Главная  Теории теплообмена излучением 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 [ 37 ] 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156

где Ri = Till. Используя алгебру угловых коэффициентов, находим искомый угловой коэффициент

Fdi-r = Fdi-i - F d\-i =

ПРИМЕР 7.10. Предполагается, что известен угловой коэффициент между двумя параллельными дисками произвольного размера, центры которых лежат на одной оси. Вывести выражение для


Фиг. 7.12. Теплообмен излучением между параллельными кольцевыми поверхностями, центры которых расположены на одной оси.

углового коэффициента системы, состоящей из двух колец А^а (фиг. 7.12), с использованием известных угловых коэффициентов между дисками на нижней и верхней поверхностях.

Требуется определить коэффициент F-s- Используя алгебру угловых коэффициентов, находим

F2-3 = P2-(3+4) - F2-4.

Коэффициент 2 (з+4) можно найти из соотношения взаимности

2-2-(3+4) = (лз -f- Ai) F(3+4)-2.

Применяя алгебру угловых коэффициентов к правой части равенства, получаем

2-f2-(3+4) = (лз -Ь л4) {F(з+4)-(1+2) -(3+4)-l) =

= (Л3 -f- 44) F(3+4)-(l+2) - {лз-f- л4) F(3+4)-l.

Используя соотношение взаимности для правой части, находим

2-f2-(3+4) = (Л1 -f-Л2) /(1+2)-(3+4) -4ifi (3+4),

где угловые коэффициенты, стоящие справа, относятся к нижней и верхней поверхностям двух дисков.

Теперь остается определить коэффициент F-i- Снова применяем соотношения взаимности и алгебру угловых коэффициентов

2-4 =4-2 = -{Fk-a+i) - Fl,-l] =

= -j- [(ai + Л2) f<H2,-4 - 4ifi 4l.

Подстановка соотношений для 2-4 и 2-(з+4) в первое уравнение дает

2-3---1- 1 (1+2)-(3+4)

(1+2)

-4] --r[F 1-(з+4) - F1-4].

Все угловые коэффициенты в правой части уравнения определяют теплообмен между двумя дисками в направлении от дисков на нижней поверхности к дискам на верхней поверхности. Итак, задача решена.

Поскольку при вычислении углового коэффициента с помощью алгебры угловых коэффициентов приходится иметь дело с малыми разностями больших чисел (как это могло быть в правой части последнего уравнения предшествующего примера), необходимо сохранять достаточное число значащих цифр для обеспечения приемлемой точности. Фейнгольд [1] приводит пример, в котором ошибка в 0,05% в известном коэффициенте вызывает ошибку в 57% в другом коэффициенте, вычисленном по первому методу алгебры угловых коэффициентов.

ПРИМЕР 7.11. Излучение, испускаемое внутренней поверхностью полого кругового цилиндра радиусом R, падает на диск площадью А^ и радиусом г (фиг. 7.13). Выразить угловой коэффициент системы, образованной внутренней поверхностью цилиндра лз и диском, через величины угловых коэффициентов для системы диск -диск в случае, когда г <iR.

Из любой точки на телесный угол, под которым видна новерхность лд, равен разности между углом da, под которым



видна поверхность Л 2, и углом dm, под которым видна поверхность Л 4. При этом угловой коэффициент системы, образованной элементарной площадкой на и поверхностью А^, равен

Pdx-i= Fdi-i- Pdi-i- Интегрируя по и используя уравнение (7.23), получим соотношение между угловыми коэффициентами для всей площади А^

Pi-3 = --1-4-

Угловые коэффициенты правой части являются коэффициентами системы параллельных дисков. Окончательный результат для углового коэффициента системы, образованной цилиндрической поверхностью А^ и диском Aj, имеет вид

3-1 = -ф- - F1-4) .

Существует соотношение взаимности, которое можно вывести из соображений симметрии. Рассмотрим противолежащие поверхности на фиг. 7.14, а. Из соображений симметрии очевидно, что 2 = Л4 и 2-3= 4 1,

так что А22-3 = AFi- Из соотношения взаимности получаем >144 1= AiFi-. Следовательно, имеет место соотношение

22-3 = 11-4

которое связывает диагональные направления, показанные стрелками на рисунке. Аналогично из соображений симметрии при рассмотрении противолежащих поверхностей на фиг. 7.14, б имеем


Фиг. 7.13. Внутренняя новерхность полого кругового цилиндра, испускающая излучение на круглый диск Ах (случай г < /?).

На фиг. 7.15, а показаны 4 области на двух перпендикулярных прямоугольниках, имеющих общую грань. Так как все эти области неодинакового размера, то очевидного соотношения симметрии не существует. Однако, как будет показано ниже, справедливо соотношение

33-4-

(7.32)

Чтобы доказать это, начнем с основного определения [уравнение



Фиг. 7.14. Геометрическая схема для вывода соотношений взаимности между

противолежащими прямоугольными поверхностями, я ~ противолежащих прямоугольных поверхностей, A.f,- = A,f,.,-

б - четыре пары противолежащих прямоугольных поверхностей, а/гД/= A,f\T.!

(7.22)], согласно которому

Из фиг. 7.15,6 имеем S=={x2 - Xi) + yl+zl, cosPi = z2/S, cos р2 = I/l/S.

Тогда

с а c+d Ь

i/l22

1=0 2/1=0 Ж2=С 22=0 I/ I 1 1 2J

dz-idxdyidxi. (7,33a)

Подобным образом для фиг. 7.15, в

А F f f о^ Рз cos Pi , . , . 33-4 = irJ J -%2 dA,dA =

A3 A4

c+d a с Ъ

= ± f f f f ym

X3=C Уз=й Ж4=0 Z4=0

,)2-j!y .z]2 dZidxdysdxz. (7.336)



Глава


h--Y- --1

А] (x,.yi)


Фиг. 7.15. Соотношение взаимности для прогиволежащих по диагонали пар прямоугольников на двух перпендикулярных плоскостях, имеющих общую

а геометрическое представление соотношения взаимности A,F,-2 =35-4; б-геометрическое построение для вывода Fi-z; - геометрическое построение для вывода

F t-4>

Заменяя переменные интегрирования Xj, z/i, и Zg на х^, уз, Хз и Z4, обнаруживаем, что интегралы в уравнениях (7.33а) и (7.336) идентичны и, следовательно, равенство (7.32) доказано.

ПРИМЕР 7.12. Известен угловой коэффициент системы из двух перпендикулярных прямоугольников с общей стороной (фиг. 7.16, а). Найти выражение для углового коэффициента Fi e системы, представленной на фиг. 7.16, б.

Сначала рассмотрим геометрическую систему, представленную на фиг. 7.16, в, и найдем выражение для коэффициента Fg.

.(6+6)-(7+8) = F(5+в)-7 + F(б+6)-8 = As+Ag 7-(5+G) + A+Aq 8-(5+6)i F<5fl,-(7H-8, = 5 (7-6 -I- 7-б) + -jj {Fs-b + Fs-,).

Далее заменим A-jFrj Q на 88.5 и решим полученное уравнение относительно jP7 e

137 t + б) (6+6)-(7+8> - 77.6 - AFs-e]

Возвращаясь снова к фиг. 7.16, б, получаем

- Л7 - :47 б-(И-з) - -j Fe-3. Коэффициенты б +з, и Fe.3 такого же типа, как и Fj.e так что




Фиг. 7.16. Расположение поверхностей в примере 7.12. а - перпендикулярные прямоугольники с одной общей стороной; б - геометрическая схема для определения F,-,; g - вспомогательная геометрическая схема.

1-6 можно окончательно записать в виде

= { 2Тб + 2 + Лз -f Л) i<H.2+3+4,-,5+6, -



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 [ 37 ] 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156

© ООО "Карат-Авто", 2001 – 2018
Разработчик – Евгений Андрианов