Главная  Теории теплообмена излучением 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 [ 38 ] 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156

Все угловые коэффициенты F правой части относятся к системе из двух прямоугольников, имеющих одну общую сторону (фиг. 7.16,а).

Выражая связи между угловыми коэффициентами в виде формул, иногда полезно оперировать величинами энергии, а не долями энергии испускаемого поверхностью излучения, падающими на другую поверхность. Например, на фиг. 7.10 энергияисиускаемого поверхностью излучения, падающего на поверхность А^, про-порциональна 422 1 и эквивалентна сумме энергий испускаемого Л 3 и 4 излучения, достигающих А^. Таким образом,]

(3+4) (3+4,-1 = 33-1 + 44-1. (7.34)

Это можно также доказать, используя соотношения взаимности, следующим образом:

(Аз + 44)F(3+4) i = 4iFi (3+4) =

= A,F, , + A,F,. = A,Fs.i + 4 4-1-

7.5.2. Система обозначений в теории множеств

Рассмотрим две перекрывающиеся области Ai и А^ (фиг. 7.17). Область, заштрихованная перекрестными линиями, определяется



Фиг. 7.17. Объединение и пересечение поверхностей конечных размеров.

Фиг. 7.18. Геометрическая схема известного углового коэффициента.

в элементарной теории множеств как пересечение Аi п А^и обозначается Ai О А2. Область, ограниченная непрерывной сплошной линией, я&гыв&етсяобъединениемА1жА2 и обозначается А, [} Л2. Область А^ будет иметь угловой коэффициент но отношению

к 1 и

Fe-1 и 2 = Fe-i + Fe-2 - -fs-i n 2- (7.35)

Соотношение становится очевидным, если заметить, что долю энергии испускаемого Ае излучения, падающую на А, [} А2,

можно разделить на две части: долю энергии испускаемого А^ излучения, падающую на А^, и долю энергии испускаемого А^ излучения, падающую на А 2- Однако обе эти составляющие содержат часть энергии, соответствующую области Ау f Л2. Таким образом, мы должны вычесть из суммы величину FE~if]2-



Фиг. 7,19. Геометрическая схема для вывода углового коэффициента между

элементом йЛв и L-образной поверхностью AViA. а - исследуемая конфигурация; б - конфигурация перекрывающихся поверхностей.

Выражение для углового коэффициента системы элемент dA - прямоугольник, расположенный в параллельной плоскости, когда нормаль к элементу проходит через угол прямоугольника (фиг. 7.18), приводится в приложении В. На фиг. 7.19, а ж б показана геометрическая система из двух перекрывающихся прямоугольников. Угловой коэффициент системы, образованной элементом dAj и L-образной поверхностью, получается из соотношения (7.35)

РакшЛ и 2 = dE-i -f F- Fas-i n 2, (7.36)

где все величины в правой части табулированы.

Более сложная (и, следовательно, менее очевидная) геометрическая система показана на фиг. 7.20. Опять заметим, что

FdE-i\j2 ~ FdE-i + F<jE-2 - Fas-i n 2. (7.37)

Выражение для коэффициента Fе-\ системы из элементарной площадки и диска, расположенного в параллельной плоскости



С центром, лежащим на нормали к площадке, приводится в приложении В. Выражение для углового коэффициента FdE-2 системы, состоящей из элементарной площадки и прямоугольника треугольника, лежащего в параллельной плоскости, с вершиной на нормали к площадке, приводится в примере 7.17. Окончательно, из соображений симметрии коэффициент Fe-i л 2 равен

(7.38)

Все величины в правой части равенства (7.37) известны, и подстановка (7.38) в (7.37) дает


dB-llJ2 =

Фиг, 7.20. Геометрическая схема для вывода углового коэффициента между элементом dA и перекрывающимися поверхностями в виде круга и треугольника.

PdE-l-hPdE-i-il.S

Заметим, что обычные соотношения взаимности применимы в этой системе обозначений

(1 и Лг)-? 1 и 2-Е = AeFe-i и 2,

(7.40)

{Ai П Л 2)Fi PI 2-е = AeFe-1 n 2.

(7.41)

7.5.3. Угловые коэффициенты замкнутых систем

До сих пор рассматривался только теплообмен излучением между

двумя черными изотермическими -изолированными поверхностями, причем одна или обе поверхности были разделены на части. Перейдем к очень полезному классу задач, в которых определяются угловые коэффициенты для черных поверхностей, образующих замкнутую систему. Эти угловые коэффициенты понадобятся в случае нечерных диффузных замкнутых систем.

Для замкнутой системы, состоящей из N поверхностей (фиг. 7.21), интегральное излучение, испускаемое любой поверхностью внутрь замкнутой системы, например поверхностью Ац, должно падать на все поверхности, составляющие замкнутую систему. Таким образом, все доли энергии излучения, испускаемого одной поверхностью, достигающие других поверхностей замкнутой системы, должны в сумме составлять единицу, т. е.

+ Fa 2 -I- F, 3 +... + Fu.h -I- - - - + Fu-N = S Fk-j = 1

(7.42)

Угловой коэффициент относится к случаю, когда Лд -вогнутая поверхность, которая затеняет часть собственного излучения.


Фиг. 7.21. Изотермическая замкнутая система, состоящая из N черных

поверхностей {N = 8).

ПРИМЕР 7.13. Две черные изотермические концентрические сферы обмениваются энергией излучения. Найти все угловые коэффициенты для такой геометрической системы, если площадь поверхности внутренней сферы А\, а площадь поверхности внешней сферы Ла.

Все излучение, испускаемое Л^ падает на Ла, т. е.

1-2=1.

Используя соотношение взаимности, пстучаем

---4---А^-

Кроме того, из (7.42) имеем

2-1 + 2-2 = 1,

или

/2-2=l-Fa i = A.

2

ПРИМЕР 7.14. Изотермическая полость с площадью внутренней поверхности Л j имеет открытую область площадью А^. Вывести выражение для углового коэффициента излучения внутренней поверхности полости на,саму себя.

Предположим, что черная поверхность Л а заменяет открытую область полости. Тогда F-i = \ и

1-2

22-1 Aj

At Ai



Так как А, та. образуют замкнутую систему, то

- искомый угловой коэффициент F.

ПРИМЕР 7.15. Замкнутая система треугольного сечения состоит из трех плоскостей конечной ширины и бесконечной длины (бесконечно длинная треугольная призма). Вывести выражение для углового коэффициента между двумя любыми плоскостями, содержащее ширину плоскостей Lj, и Lg.

Для плоскости 1 Fi 2 + Fi 3 = 1. Используя подобные соотношения для каждой плоскости и умножая эти равенства на соотв'ествующие величины площадей, получим

AiFi 2 + 4iFi 3 = Ai,

22-1 + 22-3 = 2. Лзз 1 + Лзз 2 = Лз.

Применяя соотношения взаимности к некоторым членам этих трех уравнений, получим три уравнения с тремя неизвестными F:

4jFi 2 + 4iFi 3 = Ai,

AlFi 2 + 22-3 = 2. 4iF, 3 + 22-3 = A,.

Вычитая третье уравнение из второго и суммируя с первым, находим

Ау-\-А<1 - А^ Li + L - Ls

Pi-.

2 -=

2Ai 2Li

В частном случае = получим угловой коэффициент для бесконечно длинных сопряженных плоскостей равной ширины, расположенных под углом а, которые были рассмотрены в примере 7.8. При Lj =

Fl-2 =

2i:i-i:3 2Ly

= 1-sin (a/2),

что согласуется с примером 7.8.

Рассмотрим подробнее систему из трех уравнений, для которой был выведен окончательный результат в примере 7.15. Первое уравнение содержит два неизвестных Fi 2 и Fj.g; второе уравнение имеет одно дополнительное неизвестное F- и третье уравнение не имеет дополнительных неизвестных. Обобщение процедуры для замкнутой системы из трех поверхностей на любую замкнутую систему из N плоских или выпуклых поверхностей показывает, что из N уравнений первое должно содержать Л^-1 неиз-

вестных, второе Л^-2 неизвестных и т. д. Общее число неизвестных и будет равно

U = {N-l) + {N-2) + ...+i = N-Zi = N{N-l)/2. (7.43)

Таким образом, для замкнутой системы из четырех плоских или выпуклых поверхностей известной площади можно записать четыре уравнения, связывающие шесть неизвестных угловых коэффициентов. По любым двум из этих шести коэффициентов можно вычислить остальные, решая систему из четырех уравнений.

Если все поверхности - вогнутые, то коэффициент F u должен быть включен в каждое уравнение. При этом для замкнутой системы из N поверхностей потребуется Л' уравнений с N {N -1-1)/2 неизвестными. Для замкнутой системы из четырех поверхностей потребуется четыре уравнения с десятью неизвестными коэффициентами. В этом случае необходимо знать шесть коэффициентов, и тогда уравнение можно решить и определить остальные четыре коэффициента.

7.5.4. Математические методы вычисления угловых коэффициентов

Как показано в сводке соотношений (табл. 7.1), вычисление угловых коэффициентов Pdi-2 и 1-2 связано с интегрированием по конечным площадям. Существует ряд математических методов, которые полезны при вычислении некоторых угловых коэффициентов, когда непосредственное интегрирование становится слишком громоздким. Эти методы могут включать в себя все приемы, используемые при вычислении интегралов, включая численные методы.

Здесь будут описаны несколько методов, которые особенно полезны ири вычислении угловых коэффициентов.

Метод натянутых нитей Хоттеля ). Рассмотрим класс геометрических конфигураций, в котором все поверхности простираются бесконечно далеко вдоль одной координаты. Такие поверхности могут быть образованы движением линии в пространстве в направлении, которое всегда остается параллельным ее первоначальному положению. Типичная конфигурация показана в сечении на фиг. 7.22. Предположим, что требуется определить угловой коэффициент Fi 2 системы А^ - А^ ири блокировании потока

) Метод натянутых нитей для расчета угловых коэффициентов был предложен в 1935 г. Г. Л. Поляком [44*]. Этот метод основан на теореме Крофтона [59*].- Прим. ред.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 [ 38 ] 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156

© ООО "Карат-Авто", 2001 – 2018
Разработчик – Евгений Андрианов