Главная  Теории теплообмена излучением 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 [ 39 ] 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156

излучения другими поверхностями и А^. Для начала рассмотрим случай, когда Ai - вогнутая поверхность. Проведем штриховую линию agf (фиг. 7.22). Затем проведем штриховые линия с/

и аЪс, чтобы дополнить кон-if фигурацию до замкнутой системы abcfga, которая имеет три поверхности (плоские или выпуклые). Соотношение, полученное в примере 7.15 для замкнутых систем этого типа, можно записать в виде

A-agjFagf-abc ~


Фиг. 7.22. Метод натянутых нитей для определения углового коэффициента.

(7.44)

Для замкнутой системы с тремя поверхностями adefga подобное рассуждение приводит к выражению

AagfFagf-def =

Aggf+Adef-Agd

Далее, заметим, что

Fagf-abc + F agf-2 + Fagf-def = 1

(7.46)

Подставляя (7.44) и (7.45) в (7.46), получаем

AagjFagf-2 - Aagf (i -Fagf-abc - Fagf-def) =

AcfAad - Aabc - -rfe/ (7 47)

Fi-agf = F2-1, так как Aagf и Ai стягивают один и тот же телесный угол, под которым они видны с Теперь, используя соотношение взаимности, левую часть соотношения (7.47) можно записать в виде

AagfFagf-2 = AF-agf = AF-i = 4,F, a. (7.48)

Подстановка (7.48) в (7.47) дает

AiFi 2 = - +Aad -АаЬс - def

(7.49)

Если штриховые линии на фиг. 7.22 считать нитями, туго натянутыми между внешними кромками поверхностей, то величину, стоящую в правой части выражения (7.49), можно представить как половину общей величины, образованной суммой длин пере-

секающихся нитей, связывающих внешние кромки Ai и Л а, минус сумма длин непересекающихся нитей. Этот вывод, впервые предложенный Хоттелем [21, является удобным способом определения угловых коэффициентов для двумерной геометрической конфигурации!, рассматриваемого типа.

ПРИМЕР 7.16. Две бесконечно длинные полуцилиндрические поверхности радиусом R разделены минимальным расстоянием D (фиг. 7.23). Найти угловой коэффициент Fi 2.

Длину нити abode обозначим Lj, а длину нити е/ Ь^,. Из соображений симметрии Соотношение (7.49) можно представить в виде

-2Ai---

Длина Z/2 определяется соотношением

L2 = Z) + 2i?. Li - это двойная длина cde. Отрезок Li от точки с до точки d можно определить из прямоугольного треугольника Ocd

Li r.d =


a отрезок Li от точки d до точки е равен

Li, d-e = RQ-Из треугольника Ocd определим угол 9

Фиг. 7.23. К определению углового коэффициента между бесконечно длинными полуцилиндрическимп поверхностями методом натянутых нитей.

) = arc sin

D/2 + R

Комбинируя известные соотношения, получаем

Li-L 2(Li,c d-l-Li,d e) - nR nR

[40 (0/4-ЬД)]1/4-2Д arc sin [Д/(0/2-ЬД)]-О-2Д nR

Fi-, = -



Подстановка X - \ -\- D/2R дает 2

(7.50) (7.51)

Fi., = А [ (Х2 +1) arc sin (4) - Z Это выражение можно также записать в виде

i-. = 4[(Hl)4-arccos ()-

что согласуется с результатом, приведенным в работе [4].

Интегрирование по контуру. Другим методом, полезным при вычислении угловых коэффициентов, является применение теоремы Стокса для сведения многократного интегрирования по

Нормаль к А в точке x,y,z


Граница С


Фпг. 7.24. Геометрическая схема для величин, используемых в теореме

Стокса.

площади поверхности к однократному интегрированию по границе площади. Этот метод достаточно подробно исследован Муном [3], Спэрроу и Сессом [4], Спэрроу [5] ). Рассмотрим поверхность А (фиг. 7.24) с кусочно-гладкой непрерывной границей, обозначен-

1) Интегрпрованпе по контуру для расчета угловых коэффициентов излучения впервые использовано в работах Германа [27*], Фока [55*. См. также [5*, 17*].- Птм. ред.

ной с. Произвольная точка на рассматриваемой поверхности имеет координаты х, у, z. Углы между нормалью к новерхности А в этой точке и осями х, у, z обозначаются соответственно а, у, б. Пусть функции Р, Q, R будут дважды дифференцируемыми функциями но X, у, Z. Теорема Стокса дает следующее соотношение между интегралом от Р, Q, R вдоль контура С заданной площади и интегралом но площади поверхности А:

+ (-t)-V+(f-f)-6]. (7.52)

С помощью этого соотношения интегралы по поверхностям при вычислении угловых коэффициентов можно выразить через интегралы но контурам этих поверхностей.

Угловой коэффициент системы элементарная площадка - поверхность конечных размеров. Подынтегральная функция в угловом коэффициенте Fi 2 имеет вид (табл. 7.1)

C0SP)C0SP2

Косинусы могут быть представлены следующим образом (фиг. 7.25):

cosp cos

X2 - Xi Xi-X2

COS ai

г/2-г/1

cos yi

созаа-Ь^Ц^ cos 72 +

cos6 cos 62.

(7.53) (7.54)

~s- 1-- s

Это следует из соотношения I1I2 + гпутп^, -Ь щп, для косинуса угла между двумя векторами Vj и Vj, имеющими направляющие косинусы (ZiTniMi) и [lrnn.

]1одстановка выражений (7.53) и (7.54) в интегральное соотношение для углового коэффициента между элементарной площадкой и поверхностью конечных размеров дает

р [ cos Р) cos Р2 л Pdi-2 = \ -rF5- Л2

. -xi) cos ai-Ki/2 -г/i) cos Yi 4-(га - zi) cos 61]

[(X1 - X2) соза2-]-(г/1

Примем теперь

- У2) cos V2 4- (1 - 2) cos 62] dA 52

Z = cosa, m = cos y, n = cos6

(7.55)

(7.56a)



240 И

, (12 - al) 1 + iVi - Уl) + (Z2 - zi) i- JS*

(7.566)

Уравнение (7.55) можно записать в сокращенном виде

Fdi-2 = J [{Xi-x) fh + {yt -У2) + (Z1-Z2) Ы dA. (7.57)

Из сравнения (7.57) с правой частью (7.52) следует, что теорема


Фиг. 7.25. Геометрическая схема для иллюстрации метода интегрирования

но контуру.

Стокса применима, если

V (7.58а)

(7.586)

(z1-z2)/.

(7.58в)

I Спэрроу [5] указывает, что имеющими физический смысл решениями этих трех уравнений будут

-mi(Z2-2))-hWi (yj-l/l)

2я52

h (Z2-Zl) -Wj (X2 -xQ

2я52

D -hiUi- yi) + ij (X2 - Xl)

~ 2я52

(7.59a) (7.596) (7.59b)

Уравнение (7.52) используется для выражения Fi- в (7.57) в виде интеграла по замкнутому контуру, т. е.

Рм-2 ={Pdx2 + Q dy -f R dz2).

(7.60a)

Затем подставляются выражения для Р, и i? из (7.59), и в результате получается

F 1 (22-Z))di/2-(y2 -yi)dz. C2

n (X2 -i) dZ2 -(22 -Zt) dX2

2я 5

+ 2я 5

(7.606)

Для определения -f di 2 двойное интегрирование по поверхности Л 2 заменено набором из трех линейных интегралов. Спэрроу [5] рассматривает суперпозиционные свойства уравнения (7.57), которые делают возможным сложение угловых коэффициентов элементов, расположенных параллельно осям х, у, z, для получения угловых коэффициентов систем, состоящих из элементов с произвольной ориентацией.

ПРИМЕР 7.17. Определить угловой коэффициент Fdi-2 системы, состоящей иэ элементарной площадки dAi и прямоугольного треугольника (фиг. 7.26).

Нормаль к dAi перпендикулярна как к оси х, так и к оси у и, следовательно, параллельна оси z. Направляющие косинусы для элемента dAi равны

cos ai

= 0,

cos 7i

= 0,

cos Si

= щ



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 [ 39 ] 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156

© ООО "Карат-Авто", 2001 – 2018
Разработчик – Евгений Андрианов