделанных нами иредноложений ни о сферической замкнутой полости, ни о термодинамическом равновесии с окружающей средой ).

2.4.3. Сила излучения. Определение и закон Ламберта

Интенсивность излучения определяется относительно площади проекции площадки. Имеет смысл определить таюке величину энергии излучения, испускаемого в данном направлении единицей реа.льной площади поверхности тела (а не ее проекцией). Эта величина, обозначаемая е'и (к, Р, 9), представляет собой энергию излучения, испускаемого единицей площади элемента абсолютно черной поверхности в единицу времени, в единице бесконечно малого интервала длин волн, включающего длину волны к, в единицу элементарного телесного угла rfco, осью которого является направление (Р, 9), Энергию излучения, испускаемого в интервале dk. включающем к, в единицу времени в любом направлении, dQxh (к, р, 9) можно выразить двумя способами:

dVxh (s Р, 9) = е'хь (к, Р, 9) dA da dk = (Ц dA cos р £co dk. Следовательно,

еи{Кр,Щ==Ь.ь(Цсо5, = е;ь(КР)- - (2.6)

Из-за наличия в равенстве (2.6) ч.лена ixh (к) cos Р член ej,b (к, Р, 9) не зависит от 9, и, следовательно, его можно обозначить е'хъ {к, Р).

М Следует отметить, что для большинства законов излучения абсолютно черного тела, приведенных в этой главе, все же существуют некоторые исключения. Эти исключения не имеют сколько-нибудь существенного значения почти для всех случаев инженерной практики, однако их необходимо учитывать в случаях чрезвычайно быстрых неустановившихся процессов переноса энергии излучения. Если время неустановившегося процесса того же порядка, что и время любого процесса, определяющего испускание излучения рассматриваемым телом, то излучательные свойства тела могут отставать от его поглощательных свойств. Понятие температуры, используемое при выводе законов излучения абсолютно черного тела, в этих случаях строго не применимо. Рассмотрение таких проблем выходит за рамки данной работы (см. разд. 13.8).

Излучение абсолютно черного тела

Величина е^ь (к, Р) называется направленной спектральной силой излучения ) абсолютно черной поверхности. Для некоторых нечер-ных поверхностей е% зависит от угла 0.

Уравнение (2.6) известно как закон Ламберта, а поверхности, д.ля которых направленная сила из,лучения подчиняется этому соотношению, называются идеально диффузными поверхностями и,ли поверхностями, излучающими по закону Ламберта. Так как поверхность абсолютно черного тела всегда является диффузной, то оно используется в качестве эталона для сравнения со свойствами реальных поверхностей, зависящими от направ.яения, которые, как правило, не подчиняются закону Ламберта.

2.4.4. Полусферическая спектральная поверхностная

плотность потока излучения абсолютно черного тела

Для вычисления энергии интегрального излучения поверхности необходимо проинтегрировать спектральную силу излучения по всем телесным углам полусферической оболочки, охватывающей

Фиг. 2.5. Полусфера единичного радиуса, используемая д.т1Я вывода соотношения между интенсивностью излучения абсолютно черного тела и полусферической спектральной поверхностной плотностью потока излучения.

абсолютно черную поверхность. Полученная величина называется полусферической спектральной поверхностной плотностью потока излучения абсолютно черной поверхности е^ь Щ и равна этшргии излучения, испускаемого единицей площади абсолютно черной поверхности в единицу времени, в единице интервала длин волн, включающего К. На фиг. 2.5 показана элементарная площадка dA

1) В некоторых монографиях (см., например, [13*]) эту величину называют яркостью поверхности. Однако в терминологии АН СССР [15*] яркость и интенсивность излучения - идентичные понятия. Термин сила излучения используется в СССР в светотехнике.- Прим. ред.

в центре основания полусферы единичного радиуса. По определению, .любой телесный угол над dA численно равен вырезаемой площади на полусфере единичного радиуса. Элемент площади на этой полусфере равен

d& = sin pdpde.

Следовательно, энергия монохроматического излучения, испускаемого единицей поверхности элемента dA в единицу времени и проходящего через элемент поверхности полусферы, будет равна

exbiK P)sinMP0-С учетом (2.6) она также будет равна

е'хь i, Р) da = ilb (>) cos р sin р dp dB. (2.7)

Чтобы получить энергию излучения, испускаемого абсо.лютно черным телом в пределах полусферы, уравнение (2.7) нужно проинтегрировать по всем телесным углам

2л я/2

ехъ{Ц^1хь{Ц J J cos р sin р dp dO, (2.8a)

9 = 0 j=0

или

ель (Я) = 2п1}.ь {X) J sin pd (sin p) = Шхь {X). (2.86)

Обозначение полусферической величины не содержит верхнего индекса. Кроме того, из равенства (2.6) для излучения, испускаемого перпендикулярно поверхности (Р = 0), так-что cos Р = 1, имеем

а из (2.86) следует

ехъ,п{Ц=1хь{>), екъ {Х) = ле}м,п(Ц'

(2.9)

Таким образом, путем чисто геометрических соображений получено следующее простое соотношение. Полусферическаяповерхностная плотность потока излучения в л раз больше силы излучения в нап-равлении нормали к поверхности или в л раз больше интенсивности излучения. В следующих г,лавах будет показано, что это соотношение очень полезно для отыскания связи между направленными и полусферическими величинами.

2.4.5. Спектральная поверхностная плотность

потока излучения в ограниченном телесном угле

Иногда требуется знать энергию излучения, проходящего только через часть полусферического телесного угла, охватывающего элементарную площадку. Энергию излучения в телесном угле,

ограниченном пределами Pi и Pj, а также Bj и 62, можно вычислить, изменяя пределы интегрирования в уравнении (2.8а):

exh {К Pi - Ра, 9i ~ 62) = ixb (Я) J [ cos psin р dp =

в, Pi

(Я) iilbH (6,-6,). (2.10)

2.4.6. Спектральное распределение

поверхностной плотности потока излучения

Мь[ уже рассмотрели некоторые характерные особенности абсолютно черного тела. Абсолютно черное тело определено нами как идеально ног.тощающее, а такл<е идеально излучающее тело. Интегра.тьная интенсивность и, следовательно, интегральная поверхностная плотность потока излучения являются функциями только температуры абсолютно черного тела. Энергия излучения абсолютно черного тела подчиняется закону Ламберта.

Все эти свойства абсолютно черного тела были иодкренлены термодинамическими соображениями. Однако осталось не рассмотренным очень важное основное свойство абсолютно черного тела. Имеется в виду формула, определяющая величину интенсивности излучения для каждой длины волны, которые в совокупности составляют спектр излучения. Это соотношение невозможно получить из чисто термодинамических соображений. Отыскание этой зависимости привело Планка к исследованию и гипотезе, которые легли в основу квантовой теории. Вывод закона спектрального распределения энергии выходит за рамки настоящего учебника, и поэтому результаты будут представлены здесь без вывода. Заинтересованный читатель может найти необходимые сведения для подробного вывода во многих стандартных учебниках по физике [1-3].

Было показано, исходя из представления о квантах, введенного Планком [4], а также подтверждено экспериментально, что для абсолютно черного тела спектральные распределения полусферической поверхностной плотности потока излучения и интенсивности излучения в вакууме являются функцией абсолютной температуры и длины волны

. (Я) = л.-ь()==.,Д 5 . (2.11а)

Это выражение известно как закон спектрального распределения поверхностной плотности потока излучения Планка. Как будет показано в дальнейшем, для онисания излучения в среде, в которой скорость света отлична от Cq, в выражение (2.11а) должен быть введен в качестве сомножителя показатель преломления (разд.

2.4.12). В большинстве инженерных задач излучение испускается в воздух или другие газы с показателем преломления, близким к единице, когда применимо выражение (2.11а). Значения постоянных Ci и Са приведены в табл. А.4. Эти постоянные равны Ci = hcl и С2 = hcjk, где h - постоянная Планка и /с - ностоян^ пая Больцмана 1). Уравнение (2.11а) имеет огромное значение, так как позволяет получить количественные оценки излучения абсолютно черного тела.

ПРИМЕР 2.1. Плоская абсолютно черная поверхность излучает энергию при температуре 816 °С. Чему равна нанравлепная спектральная сила излучения абсолютно черного тела для угла 60°, отсчитываемого от нормали, при длине волны 6 мкм?

Из уравнения (2.11а) имеем

1%ъ (6 мкм) =

2-5,9544-10- Дж-м^/(с-ср) 65. 10-30 ((,1.4388 10-/6.10-6.1089

= 1,91-109 Дж/(м3.с-ср).

с помощью уравнения (2.6) можно определить спектральную силу излучения

е;л(6мкм, 60°) = l,91.108.cos60° = 9,55.108 Дж/(м3.с.ср).

Иногда применяются другие формы уравнения (2.11а), где вместо длины волны используется частота или волновое число. Частотой удобно пользоваться в тех случаях, когда излучение распространяется из одной среды в другую, так как в этом случае частота остается постоянной, в то время как длина волны изменяется вследствие изменения скорости расиространення излучения. Заменяя в уравнении (2.11а) длину волны на частоту, следует иметь в виду, что в вакууме % = Cq/v, откуда dk = -(cq/v) dv. Тогда полусферическая спектральная поверхностная плотность потока излучения в интервале длин волн dX становится равной

ехь {Ц d% =

2nCi dX

= -TfSg = v.(v)v. (2.116)

Величина e-h (v) является спектральной поверхностной плотностью потока излучения, отнесенной к единице интервала частот, включающего v.

Волновым числом т] = 1/Я называется число волн, приходящихся на единицу длины. Поэтому

dk=-dy]

1) h = 6,626-10-34 Дж-с и А: = 1,380-10-23 Дж/К. Иногда постоянная С, определяется как 2nhc.